T N Je±li wektory ~x, ~y, ~z s¡ liniowo zale»ne, to wektor ~z jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów ~x i ~y

(1)

Imi¦ i Nazwisko: Przykªadowy T N Zbiór liczb zespolonych o module 1 z dziaªaniem mno»enia jest grup¡ abelow¡.

T N Liczba zespolona 1 + i jest pierwiastkiem wielomianu W (z) = z²− 2iz − 2.

T N Je±li wielomian o wspóªczynnikach zespolonych ma pierwiastek 1 + i, to ma te» pierwiastek 1 − i.

T N Arg[(1 + i)¹⁰] = ^π₂.

T N Je±li wektory ~x, ~y, ~z s¡ liniowo zale»ne, to wektor ~z jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów ~x i ~y.

T N Je±li wektory ~x, ~y, ~z s¡ liniowo niezale»ne, to wektory ~x, ~y − ~x, ~z równie» s¡ niezale»ne.

T N Zbiór {[x, y, z] ∈ R³ : 2x − y + z = 1} jest podprzestrzeni¡ przestrzeni R³. T N lin{[1, 3, 2, 1], [2, 1, 3, 2]} = lin{[1, 8, 3, 1], [3, −1, 4, 3]}.

T N [1, 1, 1, 2], [1, 2, 1, 1], [1, 1, 2, 1], [1, 0, 0, 4] jest baz¡ przestrzeni R⁴.

T N Je±li rz¦dy macierzy i macierzy uzupeªnionej ukªadu równa« liniowych o pi¦ciu niewiadomych s¡ równe 3, to rozwi¡zaniem ukªadu jest pªaszczyzna.

T N Ukªad zªo»ony z równa« x + y − z = 2; x − y + 2z = 1 i 2x + 4y − 5z = 5 jest sprzeczny.

T N Rozwi¡zaniem dowolnego jednorodnego ukªadu równa« liniowych jest podprzestrze« liniowa.

T N Rz¡d macierzy o wierszach [5, 5, 5, 5, 5], [2, 4, 4, 6, 2], [3, 2, 2, 1, 3], [2, 5, 5, 8, 2] jest równy 3.

T N Przeksztaªcenie liniowe L : R²→ R² : [x, y] 7→ [3x + y, 3y]ma baz¦ wektorów wªasnych.

A ∈ M_4×5, B ∈ M5×5 (Mm×n to zbiór rzeczywistych macierzy o m wierszach i n kolumnach).

T N ^{A · B ∈ M}4×5. T N ^A^T ^{· B}^T ^{∈ M}5×4.

T N Macierz B^T · A^T mo»e mie¢ rz¡d równy 5.

T N Je±li det B = 5, to det(2 · B) = 160 Dane s¡ permutacje σ =

1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 8 5 4 1 3 2

i τ =

1 2 3 4 5 6 7 8 7 1 6 5 4 3 8 2

. T N στ = τ σ;

T N ^{(στ )}⁻¹^{= στ}; T N ^τ⁴ ^{= id};

T N ^στ² jest permutacj¡ nieparzyst¡.

Dany jest endomorzm liniowy L : R³ → R³ : [x, y, z] 7→ [x + y − 2z, −x + y + 2z, x + 2y − 2z]. T N ^L jest automorzmem.

T N ^L ma jednowymiarowe j¡dro.

T N ^L ma jednowymiarowy obraz.

T N ^{[2, 0, 1]} jest wektorem wªasnym endomorzmu L.

Dane s¡ macierze A =

5 2 2 5

, B =

6 0 0 4

i C =

7 1 0 3

. T N Istnieje taka macierz ortogonalna S, »e B = S^TAS.

T N Istnieje taka macierz nieosobliwa S, »e C = S⁻¹AS. T N ^{[1, 2]}jest wektorem wªasnym macierzy A.

T N ^A jest diagonalizowalna.

Dana jest prosta l : ^x−1₂ = ^y−2₋₁ = ^z−4₃ i pªaszczyzna Π : −x + y + z − 5 = 0.

T N Punkt P = (3, 1, 7) nale»y do l i do Π.

T N Prosta l jest zawarta w pªaszczy¹nie Π.

T N Wektor [4, 5, −1] jest prostopadªy do prostej l.

T N Wektor [4, 5, −1] jest prostopadªy do pªaszczyzny Π.