Analiza II, ISIM Lista zada« nr 8
Wersja 1.1
1. Funkcja F (x) jest ci¡gªa na przedziale [a, b] i ró»niczkowalna w sposób ci¡gªy na przedziale (a, b]. Zaªó»my, »e F′ = f jest funkcj¡ rosn¡c¡ (lub malej¡c¡) nieograniczon¡ w pobli»u punktu a. Poka», »e przy oznaczeniu xi= a + i(b− a)/n zachodzi wzór
nlim→∞
b− a n
∑n i=1
f (xi) = F (b)− F (a) =
∫ b
a
f (x)dx.
Oblicz granic¦ ci¡gu √n
n!/n, stosuj¡c wzór do funkcji f(x) = log x na przedziale (0, 1].
2. Funkcja f(x) jest malej¡ca dla x ≥ 0 i caªka∫∞
0 f (x)dxjest zbie»na. Udowodnij, »e lim
h→0+h
∑∞ n=1
f (nh) =
∫ ∞
0
f (x)dx.
3. Oblicz granice
lim
k→∞
∑∞ n=1
k
n2+ k2, lim
k→∞
∑∞ n=1
n2 k3e−n/k.
4. Poka», »e je»eli funkcja f(x) jest malej¡ca w przedziale [1, ∞) oraz caªka ∫∞
1 xαf (x)dx jest zbie»na, to xα+1f (x)→ 0, gdy x → ∞.
5. Dla jakich warto±ci parametru α > 0 zbie»ny jest szereg
∑∞ n=3
1
n log n(log log n)α 6. Zbadaj zbie»no±¢ szeregu
∑∞ n=1
(log n)2012 n1,00001 7. Skonstruuj funkcj¦ f : [1, ∞) → R tak¡, »e caªka∫∞
1 f (x)dxjest rozbie»na, a szereg∑∞
n=1f (n) jest zbie»ny.
8. Rozwa»my caªk¦ niewªa±ciw¡ i szereg
∫ ∞
1
sin√ x x dx,
∑∞ n=1
sin√ n n .
Poka», »e caªka jest zbie»na. Czy wolno st¡d wnioskowa¢, »e szereg jest zbie»ny?
9. Zbadaj zbie»no±¢ caªki ∫ ∞
0
(−1)[x2]dx
10. Niech f b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w sposób ci¡gªy na (a, ∞). Zaªó»my, »e istnieje staªa C taka, »e |f′(x)| < C dla ka»dego x ∈ (a, ∞) oraz caªka ∫∞
a |f(x)|dx jest zbie»na. Poka», »e limx→∞f (x) = 0. Wskazówka: rozwa» caªk¦ ∫∞
a f (x)f′(x)dx.
11. Zaªó»my, »e caªka ∫∞
a f (x)dx jest zbie»na, a funkcja ϕ(x) jest ograniczona. Czy caªka
∫∞
a f (x)ϕ(x)dxmusi by¢ zbie»na? Odpowiedz na to samo pytanie przy zaªo»eniu, »e pierwsza caªka jest bezwzgl¦dnie zbie»na.
12. Dla a, b > 0, udowodnij
∫ ∞
0
cos ax− cos bx
x2 dx = π
2(b− a),
∫ ∞
0
e−a2x2 − e−b2x2
x2 dx =√
π(b− a)
Wskazówka: Zastosuj caªkowanie przez cz¦±ci, a nast¦pnie skorzystaj z warto±ci odpowiednich caªek podanych na wykªadzie.
13. Korzystaj¡c z kryterium Dirichleta, poka» zbie»no±¢ caªek
∫ ∞
0
cos x· esin x xα dx,
∫ ∞
0
cos x2dx 14. Poka», »e caªka∫∞
0 sin x
x dxnie jest zbie»na bezwzgl¦dnie.
15. Poka», »e caªki∫∞
1 dx
x oraz ∫∞
1 dx
[x] s¡ rozbie»ne, natomiast caªka
∫ ∞
1
(1 x − 1
[x]
) dx
jest zbie»na. Oblicz warto±¢ ostatniej caªki.
16. Oblicz caªk¦ ∫ 1
0
(1 x −
[1 x
]) dx.
17. Sprawd¹ ci¡gªo±¢ i ró»niczkowalno±¢ wzgl¦dem parametru dla podanych caªek. Przedstaw pochodn¡ wzgl¦dem parametru w postaci caªkowej.
∫ 1
0
sin(x2+ y2)dy,
∫ 1
−1eax2,
∫ 3π/4
π/4
ln sin xydx.
18. Udowodnij wzór
∑∞ n=1
1 n2 = π2
6 stosuj¡c nast¦puj¡c¡ metod¦ Eulera. Poka» najpierw
∫ 1
0
arcsin x dx
√1− x2 = π2 8 .
Nast¦pnie zast¡p w powy»szej caªce arcsin x przez rozwini¦cie tej funkcji w szereg pot¦gowy (sprawd¹, »e jest on jednostajnie zbie»ny na przedziale [0, 1]). Ostatecznie scaªkuj otrzymany szereg wyraz po wyrazie.
19. Dla jakich warto±ci x funkcja
f (x) =
∫ ∞
0
sin y yx dx
jest dobrze okre±lona? Zbadaj ci¡gªo±¢ i ró»niczkowalno±¢ funkcji f(x).
20. Oblicz granice
nlim→∞
∫ 1
0
[ 1 +
( 1 +x
n )n]−1
dx, lim
t→∞
∫ π/2
0
e−r sin tdt, lim
n→∞
∫ ∞
0
xe−xn 1 + x2dx
21. Korzystaj¡c ze wzoru arctgxx =∫1
0 dy
1+x2y2, oblicz caªk¦
∫ 1
0
arctgx x
√ dx 1− x2.
22. W jakich przedziaªach zmiennej x nast¦puj¡ce caªki s¡ jednostajnie zbie»ne?
∫ ∞
0
e−x2y2dy,
∫ ∞
1
sin xy y2 dy,
∫ ∞
1
dy yx. 23. Sformuªuj dokªadnie co oznacza, »e caªka∫∞
0 f (x, y)dxnie jest zbie»na jednostajnie w prze- dziale [c, d].
24. Poka», »e caªka I =∫∞
0 ye−yxdxjest jednostajnie zbie»na w przedziale [a, b] dla a > 0, ale nie jest jednostajnie zbie»na w przedziale [0, b].
25. Czy mo»na w wyra»eniu limy→0∫∞
0 ye−yxdx przej±¢ z granic¡ pod znak caªki?
26. Oblicz: limn→∞∫∞
0 1 xn+1dx.
27∗.Poka», »e szereg
∑∞ n=1
sin√ n n jest rzeczywi±cie zbie»ny. W tym celu rozwa» szereg
∑∞ n=1
( ∫ n+1 n
sin√ x
x dx−sin√ n n
) .
28∗.Wyka», »e
lim
t→1−(1− t) ( t
1 + t+ t2 1 + t2 + ..
)
= ln2.
29∗.Wyka», »e
tlim→1−(1− t)2 ( t
1− t + 2t2
1− t2 + .. + ntn 1− tn + ..
)
= π2 6 . 30∗.Udowodnij wzór Froullaniego
∫ ∞
0
f (ax)− f(bx)
x dx = f (0)ln(b/a), (a, b > 0) dla funkcji ci¡gªej f(x) dla której caªka∫∞
1 (f (x)/x)dx jest zbie»na. Nast¦pnie oblicz caªki
∫ ∞
0
cos ax− cos bx
x dx,
∫ ∞
0
(e−ax2 − e−bx2)dx x . 31∗. Oblicz caªk¦ ∫∞
0 e−x2dx, zapisuj¡c e−x2 = limn→∞(
1 + xn2)−n
, a nast¦pnie zamieniaj¡c kolejno±¢ caªkowania z przej±ciem do granicy.
