Kolokwium z Matematyki dla Chemik´ow Przyk ladowe zadania
(1) Definicja granicy ci¸agu. Korzystaj¸ac z definicji granicy uzasadni´c nast¸epuj¸ace r´owno´sci:
n→∞lim
(n − 1)(2n + 1)
n2 = 2 ( lub lim
n→∞
1
2n+ 1 = 0 , lub
n→∞lim(c · an) = c · limn→∞an (zak ladamy, ˙ze ci¸ag (an) ma granic¸e ). ) (2) Definicja granicy ci¸agu. Korzystaj¸ac z definicji granicy uzasadni´c, ˙ze
(a) ka˙zdy ci¸ag zbie˙zny ma dok ladnie jedn¸a granic¸e;
lub
(b)ka˙zdy ci¸ag zbie˙zny jest ograniczony;
lub
(c) je´sli limn→∞an= a, to ka˙zdy podci¸ag ci¸agu (an) jest zbie˙zny do a.
(3) Definicja granicy funkcji. Korzystaj¸ac z definicji granicy funkcji uzasadni´c,
˙ze nast¸epuj¸aca granica nie istniejei:
x→2lim 8 − x3
|2 − x| ( lub lim
x→0−sin1
x , lub lim
x→−2[x]).
(4) Definicja ci¸ag lo´sci funkcji f (x) w punkcie x0. Korzystaj¸ac z tej definicji uzasadni´c, ˙ze nast¸epuj¸aca funkcja nie jest ci¸ag la w punkcie 1.
f (x) = (x2−1
|x−1| , dla x 6= 1
−2 , dla x = 1 .
Poda´c definicj¸e nieci¸ag lo´sci 1-go rodzaju. Czy powy˙zsza nieci¸ag lo´s´c jest 1-go rodzaju?
(5) Sformu lowa´c Twierdzenie Darboux. Wyprowadzi´c wniosek o tym, ˙ze je´sli f (x) jest ci¸ag la na [a, b] oraz f (a) < f (b), to dla ka˙zdego d ∈ (a, b) istnieje c ∈ (a, b) taki, ˙ze f (c) = d.
(6) Definicja ci¸ag lo´sci funkcji f (x) w punkcie x0. Definicja pochodnej funkcji f (x) w punkcie x0. Korzystaj¸ac z tych definicji uzasadni´c, ˙ze je´sli funkcja f (x) ma pochodn¸a w la´sciw¸a w x0, to f (x) jest ci¸ag la w podanym punkcie.
(7) Definicja r´o˙zniczki funkcji. Korzystaj¸ac z r´o˙zniczki funkcji obliczy´c przy- bli˙zon¸a warto´s´c podanego wyra˙zenia:
arctg 1, 05 ( lub ln 1, 004 , lub cos 0, 03).
(8) Definicja pochodnej funkcji f (x) w punkcie x0. Korzystaj¸ac z tej definicji poda´c i uzasadni´c wz´or na pochodn¸a funkcji z lo˙zonej g(f (x)) w p. x0
(zak ladaj¸ac, ˙ze funkcja f (x) ma pochodn¸a w la´sciw¸a w x0, a funkcja g(x) ma pochodn¸a w la´sciw¸a w y0= f (x0)).
(9) Korzystaj¸ac z definicji pochodnej uzasadni´c, ˙ze je´sli f (x) ma pochodn¸a w la´sciw¸a na [a, b] i ma minimum lokalne w c ∈ (a, b), to f0(c) = 0.
(10) Wyprowadzi´c wz´or na sum¸e szeregu geometrycznego. Udowodni´c nast¸epuj¸ac¸a cz¸e´s´c kryterium Cauchy’ego: Je´sli ∀n(an ≥ 0) i limn→∞ann1 = q < 1, to szeregP∞
i=1an jest zbie˙zny.
1
2
(11) Poda´c definicj¸e zbie˙zno´sci szeregu. Udowodni´c nast¸epuj¸ac¸a cz¸e´s´c kryterium Cauchy’ego: Je´sli ∀n(an ≥ 0) i limn→∞ann1 = q > 1, to szeregP∞
i=1an jest rozbie˙zny.
(12) Sformu lowa´c Twierdzenie Taylora. Wyprowadzi´c wniosek o tym, ˙ze je´sli f (x) ma wszystkie pochodne w p. a, to warunek limn→∞Rn(x) = 0 (granica reszt) implikuje przedstawienie f (x) = f (a)+P∞
n=1 f(n)(a)
n! (x−a)n. (13) Sformu lowa´c i udowodni´c twierdzenie o ca lkowaniu przez cz¸e´sci.
(14) Sformu lowa´c i udowodni´c twierdzenie o ca lkowaniu przez podstawienie.
