• Nie Znaleziono Wyników

P, f >¬ 0

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "P, f >¬ 0"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

8. Uogólnione laplasjany

1. Przypomnijmy, że funkcjonał P na Cc(Rd) nazywamy uogólninym lpalasjanem (UL), jeśli jest rzeczywisty i dla każdej rzeczywistej funkcji f ∈ Cc(R) przyjmującej w zerze największą wartość

< P, f >¬ 0.

2. Przykłady:

a) < P, f >=PkckDkf (0), gdzie ck∈ R,

b) P =PkjckjDkDjf (0)xkxj, gdzie macierz (cjk) jest nieujemnie określona, c) < P, f >= −c0f (0) +Rf (x)µ(dx), gdzie µ jest miarą i kµk ¬ c0,

d) < P, f >= limε→0R|x|­εf (x)−f (0)

|x|d+α dx, gdzie 0 < α < 2.

3. Zauważmy, że kombinacja liniowa UL z dodatnimi współczynnikami jest UL.

4. Miara Levy’ego: Niech P będzie UL. Wzór

< µ, f >=< P, f >, f ∈ Cc(Rd\ {0}),

definiuje miarę na Rd\ {0}, taką że µ(Rd\ U ) < ∞ dla każdego otoczenia zera.

Dowód. Jeśli f ∈ Cc(Rd\ {0}) jest nieujemna, to < P, f >­ 0, bo −f przyjmuje w zerze największą wartość. Zatem µ jest funkcjonałem nieujemnym, a więc (twierdzenie Riesza) miarą.

Niech U będzie otoczeniem zera, a ϕ ∈ Cc(U ) funkcją nieujemną o największej wartości ϕ(0) = 1. dla dowolnej nieujemnej funkcji f ∈ Cc(Rd\ ¯U ), niech

g(x) = kf kϕ(x) + f (x), x ∈ Rd. Wtedy < P, g >¬ 0, więc

< µ, f >¬< P, −ϕ > kf k,

co pociąga naszą tezę. 

Od tej pory P oznaczać będzie uogólniny laplasjan, a µ = µP jego miarę Levy’ego.

5. Dla każdej nieujemnej funkcji f ∈ Cc(Rd) przyjmującej wartość 0 w zerze

(0.1) < µ, f >¬< P, f > .

W szczególności,

Z

|x|¬1

|x|2µ(dx) < ∞.

Dowód. Niech ϕ ∈ Cc(Rd, [0, 1]) będzie funkcją równą 1 w otoczeniu 0. Wtedy

< µ, (1 − ϕ)f >=< P, f > − < P, ϕf >¬< P, f >

bo < P, ϕf >­ 0. Wobec dowolności ϕ otrzymujemy tezę. 

6. Jeśli f ∈ Cc(Rd) i Dαf (0) = 0 dla |α| ¬ 2, to

< P, f >=

Z

f (x)µ(dx).

Dowód. Niech h będzie funkcją gładką, taką, że h(x) = |x|2 dla |x| ¬ 1/2, h(x) = 1 dla

|x| ­ 1 i h(x) 6= 0 dla x 6= 0. Wtedy f = hg, gdzie g ∈ Cc(Rd) i g(0) = 0. Ponadto, hP jest funkcjonałem nieujemnym, a więc miarą. Nietrudno zauważyć, że hP = hµ + cδ0, gdzie δ0 jest miarą Diraca. Zatem

< P, f >=< P, hg >=< hP, g >=

Z

h(x)g(x)µ(dx) = Z

f (x)µ(dx).



Cytaty

Powiązane dokumenty

Sprawdzenie, że funkcja ta jest bijekcją pozostawiamy czytelnikowi jako łatwe ćwiczenie... Izomorfizm przestrzeni liniowych jest relacją równoważności w klasie wszystkich

Sprawdzenie, że funkcja ta jest bijekcją pozostawiamy czytelnikowi jako łatwe ćwiczenie... Izomorfizm przestrzeni liniowych jest relacją równoważności w klasie wszystkich

Charakterystyka pierścienia i ciała, ciała proste i klasyfikacja ciał

Niech R będzie pierścieniem z jedynką, niech każdy lewostronny ideał pierścienia R będzie lewym unitarnym R-modułem projektywnym (lub, odpowiednio, wolnym).. Wówczas każdy

[r]

Powyższy wniosek oznacza, że w zakresie ciał o charakterystyce zero rozszerzenia algebraiczne skoń- czone i algebraiczne pojedyńcze to to samo..

Zbiór wszystkich elementów stałych na wszystkich automorfizmach z G jest podciałem ciała

Wynika bezpośrednio z Wniosku 14.6 i tego, że skończona grupa abelowa jest sumą prostą