M a rta K uc
U niw ersytet W arszawski
ANALIZA ZASAD SPRAWIEDLIWOŚCI KLEMENSA SZANIAWSKIEGO1
Dwie probabilistyczne metody sprawiedliwego podziału dóbr zaproponowane przez Klemensa Szaniawskiego opierają się na tych samych postulatach: równości i optymalnoś
ci. W przypadku każdej z nich pojęcie „równość" jest odmiennie definiowane i w związku z tym uzyskane rozwiązania znacznie się od siebie różnią. Gdy egalitaryzm jest rozumiany jako gwarancja równych szans satysfakcji, w wielu sytuacjach nie można go pogodzić z postulatem optymalności. W niniejszym artykule oprócz wybranych analiz tego problemu znajduje się też porównanie konsekwencji obu zasad Szaniawskiego, m.in. ze względu na spełnianie innych pożądanych kryteriów: proporcjonalności i braku zawiści.
Główne pojęcia: probabilistyczne metody podziału, dystrybucja, egalitaryzm, opty- malność w sensie Pareto.
Twórcy teorii w yboru społecznego zajmujący się m etodam i sprawiedliwego podziału dób r w swoich pracach więcej uwagi kierowali na problem atykę dystrybucji dó b r doskonale podzielnych. M im o to powstały również liczne prace poświęcone podziałowi zbioru dó b r niepodzielnych. Problem podziału d ó b r niepodzielnych występuje często, a wątek z nim związany m ożna znaleźć nawet w Biblii w Pierwszej Księdze Królewskiej, gdzie opisany jest problem , z którym do króla Salom ona zwróciły się dwie kobiety2. Ten biblijny przykład m oże być doskonałą ilustracją najważniejszej cechy, k tó rą posiadają do bra
Instytut Socjologii U W , ul. K arow a 18, 00-324 W arszawa, e-mail: m kuc@ is.uw .edu.pl
1 A rtykuł ten pow stał przy w ykorzystaniu pracy magisterskiej napisanej p od kierunkiem prof, dr hab. G rzegorza L issow skiego. Serdecznie dziękuję Panu Profesorow i za wszystkie cenne w skazów ki, które u m ożliw iły m i napisanie pracy.
2 O bie kob iety prawie rów nocześnie urodziły synów , lecz jedno z niem ow ląt wkrótce zmarło.
K ażd a z nich twierdziła, że jest m atką dziecka, które przeżyło i oskarżała drugą niewiastę o kłam stw o. K ról S alom on kazał rozciąć dziecko na dw ie części, poniew aż wiedział, że prawdziwa m atka zaprotestuje i będzie w o la ła oddać syna niż p ozw olić, b y g o zabito. Po tym w yroku w szyscy Izraelici „nabrali szacunku dla króla, widzieli bow iem , że jest w nim m ądrość B oża d o wym ierzania spraw iedliw ości” (IK r 3:28).
168 MARTA KUC
niepodzielne: konieczne jest, by przydzielać je w całości, w przeciwnym razie tracą wartość. D o bro doskonale podzielne m ożna dzielić na nieskończenie wiele części i z p u n k tu widzenia każdej osoby biorącej udział w podziale suma w artości tych części będzie rów na sumie całego, nie podzielonego dobra.
Podzielność jest jed n ą z cech, n a podstaw ie których dokonuje się generalnej klasyfikacji d ó b r do podziału. Istnieje jeszcze jedno takie kryterium (niezależne od podzielności), a jest nim jednorodność lub niejednorodność dobra. D obro jednorodne podzielne nie jest wewnętrznie zróżnicowane (np. pieniądze albo woda). Części tego dobra, m ające jednakow ą wielkość, m ają również jed na
kow ą wartość. D o b ra jednorodne, niepodzielne nie różnią się między sobą i każde z nich przedstaw ia tak ą sam ą w artość (np. m andaty w parlam encie lub zwolnienia ze służby wojskowej). N iejednorodność w przypadku dóbr podziel- nych oznacza, że zależnie od u p o dobań osób biorących udział w podziale, m ożliwa jest niejednakow a ocena poszczególnych części tego dobra, nawet jeśli są one tej samej wielkości (przykładem m ogą być częstotliwości radiowe lub ziemia). Z bió r dó b r niepodzielnych jest niejednorodny, gdy elementy wchodzą
ce w jego skład różnią się od siebie (np. nerki do transplantacji lub miejsca w wybranych szkołach).
Jeśli podzielne d obro m ożna dzielić n a nieskończenie wiele sposobów, to dystrybucji zbioru takich d ó b r również m ożna dokonyw ać na nieskończenie wiele sposobów. Inaczej jest w przypadku dób r niepodzielnych: liczba m oż
liwych rozw iązań jest ograniczona i trudniejsze jest wyznaczenie sprawied
liwego podziału. Jeśli istnieje jedno dobro, które należy sprawiedliwie roz- dystrybuow ać m iędzy dwie jednakow o upraw nione do niego osoby, problem jest znacznie prostszy wtedy, gdy m ożna to dobro podzielić w jakiś proporcjach (np. n a dwie połowy) i przekazać każdej z osób jedną część. W przypadku d o b ra niepodzielnego taki zabieg jest niedopuszczalny. Jedna z osób otrzym a wszystko, podczas gdy druga nie otrzym a nic. Pow stałą nierówność m ożna
„wyrównywać” n a kilka sposobów.
• Po pierwsze, osoba, k tó ra otrzym ała dobro m oże być zobowiązana do wypłacenia odszkodow ania drugiej osobie. Rekom pensata pow inna być takiej wielkości, by nikt nie czuł się pokrzywdzony. K łopo t związany z tą m etodą polega na tym, że konieczne jest, by jedn a z osób posiadała jakiś zasób pieniędzy, które m oże przeznaczyć n a odszkodowanie. W przeciwnym razie nie m ożna jej zastosować.
• Zgodnie z innym sposobem , d obro m ogłoby na zmianę przechodzić w p o siadanie raz jednej, raz drugiej osoby. W prowadzenie takiej rotacji nie jest jedn ak proste. K onieczne jest ustalenie, ja k długie m ają być przedziały czasowe. W niektórych przypadkach nie powinny być one równej długości, jeśli np. d o bro m oże z biegiem czasu zmienić swoją wartość. Poza tym, obu osobom m oże tak samo bardzo zależeć na ja k najszybszym otrzym aniu dzielonego dobra. M ożliwość wystąpienia trudności związanych z precyzyj
nym ustaleniem zasad rotacji wydaje się oczywista, a czasami posłużenie się tak ą m etod ą jest naw et niemożliwe.
• Problem podziału niepodzielnych d ó b r m ożna również rozwiązać za pom ocą loterii. W przypadku podziału jednego do b ra między dwie upraw nione do niego osoby m ożna rzucić rzetelną m onetą i w ten sposób wyznaczyć osobę, której zostanie przekazany dzielony przedm iot. Takie rozwiązanie nie tylko jest uczciwe i wyznacza dystrybucję w jednoznaczny sposób, ale również nie wymaga, by uczestnicy podziału posiadali jakieś zasoby finansowe. Obie osoby m ogą zgodzić się na losowanie, akceptując przypisane im praw dopo
dobieństw a otrzym ania do b ra - w omawianym przykładzie po 1/2. Ż adna z nich nie będzie czuła się pokrzyw dzona wiedząc, że szanse przeciwnika są identyczne. Różnice w ocenach dystrybucji m ogą wystąpić już po losowaniu.
Osoba, której nie dopisało szczęście, nie otrzym a nic i w jej oczach wyznaczone rozwiązanie m oże nie być sprawiedliwe. W tym przypadku nie m ożna zmniejszyć różnic w ocenach ex ante i ex post. G dyby do podziału były dwa różne dobra, m ożna by było w tym celu wykluczyć sytuacje, w których jed na z osób otrzym uje oba, podczas gdy druga nie otrzymuje żadnego z nich. Stosowanie m etod opartych na rachunku praw dopodo
bieństwa jest uzasadnione wyłącznie wtedy, gdy dzielone są d o b ra nie
podzielne. W przypadku d ó b r doskonale podzielnych zawsze istnieją roz
w iązania nie gorsze od rozw iązań wyznaczonych przez loterię.
W wielu sytuacjach uczestnicy podziału nie różnią się ze względu na upraw nienia do dzielonych dóbr, m ogą się natom iast różnić ich oceny przed
m iotów . Sprawiedliwe m etody dystrybucji powinny uwzględniać możliwe róż
nice preferencji osób i na ich podstaw ie wyznaczać rozwiązania. Istnieją dwa sposoby n a przedstawienie preferencji. M ogą być one wyrażone w postaci użyteczności, jakie każda z osób przypisuje każdem u z dóbr. Takie preferencje m ierzone są n a skali interwałowej - m ożna wówczas stwierdzić, ja k duże są różnice w ocenach poszczególnych dóbr. Preferencje każdego z uczestników podziału m og ą też być wyrażone jedynie przez uporządkow anie elementów zbioru dó br od najbardziej do najmniej pożądanego. Są one wtedy m ierzone n a skali porządkow ej i wielkości różnic w ocenach d ó b r nie są znane.
Zawsze, w odniesieniu do wszystkich sytuacji podziału dóbr, niezbędne jest ustalenie, do jakiej kategorii należą dzielone dobra, w jaki sposób wyrażone są preferencje osób, a w przypadku dó b r niepodzielnych - jaki sposób na
„w yrów nanie” nierówności m a być zastosowany (np. istotne jest, czy osoby posiadają zasoby finansowe pozwalające na wypłacenie ewentualnych rekom pensat). N aw et dokładne scharakteryzow anie sytuacji podziału nie oznacza, że oczywiste jest, k tó rą z m etod dystrybucji należy zastosować.
Istnieje wiele koncepcji sprawiedliwości, które stanowiły podstaw ę dla różnych zasad dystrybucji. Zasady te, podobnie ja k same koncepcje, pozostają ze sobą w różnych relacjach, nierzadko w konflikcie. Jeśli więc nie istnieje
170 MARTA KUC
ogólne i wyczerpujące kryterium sprawiedliwości, które m ożna by stosować do oceny zasad dystrybucji, trzeba w tym celu posługiwać się zestawem kryteriów, które um ożliw iają porów nyw anie sprawiedliwości podziałów d ó b r w pewnych szczególnych sytuacjach (tj. każde z nich stanowi cząstkową zasadę sprawied
liwości). M ożliwe jest wskazanie zbioru własności, które sprawiedliwe m etody powinny posiadać. W arto w tym miejscu przedstawić w skrócie chociaż kilka z nich.
Jedno z najważniejszych wym agań dotyczy spełniania postulatu anonim o
wości, który został sform ułow any przez K azim ierza Ajdukiewicza i nazwany przez niego zasadą równej m iary. Postulat ten wymaga, by każda z osób posiadających takie same, istotne z p u n k tu widzenia rozważanego problem u własności, była jednakow o trakto w an a - nikt nie m oże być wyróżniany tylko dlatego, że jest tą, a nie inną osobą (Ajdukiewicz 1939).
Inne, bardzo ważne kryterium wymaga, by wyznaczone przez zasadę podziału rozw iązania były proporcjonalne. Postulat proporcjonalności m a swoje źródła w filozofii Arystotelesa, a jego zastosowanie w odniesieniu do problem u sprawiedliwej dystrybucji jest możliwe dzięki polskim uczonym Bronisławowi K nasterow i i H ugo Steinhausowi. W edług tego postulatu, sprawiedliwa m eto da m usi prowadzić do rozwiązania, przy którym żadna z osób nie będzie czuła się pokrzyw dzona (K naster 1946; Steinhaus 1948).
K ażdy z n uczestników podziału powinien być przekonany (na podstawie swoich własnych preferencji), że wartość dóbr, które otrzym ał w wyniku podziału, nie jest m niejsza od 1 /n wartości całego zbioru dóbr.
W arto jeszcze dodać n a przykład, że sprawiedliwe zasady dystrybucji powinny dawać możliwie najbardziej korzystne rozwiązania. W zależności od rodzaju dób r, a przede wszystkim od sposobu wyrażenia preferencji, m ożna stosować różnie sform ułow ane postulaty optymalności. Bardzo często wyko
rzystywane jest kryterium optym alności Pareto.
D o oceny zasad podziału dó br m ożna stosować jeszcze wiele innych, ważnych kryteriów . M etody zaproponow ane przez K lem ensa Szaniawskiego, których analizie poświęcony jest niniejszy artykuł, oparte są n a dwóch inter
pretacjach postulatu egalitaryzmu. Szaniawski rozważał również problem optym alności. M etody te będą także oceniane ze względu n a spełnianie wspom nianego postulatu proporcjonalności oraz postulatu brak u zawiści.
Klem ens Szaniawski (1966, 1979) zaproponow ał dwie probabilistyczne m etody sprawiedliwego podziału zbioru niejednorodnych, niepodzielnych dóbr: zasadę rów nych szans satysfakcji oraz zasadę równych szans wyboru. Są one rozw ażane w odniesieniu do dosyć prostego m odelu teoretycznego. W ni
niejszym tekście znajduje się charakterystyka m odelu oraz wyjaśnienie, na czym polegają obie m etody. Om ówione zostały konsekwencje obu zasad i porów nane ze sobą m iędzy innymi n a podstaw ie wyczerpującej analizy w ybranych sytuacji podziału. Klem ens Szaniawski zauważył, że ta wersja postulatu egalitaryzmu,
n a której o p a rta jest m etoda równych szans satysfakcji, w wielu przypadkach nie m oże być pogodzona z postulatem optymalności. Nie określił jednak klasy sytuacji, w których postulaty te są sprzeczne. W dalszej części artykułu przedstaw ionych jest kilka wniosków wynikających z analizy tego problem u.
N a końcu rozw ażana jest zgodność z innymi pożądanym i własnościami sprawiedliwych zasad podziału.
Dwie zasady sprawiedliwości Klemensa Szaniawskiego
Rów ne traktow anie uczestników podziału jest jedną z najbardziej istotnych własności branych pod uwagę przy ocenie zasad sprawiedliwej dystrybucji, niezależnie od rodzaju dóbr, które m ają podlegać podziałowi. Postulat, by każdy z uczestników traktow any był jednakow o, m oże być rozum iany na różne sposoby. W sytuacji probabilistycznego podziału zbioru niejednorodnych, niepodzielnych d óbr procedura dystrybucyjna będzie zgodna z tym postulatem , jeśli zagw arantuje wszystkim osobom równe szanse otrzym ania pożądanych dóbr. Klem ens Szaniawski zaproponow ał dwie zasady sprawiedliwego p o działu oparte na postulacie egalitaryzmu: zasadę równych szans satysfakcji (RSS) i zasadę równych szans w yboru (RSW). Różnice między tymi dwiema m etodam i w ynikają przede wszystkim z odm iennego ujęcia problem u równości, co prow adzi do różnic w procedurach i w końcowych wynikach, jakie dają obie m etody.
Z asady Klem ensa Szaniawskiego m ają zastosowanie w sytuacji podziału m-elementowego (m ^ 1) zbioru niejednorodnych, niepodzielnych dó br D = {D j , D 2 , D m} m iędzy n > 2 osób S = {S j , S 2 , ■■·, S n} . Elemen
ty zbioru D nie są „dobram i niechcianymi”, tak więc każda z osób woli otrzym anie któregokolw iek z nich niż nieotrzym anie żadnego. Teoretyczny m odel, rozw ażany przez Szaniawskiego jest bardzo prosty w porów naniu ze złożonymi sytuacjam i podziału, jakie występują w rzeczywistości. U prosz
czenia, które zawiera, ułatw iają przeprowadzenie formalnej analizy.
Pierwsze z nich dotyczy upraw nień uczestników do dzielonych dóbr: m o del zakłada, że upraw nienia każdego z uczestników podziału są takie same.
Pom inięte zostają wszelkie czynniki różnicujące osoby w procesie podziału, takie ja k ich zasługi czy potrzeby.
Kolejne uproszczenie związane jest z założeniami pom iarow o-porów naw - czymi. Z akłada się, że znane są preferencje osób n a zbiorze dó br D, które m ierzone są na skali porządkow ej, tzn. każda z osób w artościuje przedm ioty, porządkując je od najbardziej do najmniej pożądanego. Z akłada się dalej, że nie jest możliwe ani porów nyw anie użyteczności osób, ani też różnic między użytecznościami. D la każdego uczestnika podziału S;· znane jest jego uporząd
kow anie preferencyjne przedm iotów należących do D. M ożna to upo rząd
172 MARTA KUC
kowanie opisać za pom ocą słabej relacji preferencji ( > ,) . Jeżeli osoba S',· woli otrzym ać przedm iot D 1 od przedm iotu D 2, to jej preferencje opisane zostaną za pom ocą wyrażenia: D j > t D 2. Jeśli zaś przedm ioty D 1 i D 2 ceni tak samo i jest jej obojętne, k tóry z nich otrzym a, wówczas stosow any jest zapis = f D 2.
Zapis D j D 2 oznacza natom iast, że d obro D } jest co najmniej tak samo pożądane przez osobę S ;, ja k d obro D 2. Profilem uporządkowań preferencyjnych { > ; , ^ 2’ ■■·> nazywany będzie zbiór uporządkow ań preferencyjnych wszystkich uczestników podziału.
Sposób rozdzielenia przedm iotów między osoby nazwany został podziałem.
Jest to dow olna funkcja x: D -> S, k tó ra przyporządkow uje każde z dóbr określonem u uczestnikowi podziału. Z biór możliwych podziałów zbioru D m ię
dzy uczestników podziału S jest skończonym zbiorem X = { x j , x 2 , ... ,x k), gdzie k = nm. Podział, który jest ostatecznym rozwiązaniem, przypisuje uczestnikom d o b ra w sposób jednoznaczny. W m etodach probabilistycznych wybór określonego podziału ze zbioru wszystkich podziałów X odbywa się n a podstaw ie wyznaczonego rozkładu praw dopodobieństw a na zbiorze X . K ażdy taki rozkład praw dopodobieństw a to dystrybucja. K ażdy z podziałów m ożna uznać za dystrybucję, k tó ra przypisuje tem u podziałowi praw dopodobieństw o równe jedności, a wszystkim pozostałym podziałom praw dopodobieństw a równe zeru. Z biór wszystkich możliwych dystrybucji jest zbiorem nieskończo
nym.
Funkcja, k tó ra przyporządkow uje dowolnemu profilowi uporządkow ań preferencyjnych określoną dystrybucję, nazw ana została regułą dystrybucji.
M ożliwych reguł dystrybucji jest nieskończenie wiele. Jeśli jednak zamierze
niem jest dokonanie takiego podziału zbioru D pom iędzy S, który m ożna by uznać za sprawiedliwy, to niezbędne jest wymaganie od reguły dystrybucji, by była ona zgodna z podstaw owym i założeniami dotyczącymi sprawiedliwości.
Zasady podziału d ó b r, k tó re zaproponow ał Klemens Szaniawski są takim i właśnie sprawiedliwymi regułam i dystrybucji.
Szaniawski opisywał zasady równych szans satysfakcji i równych szans w yboru odnosząc je do szczególnej sy tuaq i podziału. W prow adził trzy ograni
czające założenia, k tóre upraszczają analizę. Po pierwsze, swoje rozw a
żania ograniczył do sytuacji podziału, w której liczba dóbr jest rów na liczbie osób (m = ń). Zgodnie z kolejnym założeniem, dopuszczalne są tylko takie podziały, któ re przypisują każdej z osób dokładnie jedno dobro, a wszystkie pozostałe nie są brane pod uwagę. K onsekwencją tych założeń jest ograniczenie liczby elem entów zbioru dopuszczalnych podziałów X = { x 1 , x 2 , ... ,x k} do k = m\. Poza tym, dla tak zdefiniowanej sytuacji podziału istnieje możliwość określenia preferencji na zbiorze podziałów na podstaw ie preferencji n a zbiorze dóbr. D la każdego podziału m ożna stwierdzić, ja k będzie on oceniany przez dow olną osobę, poniew aż w iadom o, k tó rą pozycję w jej indywidualnym uporządkow aniu preferencyjnym zajmuje przypisane jej przez ten podział
dobro. G dyby dopuszczalne było przyznanie więcej niż jednego dobra, to w celu określenia preferencji osób n a zbiorze podziałów konieczne by było decydowanie, n a przykład, czy uczestnicy wolą otrzym ać dw a dob ra oceniane nisko, czy jedno zajmujące wysokie miejsce w ich indywidualnych upo rząd
kow aniach preferencyjnych. N a dokonyw anie takich ocen nie pozw alają przy
jęte założenia pom iarowo-porów naw cze.
O statnie z ograniczających założeń dotyczy preferencji uczestników p o działu: pom inięte zostały słabe uporządkow ania preferencyjne dopuszczające indyferencje i analizy zostały ograniczone wyłącznie do m ocnych porządków n a zbiorze alternatyw ( > ;). Zasady Szaniawskiego nie wymagają, by te trzy w arunki były spełnione, zostały one wprowadzone wyłącznie dla uproszczenia.
Metoda równych szans satysfakcji
Jednakow e traktow anie wszystkich uczestników podziału oznacza, w przy
p ad k u tej m etody, że dopuszczalne są jedynie takie dystrybucje, które zapewni
ają wszystkim uczestnikom podziału takie sam o praw dopodobieństw o otrzym ania dobra, k tó re zajmuje określoną pozycję w ich osobistych uporządkow a
niach preferencyjnych. Jeśli Pl(D k) oznacza praw dopodobieństw o, że z-ta osoba otrzym a przedm iot znajdujący się na £-tym miejscu w jej hierarchii preferencji, to postulat egalitaryzm u wymaga, by:
V V P im = P j(Dk)
Spełnianie tego wym agania jest w arunkiem koniecznym i wystarczającym, by dystrybucję uznać za zgodną z m etodą równych szans satysfakcji (dalej: RSS).
M ożna przyjąć, że p{Dk) oznacza praw dopodobieństw o (w przypadku RSS jednakow e dla wszystkich osób) otrzym ania dobra zajmującego fc-tą pozycję w indywidualnych uporządkow aniach preferencyjnych.
W sytuacji podziału trzech dó b r D — {A, B, Q między trzy osoby S = { S }, S 2, S 3} profil uporządkow ań preferencyjnych m oże być następujący:
S j : A C B S 2 : B A C S 3 : B C A,
co oznacza, że w ocenie S 3 (A > ^ C > x B), w ocenie S 2 (B > 2 A > 2 0 , a w ocenie S 3 (B > 3 C > 3 A).
Z pow odu przyjętego ograniczenia, mówiącego, że każda osoba otrzym uje dokładnie jedno dobro, dla m = n = 3 zbiór możliwych podziałów jest sześcioelementowy:
X j X 2 x ß X Ą x 5 x 6
A B C A C B B A C B C A C A B C B A
174 MARTA KUC
K ażdy z podziałów m oże być przedstaw iony jak o perm utacja zbioru D, przy interpretacji zakładającej, że i-ty element perm utacji został przyznany i-tej osobie, np. podział x 3 przyporządkow uje osobie S j przedm iot B, osobie S 2 przedm iot A , a osobie S 3 przedm iot C.
M ając dany profil uporządkow ań preferencyjnych m ożna poszczególnym podziałom przypisać rangi zgodne z hierarchią preferencji każdej z osób (ranga 3 oznacza d ob ro oceniane najwyżej, a ranga 1 - dobro oceniane najniżej):
Xj X>2 -X2 ^5 "^6
A B C A C B B A C B C A C A B C B A 3 3 2 3 1 3 1 2 2 1 1 1 2 2 3 2 3 1
Symbolem p{xt) będzie oznaczone praw dopodobieństw o w yboru i-tego podziału; p(x/) ^ 0, a Σ p(x/) = 1.
Aby postulat egalitaryzm u, który wymaga od dystrybucji, by wszyscy uczestnicy mieli jednakow e szanse otrzym ania d ob ra zajmującego taką sam ą pozycję w ich uporządkow aniach preferencyjnych był spełniony, rozkład praw dopodobieństw a n a zbiorze podziałów m usi być zgodny z następującym układem równań:
prawdopodobieństwo otrzymania dobra znajdującego się w hierarchii preferencji n a pierwszym miejscu p (x j) + p (x 2) = p(x j) + p(x fi) = p(x2) + P(x s) n a drugim miejscu p (x 5) + p (x 6) = p (x 3) + p (x 5) = p (x }) + p (x 3) n a trzecim m iejscu p (x 3) + p (x 4) = p (x 2) + p (x 4) — p (x 4) + p (x 6).
Po zredukow aniu powyższych równości zostaje:
Ρ(χ ]) = ρ ( χ 5) Ρ(χ 2) = Ρ(χ 3) = Ρ(χ ό)·
M ożna w prow adzić dodatkow e oznaczenia: r = p (x j) = p ( x 5); s = p (x 2)
= P(x3) — P(x (j), a t = p (x 4). Teraz praw dopodobieństw a otrzym ania przez wszystkie osoby d ó b r zajmujących pierwsze, drugie i ostatnie miejsce w ich hierarchii preferencji m ożna zapisać: p{D 1) — p^D2) = r + s, a p(D 3) = t+ s.
D la dowolnego profilu preferencji m ożna wyznaczyć analogiczny układ rów nań. T ylko w szczególnych sytuacjach (gdy preferencje wszystkich osób są identyczne) uzyskane rozwiązanie determ inuje konkretny rozkład praw dopo
dobieństwa. Przew ażnie istnieje cała klasa dopuszczalnych dystrybucji zgod
nych z wyznaczonymi równościami. Bez względu na to, jakie są preferencje osób, m ożna wyznaczyć dystrybucję p*, k tó ra każdem u podziałowi przypisuje jednakow e praw dopodobieństw op(x^) = l/m l. W ów czasp(D ') — p iD 2) = ...=
p(D m) = l/m .
Sprawiedliwe reguły dystrybucji powinny nie tylko być zgodne z w ym o
gami egalitaryzm u, ale także wyznaczać takie rozwiązania, które byłyby jak najbardziej korzystne dla osób biorących udział w podziale. Klemens Sza
niawski zaproponow ał, by zasadę RSS uzupełnić dokonując oceny podziałów przy użyciu m ocnego kryterium optymalności Pareto. Istnieją dwa kryteria optym alności Pareto. Nie wym agają one dokonyw ania m iędzyosobowych p o rów nań użyteczności osób.
Symbol rfpc^) oznacza rangę, k tó rą z-ta osoba przypisuje przedm iotowi przyznanem u jej przez podział x a. W omawianej sytuacji podziału rangi są odpowiednikam i użyteczności.
W edług słabego kryterium optymalności Pareto, aby podział x a m ógł być społecznie uznany za lepszy od podziału x b (x a > x b), m usi być wyżej oceniany przez wszystkie osoby.
[V φ α) > r f x b)) => x a > x b.
Zgodnie z m ocnym kryterium podział x a jest uznany społecznie za lepszy od podziału x b, (x a >p x b), jeśli jednom yślnie wszystkie osoby uznają x a za nie mniej korzystny od x b, a co najmniej jeden uczestnik podziału - za bardziej korzystny:
{[Vs ri<x a) > r,(x b)] A [3 s r,{xfl) > r { x h)}} => x a > x b.
Teraz m ożna wszystkie sześć podziałów pogrupować. Pierwszą grupę będą stanowiły podziały zdom inowane, które należy wykluczyć, drugą - pozostałe, czyli optym alne w sensie Pareto. Wykluczenie podziałów zdominowanych oznacza przypisanie im praw dopodobieństw równych zero.
W przytoczonym tu przykładzie zdominowanym i w m ocnym sensie P a
reto są podziały: x 3, x 4 oraz x 6. Z postulatu egalitaryzm u wynikało, że p (x 2)
— ρ (χ3) = P(x e)’ Jeśli więc p (x 3) — p(x g) = 0 , to także p(x2) = 0. W efekcie wyznaczona została dystrybucja: p (x j) — p (x 5) = 0,5 oraz p (x t) = 0 dla i e {2, 3 ,4 , 6}. Jest o na zgodna z zasadą RSS i postulatem optym alności (dalej zasada RSS uzupełniona o m ocny postulat optymalności Pareto będzie oznaczana przez RSS-O) i przypisuje następujące praw dopodobieństw a: p(D ‘) = p iD 2)
= 0,5, a p(D 3) = 0.
Nie dla wszystkich profili uporządkow ań preferencyjnych możliwe jest uzyskanie wyniku spełniającego oba te w arun ki. W wielu przypadkach zacho
dzi między nimi sprzeczność i w konsekwencji wszystkim podziałom zostaje przypisane praw dopodobieństw o równe zero, m im o że suma tych praw do
podobieństw pow inna wynosić jeden. Przykładem takiej sytuacji m oże być profil:
S j : A C B S2 : A C B S3 : B A C.
176 MARTA K.UC
D la tego profilu rangi przypisane każdem u podziałowi będą następujące:
X j ^2 Xą X <2
^
A B C A C B B A C B C A C A B C B A 3 1 1 3 2 3 1 3 1 1 2 2 2 3 3 2 1 2 Postulat egalitaryzm u wymaga, by spełnione były równości:
prawdopodobieństwo otrzymania dobra znajdującego się w hierarchii preferencji n a pierwszym miejscu p (x f) + ρ ( χ 3) = p (x 3) + p(x$) = ρ (χ 2) + P(x s) n a drugim miejscu p (x 5) + p (x 6) = p (x 2) + p (x 4) = p (x 4) + p (x 6) n a trzecim miejscu p(Aj) + p(xą) = p (x i) + p(% ) — Ρ(χ ι) + p(x3)·
Powyższy układ rów nań m ożna zredukować:
P(x l) = Ρ(χ 4) = P(x s) p(x 2) = Ρ(χ 3> = Ρ(χ ΰ)·
Zastosow anie m ocnego kryterium optymalności Pareto prowadzi do wyklucze
nia czterech podziałów. Podział x 2 dom inuje podziały x }, x 4 i x 6, podział x 5
— podziały x 3, x 4 i x 6.
Jeśli uwzględni się jednocześnie zależności między praw dopodobieństw am i podziałów wynikające z postulatu egalitaryzm u i postulat optymalności, ok a
zuje się, że wszystkim podziałom trzeba przypisać zerowe praw dopodobień
stwa.
W ym agania narzucone n a regułę dystrybucji RSS-O są proste i przem a
wiają do intuicji. M im o to nie zawsze m ożna je jednocześnie spełnić. Klemens Szaniawski uznał, że nie m ożna wyeliminować sprzeczności postulatów przez ich osłabienie. O ptym alność w sensie Pareto i tak jest słabym kryterium opty
m alności, a m odyfikacja p ostulatu egalitaryzm u polegająca na przykład na ograniczeniu stosow ania go do dób r znajdujących się n a pierwszych miejscach w indywidualnych uporządkow aniach preferencyjnych nie byłaby intuicyjnie przekonująca. D latego, zdaniem Szaniawskiego, należy zastanowić się, czym charakteryzują się profile, dla których nie występuje konflikt i uznać, że możliwość wyznaczenia dystrybucji zgodnych z R S S -0 jest ograniczona do tej grupy.
Metoda równych szans wyboru
Zgodnie z tą m etodą, uczestnicy są ustawieni „w kolejce” i każdy z nich wybiera jedno, ja k najwyżej cenione przez siebie dobro, spośród podzbioru dóbr, które pozostały po dokonaniu w yboru przez poprzedników. Osoba wybierająca jak o pierwsza wskaże przedm iot znajdujący się na pierwszym miejscu w jej hierarchii preferencji. W ybór osoby ostatniej, przy m = n, jest w pełni zdeterm inow any przez wybory jej poprzedników.
Symbol t będzie oznaczał perm utację n a zbiorze osób S, któ ra określa kolejność, w jakiej uczestnicy dokonują w yboru dóbr, a T - zbiór wszystkich możliwych perm utacji tego typu. Procedura, na której jest oparta m etoda równych szans w yboru (dalej: RSW ), każdej z perm utacji przypisuje podział.
Sposób przyporządkow ania perm utacjom ze zbioru T podziałów ze zbioru X m ożna oznaczyć za pom ocą funkcji q: T -* X. Postulat, aby każda z osób była trak to w an a tak samo, został tu zoperacjonalizowany w odm ienny sposób:
każdej perm utacji t przypisane zostaje jednakow e praw dopodobieństw o równe 1/«!. N a tej podstaw ie zostaje wyznaczona dystrybucja:
xyx P(Xa) = h ^ r \ ( ^ gdzie λ„ oznacza funkcję wskaźnikową, tzn.Λα
D ystrybucje wyznaczone w ten sposób spełniają również postulat op- tym alności P areto, ponieważ każda z osób zawsze wskazuje przedm iot jak najwyżej przez nią oceniany, w związku z czym nie m ogą zostać wybrane podziały zdominowane.
W sytuacji, gdy m = n — 3 istnieje sześć możliwych perm utacji n a zbiorze S, a (dla pierwszego rozważanego profilu: S 3: A C B, S 2: B A C, S 3: B C A ) dla każdej z nich w ybrane zostaną następujące dobra:
ll S j S 2 S 3 h A B C
l2 s 3 s 3 s 2 h A C B
ł3 S 2 SjS 3 ł3 A B C
ł4 S 2 S 3 Sj u A B C
h $3 $1 S 2 ls A C B
{6 $3 S 2 S j l6 C A B
K ażdem u z tych w yborów przypisane jest takie samo praw dopodobieństw o równe 1/ 6, co w konsekwencji daje następującą dystrybucję:
Podziały Dobra przydzielane osobom S1 $2 $3
Prawdopodobieństwa
X1 A B C 3/6
x 2 A C B 2/6
x 3 B A C 0
χ 4 B C A 0
x 5 C A B 1/6
x 6 C B A 0
178 MARTA KUC
Ten wynik m ożna zapisać w postaci następującej tabeli praw dopodobieństw:
Osoba: p(P‘) piD2) P(D3)
Sl 5/6 1/6 0
s 2 3/6 1/6 2/6
s 3 3/6 3/6 0
W przypadku m etody równych szans w yboru nie m oże wystąpić sprzecz
ność postulatów egalitaryzm u i optymalności. Przyjęte założenie mówiące o dopuszczalności tylko m ocnych uporządkow ań zbioru dó b r przez osoby spraw ia, że wynikiem otrzym anym po zastosowaniu tej m etody zawsze jest jed n a k o n kretna dystrybucja. M eto d a równych szans satysfakcji często wyznacza całą klasę dystrybucji. Rozwiązania, jakie dają obie te zasady, przeważnie znacznie się od siebie różnią.
Porównanie konsekwencji dwóch zasad sprawiedliwości Klemensa Szaniawskiego
W przypadku zasady RSS uwzględnienie m ocnego kryterium optymalności Pareto pow oduje eliminację „gorszych” podziałów. W efekcie, dla niektórych profili, procedura prow adzi do wyznaczenia jednej, konkretnej dystrybucji zgodnej z przyjętym i postulatam i, dla innych wyznacza całą klasę dystrybucji, są również takie profile, dla których nie istnieje egalitarna dystrybucja, k tó ra jednocześnie jest optym alna.
W przypadku m etody równych szans wyboru, gdy preferencje osób są wyrażone przez m ocne uporządkow anie zbioru alternatyw, RSW dla dowol
nego profilu preferencji wyznacza konkretną dystrybucję zgodną z postulatam i równości i optym alności. M eto d a ta nie wymaga, by pragnienia wszystkich uczestników były zaspokojone w tym samym stopniu. Satysfakcja każdej z osób zależy od konfiguracji preferencji w całej grupie. W przypadku niektórych profili dystrybucje wyznaczone przez RSW równocześnie spełniają w ym agania RSS. Istnieją także takie profile, dla których RSW wyznacza dystrybucje, „n a pierwszy rzut o k a” nie m ające nic wspólnego ze sprawied
liwością. D opiero znajom ość procedury pozw ala zrozumieć, dlaczego są one zarów no egalitarne, ja k i optymalne.
Omówienie konsekwencji obu zasad rozpocznie analiza dystrybucji uzyska
nych dla wszystkich możliwych profili uporządkow ań preferencyjnych, w sytu
acji podziału 3 dó br między 3 osoby.
G dy n — m = 3, a każda z osób m oże otrzym ać dokładnie jedno dobro i jeśli dopuszczalne są wyłącznie m ocne uporządkow ania D, zbiór możliwych profili preferencji zawiera 63 = 216 elementów. Jednak nawet wyczerpująca
Tabela 1. Prawdopodobieństwa wyznaczone przez obie zasady dla wszystkich typów profili, w których m = n = 3.
Prawdopodobieństwa wyznaczone przez RSS-O
p( F )p<P*)p( P )
Prawdopodobieństwa wyznaczone przez RSW
p(D')p(D>)Pm Profil 1
S, A B C 52 A B C 53 A B C
1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 Profil 2
S, A B C S, A B C S3 A C B
sprzeczność postulatów RSS i optymalności
1/3 1/2 1/6 1/3 1/2 1/6 1/3 2/3 0 Profil 3
S, A B C 52 A B C 53 B A C
sprzeczność postulatów RSS i optymalności
1/2 1/6 1/3 1/2 1/6 1/3 2/3 0 1/3 Profil 4
S, A B C 52 A B C 53 B C A
sprzeczność postulatów RSS i optymalności
1/2 1/6 1/3 1/2 1/6 1/3 2/3 1/3 0 Profil 5
S, A B C 52 A B C 53 C A B
sprzeczność postulatów RSS i optymalności
1/2 1/2 0 1/2 1/2 0
1 0 0
Profil 6
S, A B C 52 A B C 53 C B A
sprzeczność postulatów RSS i optymalności
1/2 1/2 0 1/2 1/2 0
1 0 0
Profil 7
S, A B C 52 A C B 53 B A C
sprzeczność postulatów RSS i optymalności
1/2 1/6 1/3 1/2 1/2 0 5/6 0 1/6 P rofil8
S, A B C 52 A C B 53 B C A
1/2 1/2 0 1/2 1/2 0 1/2 1/2 0
1/2 1/6 1/3 1/2 1/2 0 5/6 1/6 0 Profil 9
S, A B C 52 B A C 53 C A B
1 0 0 1 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0 0
Profil 10
S, A B C 52 B C A 53 C A B
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0 0
180 MARTA KUC
analiza reguł dystrybucji nie wym aga prześledzenia ich konsekwencji dla wszystkich tych przypadków . Oznaczenia przedm iotów należących do D i osób należących do S są symboliczne. Jeśli profile różnią się od siebie tylko nazwami dób r i/lub kolejnością osób, wyznaczone dla nich dystrybucje będą takie same.
M ożna więc zbiór wszystkich profili podzielić n a rozłączne podzbiory. Profile należące d o tego samego podzbioru będą miały tak ą sam ą strukturę preferencji, a jedyną różnicą będą oznaczenia dóbr i/lub oznaczenia osób.
W yczerpującą analizę całego 216-elementowego zbioru profili preferencji m ożna uzyskać analizując tylko jeden profil z każdego podzbioru. W sytuacji podziału 3 dó br między 3 osoby, n a zbiór wszystkich profili preferencji składa się 10 podzbiorów . W Tabeli 1 znajdują się profile reprezentujące każdy z 10 typów oraz rozw iązania wyznaczone dla nich przez obie metody.
K ażdy z tych profili reprezentuje możliwą konfigurację preferencji osób, innymi słowy - m ożliwą sytuację konfliktu interesów. Znajdują się tu trzy profile o szczególnej strukturze. Profil 1 charakteryzuje się tym, że preferencje wszystkich uczestników są takie same - konflikt interesów jest m aksym alny.
W takiej sytuacji zarów no RSS, jak i RSW wyznaczają jednakow e dystrybucje, zgodnie z którym i każda z osób m a takie samo praw dopodobieństw o (równe 1/3), że otrzym a dowolny przedm iot. W zbogacenie zasady równych szans satysfakcji o p o stu lat optym alności nie powoduje w tym przypadku zmiany wyznaczonej dystrybucji, ponieważ nie występują tu podziały zdominowane.
W związku z tym, żaden z nich nie m oże zostać wyeliminowany. Zgodnie z m etodą równych szans w yboru, w sytuacji m aksym alnego konfliktu, każdej perm utacji n a zbiorze uczestników przyporządkow any jest inny podział.
In n ą sytuację, w której obie reguły dystrybucji wyznaczają zawsze takie same rozw iązania, reprezentują profile 9 i 10. Preferencje osób różnią się tak znacznie, że nie występuje tu żaden konflikt interesów. K ażda z osób otrzym uje z praw dopodobieństw em równym jeden dobro, które ceni najbardziej. W przy
padk u RSS-O, m ocne kryterium optymalności wyklucza wszystkie podziały, prócz jednego - k tóry zapewnia każdej osobie najbardziej pożądane przez nią dobro. W edług m etody RSW każdej perm utacji n a zbiorze osób zostaje przyporządkow any ten sam, najlepszy podział. Tylko dla trzech omówionych powyżej klas profili rozw iązania wyznaczone przez obie zasady sprawiedliwości nie różnią się.
Jest jeszcze jeden typ profili, dla których m ożna porów nać rozwiązania wyznaczone przez R S S -0 i przez RSW. Reprezentantem tego typu jest p ro fil 8, a należy do niego także profil z poprzedniego paragrafu. Profil ten m a pew ną szczególną cechę: w indywidualnych uporządkow aniach preferencyj
nych każdej z osób, n a ostatnim miejscu występuje inne dobro. T ak samo jest w profilu 10 (gdzie dodatkow o u każdej osoby na drugim i na pierwszym m iejscu w ystępują różne dobra). RSS optymalizuje rozwiązanie przypisując najmniej pożądanem u d ob ru praw dopodobieństw o równe zero (dla profilu 10,
również d o bru n a drugim miejscu). Rozw iązania dla profilu 8 pokazują, że korzyści osób biorących udział w podziale m ogą być większe w przypadku jednej bądź drugiej m etody, w zależności od indywidualnych uporządkow ań preferencyjnych3.
Porów nanie dystrybucji wyznaczonych przez obie m etody m ożna prze
prowadzić tylko dla tych czterech profili. D la żadnego z pozostałych przypadków nie m ożna wyznaczyć rozw iązania zgodnego z RSS-O. M ożna, co praw da, dla tych profili nie brać pod uwagę postulatu optymalności i przyjąć do porów nań dystrybucje wyznaczone przez RSS przypisujące każdem u p o działowi takie sam o praw dopodobieństw o równe l/n!. Jednak m ożna wątpić, czy uzasadniona jest rezygnacja z postulatu optymalności, którego spełnianie, zdaniem K lem ensa Szaniawskiego, jest jedną z najważniejszych własności sprawiedliwej reguły dystrybucji. Poza tym m etoda RSW , której procedura jest optym alna i nie dopuszcza zdominowanych podziałów, zawsze w takich przypadkach daw ałaby takie samo bądź lepsze rozwiązanie, więc zestawianie tych wyników nie dostarczyłoby żadnych istotnych informacji. Porównywanie dystrybucji ze względu na korzyści poszczególnych uczestników wydaje się rozsądne tylko wtedy, gdy obie m etody dają optym alne wyniki.
G dy dopuszczalne są jedynie m ocne porządki n a zbiorze alternatyw, zasada RSW dla dowolnego profilu wyznacza konk retn ą dystrybucję. M etoda ta nie wymaga, by wszyscy uczestnicy byli jednakow o zadowoleni z wyznaczonej dystrybucji i gwarantuje im to tylko w przypadku om awianych już wcześniej profili 1, 9 i 10. Rozwiązanie zależy tu od struktury preferencji w całej grupie i jest ono bardziej korzystne dla osób, które m ają upodobania odm ienne niż reszta. N a przykład dla profili 5 i 6 wyznacza jednakow e dystrybucje4. W ydają się one zgodne z intuicyjnym poczuciem sprawiedliwości. W arto przypomnieć, że dla tych profili nie istnieje rozwiązanie gwarantujące uczestnikom równe szanse satysfakcji i optym alne zarazem.
Omówienie konsekwencji obu m etod tylko dla sytuacji podziału 3 dó br między 3 osoby nie wydaje się wystarczające. M ała liczba możliwych typów profili nie odzwierciedla wielości różnego rodzaju możliwych konfliktów między osobami. Z tego pow odu tru dn o dopatrzyć się prawidłowości dotyczą
cych relacji między cechami profilu i wyznaczonymi dla niego rozwiązaniami.
Poza tym, nielicznych wniosków z analizy tak prostej sytuacji nie m ożna traktow ać, jak by m iały one charakter ogólny (były prawdziwe dla dowolnego n = m). W arto przyjrzeć się znacznie bogatszej sytuacji podziału 4 d ó b r między
3 O soba S j jest w lepszej sytuacji, gdy stosow ana jest R SS-O , osob a S3 - gdy R SW , natom iast praw d opod obień stw a przypisane osob ie S 2 są takie same w przypadku obu m etod.
4 W obu przypadkach osob a S 3, która najbardziej chce otrzym ać przedm iot oceniany przez p ozostałe o sob y najniżej, zyskuje dzięki ekscentrycznym up odob aniom i otrzymuje to dobro z praw dopodobieństw em rów nym jeden. Preferencje osób S j i S 2 są takie same, w ięc R SW zapewnia im jednakow e szanse otrzym ania pożądanych dóbr.
182 MARTA KUC
4 osoby. W tym przypadku zbiór możliwych profili uporządkow ań preferencyj
nych zawiera 244 = 331 776 elementów. Przeanalizowanie takiej ilości roz
wiązań wydaje się praw ie niemożliwe. T ak samo ja k w omawianej wcześniej sytuacji n = m = 3, kom pletną analizę rozw iązań dla wszystkich profili m ożna zastąpić analizą dla reprezentantów poszczególnych podzbiorów zbioru profili.
O kazało się, że są 762 typy profili5, charakteryzujące się różnym i kon
figuracjami preferencji. Oczywiście istnieje wśród nich jeden typ profili, w któ rych preferencje wszystkich osób są takie same i aż 60 typów profili, których w spólną cechą jest zupełny b rak konfliktu między uczestnikami. W przypadku tych profili obie m etody wyznaczają takie same dystrybucje (analogiczne do rozw iązań dla profili 1, 9 i 10 przedstawionych w Tabeli 1). Aż w 641 przypadkach spośród pozostałych 701 typów profili wystąpiła sprzeczność postulatów 6. Rozwiązanie zgodne z R S S -0 istnieje jedynie dla 60. D la nich obie zasady sprawiedliwości dają bardzo różnorodne rozwiązania. N ie sposób omówić wszystkich tych wyników, ale w arto uważniej przyjrzeć się chociaż kilku charakterystycznym , które m ogą posłużyć za ilustrację własności obu reguł dystrybucji. W Tabeli 2 znajdują się profile, do których będą odwołania w tekście.
Już przy analizow aniu rezultatów zastosowania obu m etod do podziału 3 dó br m iędzy 3 osoby m ożna było dostrzec, że dla niektórych profili dystrybucje wyznaczone przez obie zasady są różne i m ogą być odmiennie oceniane przez różnych uczestników podziału. Korzyści niektórych będą większe, gdy zostanie zastosow ana m etoda RSW , innych - gdy RSS-O. D la n — m = 4, przykładem takiej sytuacji jest profil l 7.
M oże się zdarzyć, że obie reguły dystrybucji wyznaczają takie same dystrybucje, m im o że profilu nie cechuje ani m aksym alny konflikt interesów, ani całkowity b rak konfliktu. Przykładem może być profil 2. N a pierwszym oraz na trzecim miejscu w uporządkow aniu preferencyjnym każdej osoby jest ten sam przedm iot. Praw dopodobieństw a otrzym ania dó br n a tych miejs
cach w związku z tym są równe i wynoszą po 1/4. Obie reguły optym alizują wynik przypisując praw dopodobieństw a zerowe przedm iotom ocenianym naj
niżej.
5 O pis m etod y generow ania typ ów profili oraz wykaz w szystkich 762 typ ów wraz z w yz
naczonym i d la nich dystrybucjami znajduje się w aneksie d o pracy magisterskiej.
6 A b y zbadać czy istnieje rozw iązanie godne z R SS-O i wyznaczyć je, trzeba d la każdego typu profili w ygenerow ać i rozw iązać złożon y układ rów nań liniow ych z 24 niewiadom ym i.
7 R S W w yznacza dystrybucję bardziej korzystną dla osób S3 i S4 - praw dopodobieństw a otrzym ania dóbr znajdujących się n a ostatnich i przedostatnich m iejscach w ich hierarchiach preferencji są zerow e (tak jak przy R SS-O ), a szansa otrzym ania przedm iotu najwyżej cenionego jest bardzo du ża i w yn osi aż 3/4. D la o só b S 3 i S2 bardziej korzystna jest dystrybucja w yznaczona przez R SS-O . C o praw da szansa n a otrzym anie najbardziej pożądanego dobra w yn osi 1/2, tak sam o jak przy R SW , ale np. praw d opod obień stw o otrzym ania dobra najmniej cen ion ego w ynosi zero, a nie 1/4.
Tabela 2. Prawdopodobieństwa wyznaczone przez obie metody dla wybranych typów profili, w których m = n = 4.
Prawdopodobieństwa wyznaczone przez RSS-O P ip 1) p(fi*) Pm p(D<)
Prawdopodobieństwa wyznaczone przez RSW p m p m p w * d o Profil 1
Si A B C D 12/24 12/24 0 0 12/24 4/24 2/24 6/24
S2 A C B D 12/24 12/24 0 0 12/24 4/24 2/24 6/24
S3 B D A C 12/24 12/24 0 0 18/24 6/24 0 0
S4 C D A B 12/24 12/24 0 0 18/24 6/24 0 0
Profil 2
Si A B C D 6/24 12/24 6/24 0 6/24 12/24 6/24 0
s 2 A B C D 6/24 12/24 6/24 0 6/24 12/24 6/24 0
S3 A D C B 6/24 12/24 6/24 0 6/24 12/24 6/24 0
S4 A D C B 6/24 12/24 6/24 0 6/24 12/24 6/24 0
Profil 3
Si A B C D r s r s 10/24 2/24 10/24 2/24
s 2 A B C D r s r s 10/24 2/24 10/24 2/24
S3 B A D C r s r s 10/24 2/24 10/24 2/24
S4 B A D C r s r s 10/24 2/24 10/24 2/24
Profil 4
Si A B C D 12/24 12/24 0 0 12/24 4/24 2/24 6/24
s 2 A B C D 12/24 12/24 0 0 12/24 4/24 2/24 6/24
S3 C B A D 12/24 12/24 0 0 18/24 6/24 0 0
S4 C B A D 12/24 12/24 0 0 18/24 6/24 0 0
Profil 5
Si A B C D 8/24 8/24 2/24 6/24
s 2 A B C D sprzeczność postulatów 8/24 8/24 2/24 6/24 S3 A B C D RSS i optymalności 8/24 8/24 2/24 6/24
s 4 C B A D 18/24 0 0 6/24
Profil 6
Si A B C D 12/24 4/24 8/24 0
s 2 B A C D sprzeczność postulatów 12/24 4/24 8/24 0
S3 B D C A RSS i optymalności 19/24 0 5/24 0
s 4 D A C B 20/24 1/24 3/24 0
Profil 7
Si A B C D 12/24 12/24 0 0 11/24 2/24 10/24 1/24
s 2 A C D B 12/24 12/24 0 0 11/24 12/24 1/24 0
S3 B A D C 12/24 12/24 0 0 11/24 2/24 10/24 1/24
s4
B D C A 12/24 12/24 0 0 11/24 12/24 1/24 0Profil 8
Si A B C D 12/24 0 12/24 0 11/24 2/24 5/24 6/24
s 2 A C D B 12/24 0 12/24 0 11/24 7/24 6/24 0
S3 B A C D 12/24 0 12/24 0 11/24 2/24 5/24 6/24
S4 B C D A 12/24 0 12/24 0 11/24 7/24 6/24 0
184 MARTA KUC
W iadom o, że RSS (a także RSS-O) nie m usi wyznaczać jednej konkretnej dystrybucji. Czasami rozwiązaniem jest cała klasa dystrybucji, zgodnie z k tó rą poszczególnym podziałom m ożna przypisać praw dopodobieństw a n a nieskoń
czenie wiele sposobów. Sytuacja podziału 3 dóbr między 3 osoby była dość uboga i (gdy nie występowała sprzeczność postulatów egalitaryzmu i op tymalności) dystrybucja wyznaczona przez RSS-O zawsze determ inowała w sposób jednoznaczny rozkład praw dopodobieństw na zbiorze podziałów.
G dy n = m = 4 możliwych typów profili i różnorodnych rozwiązań dla nich jest znacznie więcej. W wielu przypadkach RSS-O wyznacza jedynie klasę dystrybucji w taki sposób, że praw dopodobieństw a m ożna przypisać na nieskończenie wiele sposobów. Przykładem takiej sytuacji m oże być profil 3.
Jest on interesujący z innego jeszcze powodu: dystrybucja wyznaczona przez RSW zapewnia wszystkim równe szanse satysfakcji - każda z osób otrzymuje d o b ra zajm ujące te same pozycje z jednakow ym i praw dopodobieństwam i.
Z asada RSS-O wyznacza klasę dystrybucji. Z a r i s m ożna podstaw ić dowolne wartości, które spełniają warunek: 2(r + s) = 1. Jednym z rozwiązań jest przyjęcie, że r = 10/24, a s = 2/24. T aki wynik będzie identyczny z uzyskanym przy zastosow aniu RSW , nie jest on jednak najlepszy z możliwych. Bardziej korzystne dla wszystkich uczestników będzie założenie, że s — 0, wówczas r m usi wynosić 1/2. W tym przykładzie, jeśli praw dopodobieństw a zostaną przypisane tak, by m aksym alizow ać zysk uczestników, rozwiązanie wyznaczo
ne przez RSS-O jest dla wszystkich bardziej korzystne niż rozwiązanie wy
znaczone przez RSW.
W wielu przypadkach tru d n o od razu stwierdzić, k tóra reguła wyznacza lepsze rozwiązanie. T ak a ocena m oże być cenna, dlatego w arto było przyjąć jakieś kryterium porów nania rezultatów zastosow ania obu m etod. Właściwym kryterium - nie budzącym zastrzeżeń - ponownie było m ocne kryterium optym alności Pareto. Porów nyw ane zostały tabele praw dopodobieństw utw o
rzone n a podstaw ie wyznaczonych dystrybucji.
Po zastosow aniu m etody RSS-O, praw dopodobieństw o, że i-ta osoba (i = 1,...,4) otrzym a przedm iot zajmujący k-tą pozycję w jej uporządkow aniu preferencyjnym (k = 1,...,4) będzie oznaczone symbolem p iRSS'°(Dk), co m ożna zapisać również jjm ·0^ ) , ponieważ dla wszystkich i praw dopodobieństw a będą takie same. ρ ™ ν (Ι? ) oznacza analogiczne praw dopodobieństw o wyzna
czone przez RSW. W iadom o, że Σ p iRSS'°{D,c) = 1 oraz Σ p iRSW(Dk) = 1.
A by porów nyw ać dystrybucje trzeba skorzystać ze sposobu, który nie wym aga m ierzenia użyteczności dó b r n a poszczególnych miejscach w indywi
dualnych uporządkow aniach preferencyjnych uczestników. W przypadku nie
których p a r dystrybucji m ożna stwierdzić, k tó ra z nich jest bardziej korzystna dla każdego z uczestników, ponieważ porów nania m ożna dokonać opierając się n a skum ulowanych rozkładach praw dopodobieństw . Jeśli np. dystrybucja wyznaczona przez m etodę RSS-O będzie z-tej osobie przypisywała rozkład
praw dopodobieństw a nie mniejszy stochastycznie od rozkładu przypisanego tej osobie przez RSW , to m ożna powiedzieć, że dla i-tej osoby RSS-O wyznacza rozw iązanie nie gorsze od rozw iązania wyznaczonego przez RSW.
D ystrybucję RSS-O m ożna uznać za nie gorszą od dystrybucji RSW z p u n k tu widzenia osoby S), gdy :
1) p RSS'°{Dl) > p iRSW{D1) oraz
2) p RSS 0(D l) + p RSS 0(D2) Js p RSW(D ‘) + p ^ w(D2) oraz jednocześnie
3) p M5-°(Z>;) + p RSS-°(D2) -1- p RSSO(D3) > PjRSW( D I) + p RSW{D2) + p RSW(D3).
Jeśli d o datkow o spełniony jest przynajmniej jeden z poniższych warunków:
1) p RSS 0(D l) > p iRSW{DI) lub
2) ρ ^ - ο φ 1) + p RSS 0(D 2) > p iRSW(DI) + p * sw(D2) lub
3) p RSS'°{D 1) + p RSS0(D2) + p RSS0(D3) > p iRSW(D I) + pF™ (D2) + p RSW(D3), dystrybucję wyznaczoną przez RSS-O m ożna uznać za lepszą z pu nktu widze
nia osoby S t.
Analogiczne warunki m ogą zadecydować o uznaniu (dla i-tej osoby) rozw iązania wyznaczonego przez RSW za lepsze lub za nie gorsze od roz
w iązania wyznaczonego przez RSS-O. Zgodnie z m ocnym postulatem op tym alności P areto, dystrybucja, by m ogła być uznana za bardziej korzystną, musi dla wszystkich osób wyznaczać nie gorsze rozwiązania, a przynajmniej dla jednego uczestnika podziału - lepsze.
W yznaczone dystrybucje zostały porów nane dla wszystkich profili, dla których nie występuje sprzeczność postulatów . D la niektórych profili RSS-O wyznacza tak ą klasę dystrybucji, że praw dopodobieństw a poszczególnych podziałów m o żna przypisać na nieskończenie wiele sposobów. W ówczas do porów nań użyte zostały tabele praw dopodobieństw , w których korzyści uczest
ników są możliwie największe. W przypadku omawianego profilu 3 z T ab e
li 2 będą to praw dopodobieństw a: r = 1/2, s = 0. RSS-O daje w przypadku tego profilu rozw iązania lepsze niż RSW , ponieważ:
1) 1/2 > 10/24;
2) (1/2 + 0 = 1 /2 ) = (10/24 + 2/24 = 1/2);
3) (1/2 + 0 + 1/2 = 1) > (10/24 + 2/24 + 10/24 = 22/24).
G dyby ta k rozum iane m ocne kryterium optym alności Pareto zastosować do p orów nania dystrybucji dla n = m = 3, okazałoby się, że nie istnieje taki profil, dla którego jed n a z m etod wyznacza lepsze rozwiązanie niż druga.
Inaczej jest w sytuacji n — m = 4, co praw da dla części profili nie m ożna określić, k tó ra z reguł daje lepsze rozwiązanie, ale dla pozostałych dystrybucje wyznaczone przez zasadę RSS-O są lepsze od dystrybucji wyznaczonych przez
186 MARTA K UC
RSW , Zestawienie wyników porów nania m etod dla obu sytuacji podziału zostały przedstaw ione w Tabeli 3.
Tabela 3. Porównanie rozwiązań wyznaczonych przez RSS-O i RSW
Rodzaje profili m = n = 3 m = n = 4 Liczba typów profili z mocnymi preferencjami 10 762 Liczba typów profili, dla których można wyznaczyć
dystrybucję zgodną z RSS-O 4 •121
Liczba typów profili, dla których wyznaczone przez RSS-O rozwiązanie jest:
- nieporównywalne z rowiązaniem wyznaczonym przez RSW 1 39 - takie samo, jak rozwiązanie wyznaczone przez RSW 3 70 - lepsze od rozwiązania wyznaczonego przez RSW 0 12 D la znacznej części profili nie m ożna wyznaczyć rozw iązania zgodnego z RSS-O. Jeśli jed n ak takie rozwiązanie istnieje, to nigdy nie jest ono gorsze od rozw iązania wyznaczonego przez RSW.
Problem sformułowany przez Klemensa Szaniawskiego:
równość szans satysfakcji a optymalność
M eto da RSS zawsze, przy każdej dowolnej strukturze preferencji w grupie,
„obdziela” wszystkich uczestników po równo. D la profilu, w którym n a ostatnich miejscach w indywidualnych hierarchiach preferencji każdej osoby znajdują się inne do b ra, zgodna z RSS m ogłaby być także dystrybucja przypisująca wszystkim z praw dopodobieństw em równym jeden te właśnie, najgorsze ich zdaniem przedm ioty. M im o że takie rozwiązanie niewątpliwie jest egalitarne, m oże budzić wątpliwości, ponieważ nie jest optymalne. Zdaniem K lem ensa Szaniawskiego, pożądan ą własnością sprawiedliwej reguły dystry
bucji jest wyznaczanie możliwie najbardziej korzystnych wyników. U zupeł
nienie RSS o kryterium optym alności m iało na celu wykluczenie tych p o działów, k tó re są gorsze od innych i ograniczenie zbioru dopuszczalnych dystrybucji.
Sytuacja podziału 3 d ó b r między 3 osoby jest zbyt uboga, by tylko n a tej podstaw ie form ułow ać wnioski. Istnieje 10 typów profili, w tym 3 takie, dla których zawsze istnieją rozw iązania zgodne z RSS-O. Oprócz nich istnieje jeszcze tylko jeden taki profil, dla którego m ożna wyznaczyć optym alną i jednakow o satysfakcjonującą dystrybucję. Charakteryzuje się on tym, że n a o statnim miejscu w uporządkow aniach preferencyjnych każdego z uczestników
występuje inny przedm iot. M ogłoby to sugerować, że postulaty są spełnione tylko w takiej sytuacji, tzn. gdy m ożna nikom u nie przyznać najmniej cenione
go dobra. W yniki uzyskane dla profili, w których n — m = 4 przeczą takim intuicjom . Tylko kilka spośród profili, dla których m ożna wyznaczyć dys
trybucje zgodne z RSS-O m a w spom nianą cechę. Istnieją również profile, dla których nie m a rozw iązania, m im o że n a ostatnim miejscu w hierarchii preferencji każdej z osób występuje inne dobro. N ie jest to w takim razie ani w arunek konieczny, ani wystarczający istnienia dystrybucji zgodnych z RSS-O.
Przeanalizowanie własności profili 4x4 okazało się trudnym przedsięwzię
ciem. Istnieje 121 profili tego rodzaju, dla których nie występuje sprzeczność postulatów rów nych szans satysfakcji i optymalności, w tym 61 typów, w przypadku których sytuacja jest oczywista. Pierwsze próby znalezienia jednej wspólnej własności pozostałych 60 profili, dla których istnieją dystrybucje egalitarne i optym alne zarazem , zakończyły się niepowodzeniem. D o tej grupy należą profile bardzo różniące się od siebie i wydaje się, że nie m ają one takiej jednej wspólnej cechy, k tó ra by determ inowała brak sprzeczności i odróżniała je od pozostałych profili. Z tego pow odu „poszukiw ania” zostały skierowane w nieco inną stronę. Punktem wyjścia dalszych analiz było przypuszczenie, że wszystkie 60 profili m ożna opisać przez taki jeden warunek logiczny, który jest złożony z kilku w arunków cząstkowych. W tym celu zbiór wszystkich 762 typów profili -został podzielony n a podzbiory ze względu na pewne cechy konfiguracji preferencji osób. Poszukiwanie różnic powodujących występowa
nie lub b rak sprzeczności postulatów odbywało się oddzielnie dla poszczegól
nych podzbiorów . W yodrębniania podzbiorów profili m ożna dokonyw ać na podstaw ie wielu różnych kryteriów - m ożna brać pod uwagę różne własności profili, ja k np. wybrane cechy rozkładów rang przypisywanych dobrom przez osoby, zmierzone odległości między preferencjami poszczególnych osób, czy stru k tu ra preferencji n a pierwszych pozycjach w indywidualnych up o rząd
kowaniach. W tym miejscu zostaną tylko zaprezentowane wybrane wnioski z analiz.
N a początku zostaną przedstaw ione wyniki analiz dotyczące pewnej szcze
gólnej grupy profili. Ich w spólną cechą jest pewna zgodność osób co do oceny niektórych przedm iotów , tzn. istnieją takie dobra, które we wszystkich in
dywidualnych uporządkow aniach preferencyjnych zajm ują te same pozycje.
Praw dopodobieństw o otrzym ania takiego przedm iotu m usi dla każdego uczestnika być takie samo i wynosić l/n. W przypadku takich profili, przy rozw ażaniu w arunków odpowiedzialnych za sprzeczność postulatów , d obra oceniane przez wszystkich jednakow o m ożna wykluczyć i w efekcie analizować profile, w których m n < n (wielkość m n będzie rów nała się liczbie dób r zajmujących niejednakow e pozycje w indywidualnych hierarchiach preferencji).
N a przykład problem podziału czterech dób r między cztery osoby, z których dw a są dla wszystkich tak sam o cenne, nie różni się od problem u podziału
188 MARTA KUC
dwóch d ó b r m iędzy cztery osoby. O tym, czy m ożna wyznaczyć rozwiązanie zgodne z m eto d ą RSS-O decyduje stru k tu ra preferencji w takim zredukow a
nym profilu.
• Postulaty równych szans satysfakcji i optymalności m ogą być równocześnie spełnione, jeśli profil charakteryzuje się pewną symetrią. Po pierwsze, zbiór osób m ożna podzielić na równoliczne podzbiory, takie że p reference osób w każdym z tych podzbiorów są jednakow e, a liczba podzbiorów jest rów na wartości m n. D rugi w arunek tej symetrii wymaga, by każde z d ó b r wy
stępowało w każdym z podzbiorów na innej pozycji.
Z a przykład m oże posłużyć profil 4. W ystępują w nim dwa takie dobra:
B i D, które są przez wszystkich oceniane tak samo. K ażde z nich musi być przypisane osobom z praw dopodobieństw em równym 1/4. Powyższy profil m ożna zredukow ać wykluczając oba te dobra:
s y A C S 2: A C S 3: C A S 4: C A
W przypadku przedstaw ionym powyżej występuje symetria - osoby S j i S 2 m ają takie same preferencje i należą do jednej podgrupy, a osoby S 3 i S 4 do drugiej. Poza tym d o b ra występujące n a pierwszej pozycji w uporządkow aniach osób z jednej z tych podgrup, występują u osób z innej podgrupy n a drugim miejscu. D la om awianego profilu istnieje rozwiązanie zgodne z RSS-O. M oż
liwe jest przyznanie każdej z osób wyżej ocenianych dó br z praw dopo
dobieństwem równym 1/2.
B rak opisanej symetrii prow adzi do sprzeczności postulatów . Przykładem takiej sytuacji jest profil 5, który m ożna zredukow ać przez wyeliminowanie d ó b r B i D. Preferencje na pozostałych dobrach będą następujące:
S j: A C S 2: A C S 3: A C S 4: C A
D la tego profilu nie m ożna wyznaczyć dystrybucji zgodnej z zasadą RSS-O, ponieważ nie występuje tu w ym agana symetria.
• Z powyższego twierdzenia w ynika między innymi, że jeśli w profilu, w k tó rym n = m istnieje tylko jedno dobro oceniane przez wszystkich ta k samo, występowanie symetrii jest niemożliwe i nie istnieją optym alne rozw iązania zgodne z zasadą równych szans satysfakcji.
Z a ilustrację takich przypadków m oże posłużyć profil 6. W szystkie osoby jednakow o oceniają przedm iot C. W iadom o, że przypisane m u praw dopo
dobieństw o dla każdej z osób wynosi 1/4. M ożna ten przedm iot pom inąć
i wówczas om aw iany profil będzie zredukow any do profilu, w którym są trzy do b ra do podziału m iędzy cztery osoby:
Sj : A B D S 2: B A D S 3: B D A S 4: D A B
W sytuacji podziału, w której m = 3 i n = 4, wyznaczenie jednakow o satysfakcjonującej i jednocześnie optymalnej dystrybucji jest możliwe tylko, gdy istnieje dobro zajm ujące w uporządkow aniach każdej z osób tę samą pozycję, a strukturę preferencji n a pozostałych dobrach cechuje om ów iona symetria. Jest to sytuacja analogiczna do omawianej wcześniej (gdy w profilu 4 x 4 wystę
powały dw a d obra jednakow o oceniane). Jeśli więc w profilu, w którym n = m istnieje tylko jedno takie dobro, występowanie symetrii jest niemożliwe i nie istnieją optym alne rozw iązania zgodne z zasadą równych szans satysfakcji.
A nalizując strukturę profili 4 x 4 m ożna dostrzec, że istnienie pewnej sy
m etrii (nieco odm iennie definiowanej dla różnych kategorii profili) m a wpływ n a to, czy wystąpi sprzeczność postulatów egalitaryzmu i optymalności.
In n a obserw acja dotyczy części profili charakteryzujących się tym, że każde z dó b r występuje dokładnie dw a razy na wyższych pozycjach (na pierwszych i drugich miejscach w indywidualnych hierarchiach preferencji) i dokładnie dwa razy n a pozycjach niższych (na trzecich i czwartych miejscach). N a pierwszych miejscach w indywidualnych uporządkow aniach preferencyjnych znajdują się dw a d o b ra i każde z nich jest w ten sposób oceniane przez dwie osoby.
W związku z tym , drugie miejsca zajm ują pozostałe dwa dobra i również każde z nich występuje dw a razy.
• D la wszystkich profili o takiej strukturze preferencji na wyższych pozycjach (niezależnie od struktury preferencji na dalszych miejscach) m ożna wyzna
czyć optym alną i jednakow o satysfakcjonującą dystrybucję. D la takich profili m etoda RSS-O wyznacza jednakow e dystrybucje, które przypisują uczestnikom d o b ra z praw dopodobieństw am i: p (D ‘) = p(D 2) — 0,5, a p(D 3)
= p{D t) = 0.
M ożna zaobserwować więcej różnego typu zależności między stru ktu rą preferencji i wyznaczonym rozwiązaniem (bądź występowaniem sprzeczności postulatów )8.
Istnienie rozw iązań zgodnych z RSS-O wymaga szczególnej symetrii prefe
rencji uczestników podziału. Sym etria ta musi dotyczyć dóbr, które nie są oceniane przez wszystkich jednakow o. O możliwości wyznaczenia dystrybucji RSS-O decyduje wówczas np. układ dób r na pierwszych pozycjach w in
dywidualnych uporządkow aniach.
8 W e wspom nianej pracy magisterskiej problem ten jest om ów iony dokładniej.
