Macierze
De nicja 1 Je±li e = (e1, . . . , en) jest baz¡ w V , za± f = (f1, . . . , fm) - baz¡ w W , to macierz¡ odwzorowania F ∈ L(V, W ) wzgl¦dem obu tych baz nazywamy macierz
[F ]fe=
F11 . . . F1n
... ...
Fm1 . . . Fmn
∈ Kmn,
której kolejne kolumny s¡ wektorami [F (e1)]f, . . . , [F (en)]f ∈ Km. Oznacza to, »e liczby F1j, . . . , Fmj s¡ wspóªrz¦dnymi wektora F (ej)w bazie f.
Je±li e, ˜e - dwie bazy w V a f, ˜f - dwie bazy w W , to
[F ]f˜˜e= [idW]f˜f[F ]fe[idV]e˜e.
Macierz typu [idV]ee˜nazywa si¦ macierz¡ zmiany bazy (macierz¡ przej±cia z bazy ˜e do bazy e).
Zadanie 1 Rozwi¡za¢ podane równania macierzowe:
(a) 3
([1 2
−i 0 ]
+ X )
+
[−1 1
i 4
]
= X
Zadanie 2 Napisa¢ macierze podanych odwzorowa« liniowych w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni wekto- rowych:
(a) T : R2→ R3, T [xy] = [ x+y
3x−6y 4x−y
]
(b) T : R4→ R2, T [x
y z t
]
=[ 5x−y+2z
−4x+3z−t
]
Zadanie 3 Wyznaczy¢ macierz operatora F : V → V , gdzie V = R3[x], w bazie jednomianów e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2, e3(x) = x3, je±li
(a) (F v)(x) = d
dxv(x), (b) (F v)(x) = xv′(x) + 2v(x), (c) (F v)(x) = (x − 1)v(−2) + x2v′′(x).
Zadanie 4 Niech F ∈ L(V, V ), gdzie V = R3[t], b¦dzie operatorem okre±lonym wzorem (F v)(t) = v(t + a), gdzie a ∈ R jest ustalon¡ liczb¡. Wyznaczy¢ nast¦puj¡ce macierze:
(a) [F ]ee, (b) [F ]e˜e, (c) [F ]e˜e˜, je±li e = (e0, e1, e2, e3), gdzie ei(t) = ti, oraz ˜e = (˜e0, ˜e1, ˜e2, ˜e3), gdzie ˜ei(t) = (t + a)i
Zadanie 5 Znale¹¢ macierze podanych odwzorowa« liniowych we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni wektoro- wych:
a) T : R2→ R3, T [xy] = [ x+y
2x+y x−3y
]
; e =˜ ( [11] ,[ 1
−1
]), ˜f = ([ 1
−10
] ,
[ 0
−11
] ,
[0
0 1
])
;
b) T : R3→ R2, T [x
y z
]
=[ 2x−y
−3y−z
]; ˜e = ([1
2 2
] ,
[1
1 1
] ,
[1
1 2
])
, ˜f = ([11] , [10]) ;
c) T : R1[x]→ R2[x], (T u)(x) = x2u′(x) + u(−1); ˜e = (2x + 3, 3x − 4), ˜f = (x2+ x, x + 1, 1);
