LISTA 31 Zadanie 1.
Rozwiąż równanie 𝑃(𝑥−2)∙ 𝑉 𝑥2 = 10 ∙ 𝑃(𝑥−1), wiedząc, że:
𝑃𝑛 – oznacza liczbę wszystkich różnych permutacji bez powtórzeń zbioru 𝑛-elementowego.
𝑉 𝑛𝑘 – oznacza liczbę wszystkich różnych 𝑘-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru 𝑛-elementowego.
Zadanie 2.
Funkcja 𝑓 określona jest wzorem 𝑓(𝑥) = (32)𝑥. Funkcja 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 o wektor [−1, 2]. Zapisz wzór funkcji 𝑔, uzyskanej w wyniku tej translacji, sporządź wykres funkcji 𝑔 i wskaż największą liczbę 𝑚 (𝑚 ∈ 𝑅) taką, dla której równanie 𝑔(𝑥) = 𝑚 nie ma rozwiązania.
Zadanie 3.
Rozwiąż układ równań: {3 = |𝑥| + |𝑦|
3 = 2|𝑥| + 𝑦 Zadanie 4.
Określ, jaką liczbą – dodatnią czy ujemną, jest wyrażenie 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥, wiedząc, że kąt leży w 𝐼𝐼𝐼 ćwiartce i (1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥) (𝑐𝑜𝑠𝑥1 − 𝑡𝑔𝑥) +13= 0.
Zadanie 5.
Obrazem odcinka 𝐴𝐵, gdzie 𝐴 = (1, 0) i 𝐵 = (2, 1) w jednokładności o skali 𝑘 > 1 i środku 𝑃 jest odcinek 𝐶𝐷, gdzie 𝐶 = (4, 0), 𝐷 = (6, 2). Zapisz równanie okręgu o środku w punkcie 𝑃 i promieniu |𝐴𝐵|.
Zadanie 6.
Wykaż, że dla 𝑎 > 1 i 𝑥 > 1 zachodzi nierówność log𝑎𝑥 + log𝑥𝑎 ≥ log 100 . Zadanie 7.
Spiralę tworzymy następująco: kreślimy półokrąg o średnicy 𝐴𝐵 = 2𝑟 i środku 𝑂, do tego półokręgu dorysowujemy półokrąg o średnicy 𝑂𝐵 i środku 𝐶. Następnie kreślimy półokrąg o średnicy 𝑂𝐶 i środku 𝐷 itd. Oblicz długość spirali złożonej z dziesięciu tak otrzymanych półokręgów.
Zadanie 8.
Wykaż, że suma odwrotności pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥4+ 𝑥3− 4𝑥2− 2𝑥 + 4 jest liczbą wymierną.
Zadanie 9.
Punkty równoodległe od prostej o równaniu 𝑦 = −12 i punktu 𝑃 = (0,12) należą do wykresu funkcji 𝑓. Znajdź wzór tej funkcji.
Zadanie 10.
Boki trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są równe 𝑎, 𝑏, 𝑐. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka 𝐴 do boku 𝑎.
