Temat: Pojęcie funkcji. Funkcja liczbowa. Sposoby opisywania funkcji
Komentarze są czcionką pochyłą, nie przepisujecie ich Przypomnijmy troszkę wiadomości z gimnazjum…
Funkcjami w matematyce będziemy nazywali pewne przyporządkowania. Ale nie każde przyporządkowanie będzie funkcją.
Na początek kilka życiowych historii, kilka przyporządkowań:
a) każdemu uczniowi w klasie jest przyporządkowana data jego urodzin b)każdemu uczniowi przyporządkowany jest konkretny adres zameldowania
c)każdemu człowiekowi przyporządkowana jest liczba określająca liczbę posiadanych przez niego samochodów d)każdemu państwu przyporządkowana jest jego stolica
Teraz pytanie: czy wymienione przyporządkowania mogę nazwać funkcjami?
Funkcją będzie takie przyporządkowanie, które KAŻDEMU elementowi z pierwszego zbioru, przyporządkuje DOKŁADNIE JEDEN element z drugiego zbioru.
Przeanalizujmy:
a)czy KAŻDY uczeń ma DOKŁADNIE JEDNĄ datę urodzin? Tak, jest to funkcja b) czy KAŻDY uczeń ma DOKŁADNIE JEDEN adres zamieszkania? Tak, jest to funkcja
c)czy KAŻDEMU człowiekowi mogę przyporządkować DOKŁADNIE JEDNĄ LICZBĘ opisującą ile ma samochodów? Tak, jest to funkcja
d)czy KAŻDEMU państwu przyporządkowana jest DOKŁADNIE JEDNA stolica? Tak, jest to funkcja A co powiecie na takie przyporządkowanie:
„Jest trójka przyjaciół: Magda, Paweł i Lena. Magda lubi hamburgery, Paweł lubi pizzę, grillowaną kiełbaskę , a Lena lubi zupę pomidorową, szparagi i lody. Każdemu z dzieci przyporządkowujemy nazwę ulubionych potraw.”
Czy KAŻDEMU dziecku została przyporządkowana DOKŁADNIE JEDNA nazwa jedzenia które lubi jeść? Nie. Więc powyższe przyporządkowanie nie jest funkcją
Notatka:
Definicja:
Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru Y.
(Symbolicznie piszemy f:X→Y).
czyli jeśli mieliśmy funkcje opisaną tak: „każdemu państwu przyporządkowana jest jego stolica”, to zbiór X – to zbiór wszystkich państw, a Y – to zbiór wszystkich stolic.
Zbiór X o którym mowa w definicji funkcji, nazywamy dziedziną funkcji f. Oznaczamy ją symbolem Df. Elementy dziedziny funkcji f nazywamy argumentami funkcji f.
Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f.
Zbiór tych elementów zbioru Y, które zostały przyporządkowane elementom ze zbioru X, nazywamy zbiorem wartości funkcji f. Zbiór wartości funkcji f oznaczamy symbolem ZWf.
Symbol f(x) oznacza: „wartość funkcji f dla argumentu x” . f(x) można zastąpić symbolem y.
Sposoby opisywania funkcji:
- opis słowny, np.: „ każdej liczbie ze zbioru {-1,0,1,2} przyporządkowujemy jej liczbę o trzy większą”
- graf
Korzystając z danych możemy zapisać np.:
f(1)=4 , co czytamy „wartość funkcji f dla argumentu 1 wynosi 4”-znaczy to, że iksowi równemu jeden przyporządkowano igreka równego cztery
f(2)=5, co czytamy „wartość funkcji f dla argumentu dwa wynosi 5”
- tabelka
x -1 0 1 2
y 2 3 4 5
- zbiór par uporządkowanych: { (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) } - wykres:
- wzór: f(x)= x+3 wzór funkcji to sposób jak wyliczyć igreki(wartości funkcji) lub y= x+3
Ćwiczenie 1. Czy dane przyporządkowanie jest funkcją?
a)
Nie, bo liczbie 2 została przyporządkowana liczba 4 i 5 (czyli nie DOKŁANIE jedna liczba)
b)
Tak, każdemu elementowi ze zbiory X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y c)
Tak, każdemu elementowi ze zbiory X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y (nie ważne że w zbiorze Y został jakiś element który nie ma dopasowania)
d)
x -1 0 1 2 1
y 2 3 4 5 6
Nie, to nie jest funkcja, bo dla x=1 mamy dwa (a nie jedno) przyporządkowania
Definicja:
Jeśli elementy niepustych zbiorów X oraz Y są liczbami rzeczywistymi, to funkcję f:XY nazywamy funkcją liczbową.
Zadanie1. Dana jest funkcja f opisana za pomocą zbioru par uporządkowanych {(-2,3), (-5,11), (5,2), (8, -2), (0,3)}
a) podaj dziedzinę funkcji i zbiór wartości funkcji b)podaj wartość funkcji dla argumentu 5
c)podaj argument, dla którego wartość funkcji to trzy Rozwiązanie:
a) Df={-2, -5, 0, 5, 8} dziedziną są iksy z punktów opisujących funkcję; wymieniamy je w klamerkach ZWf={-2, 2, 3, 11} zbiór wartości to zbiór igreków z wymienionych punktów opisujących funkcję b) argument – to x, wartość funkcji to y. Szukamy takiego igreka, który jest przypisany iksowi równemu pięć; y=2 c)Szukamy takiego iksa, któremu przypisano igreka równego trzy; x= -2, x=0
Zadanie2.
Dana jest funkcja f(x)= -4x2+3, gdzie xϵ{ -2, 0, 1, 3}
a) oblicz wartość funkcji f dla argumentu -2
b)czy istnieje taki argument funkcji, dla którego wartość funkcji to -33 ?Jeśli tak, podaj ten argument.
Rozwiązanie:
a) liczymy y, dla którego x= -2. Do wzoru naszej funkcji za iksa podstawiamy -2 f(-2)= -4∙(-2)2+3= -4∙4+3= -16+3= -13
b) sprawdzamy czy jest taki x, dla którego y= -33.Do wzoru funkcji podstawiamy za y liczbę -33 -33= -4x2+3
4x2-3=33
4 x2=33+3 4 x2=36 /:4
x2=9 jaka liczba podniesiona do potęgi drugiej daje wynik dziewięć?
x=3 lub x= -3 poprawna odpowiedź to x=3, bo w treści zadania było że xϵ{ -2, 0, 1, 3}
Praca domowa
zadanie 8.12/203 zadanie 8.13/203 zadanie 8.16/202 zadanie 8.20 a, b, c/205
