Nadokreślony Układ Równań
Z nadokreślonym układem liniowych równań algebraicznych mamy do czynienia w sytuacji, gdy liczba liniowo niezależnych równań m jest większa niż wymiar przestrzeni (liczba zmiennych) n . Tak postawiony problem nie ma jednoznacznego rozwiązania. Możliwe jest jedynie wyznaczenie jego pseudorozwiązania przy zastosowaniu dodatkowego kryterium. Takim kryterium może być warunek minimalizacji błędu B rozumianego jako suma odległości punktu w przestrzeni n wymia- rowej, stanowiącego poszukiwane pseudorozwiązanie, od m hiperpłaszczyzn będących obrazami poszczególnych równań. Jeżeli przez A[m×n] oznaczymy prostokątną macierz główną układu równań o elementach ,a ij i=1,2,...,m; j=1,2,...,n , przez D[m×1] macierz prawej strony o elementach ,d i
m
i=1,2,..., a przez X[n×1] macierz niewiadomych o elementach ,x j j=1,2,...,n, nasz problem mo- żemy przedstawić jako poszukiwanie minimum wyrażenia (1) ze względu na składowe x wektora j
X
∑ ∑
∑
= = = ⎟⎟⎠⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅ −
=
= m
i i
n
j ij j
m
i i a x d
B
1
2 1
1
ε2 , (1)
co jest równoważne znalezieniu takiego wektora X , który czyni zadość warunkowi:
n x k
B
k
,..., 2 , 1 ,
0 =
∂ =
∂ , (2)
gdzie
n k
d x a x a
B n
j ij j i
m
i ik
k
,..., 2 , 1 , 2
1 1
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅ −
⋅
⋅
∂ =
∂
∑ ∑
=
=
. (3)
Warunek (2) po dokonaniu różniczkowania (3) prowadzi po zmianie kolejności sumowania w na- wiasach,
n k
d a x
a
a m
i ik i
j n
j m
i ik ij 0, 1,2,...,
1
1 1
=
=
⋅
−
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
∑
∑ ∑
= = =, (4)
do ostatecznego układu liniowych równań algebraicznych:
n k
xj k
n
j kj , 1,2,...,
1
=
=
∑
⋅=
δ
α , (5)
w którym współczynniki macierzy głównej Α[ ]n×n i prawej strony ∆[ ]n×1 wyznacza się z:
∑
∑
=
=
⋅
=
⋅
=
m
i ik i
k m
i ik ij
kj
d a
a a
1 1
δ α
. (6)
Rozważane zadanie można nieco rozbudować przypisując poszczególnym równaniom wagi w , ii m
i=1,2,..., , zapisane w macierzy diagonalnej W[m×m] a związane np. z istotnością poszczególnych równań, a raczej dokładnością ich spełnienia przez znalezione pseudorozwiązanie. W takim przy- padku zależności (1) do (6) przyjmą postać:
∑ ∑ ∑
∑∑
= = = = = ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅ −
=
⋅
= m
i i
n
j ij j
m
i ii
m i
m
i wii i w a x d
B
1
2 1
1 1 1
ε2 , (7)
po dokonaniu różniczkowania (2) dojdziemy do zależności:
n k
d x a w
x a
B n
j ij j i
m
i ii
m
i ik
k
,..., 2 , 1 , 2
1 1
1
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅ −
⋅
⋅
⋅
∂ =
∂
∑ ∑ ∑
=
=
=
. (8)
a po zmianie kolejności sumowania w nawiasach,
n k
d a w x
a w
a m
i ik i
m
i ii
j n
j m
i ij
m
i ii
ik 0, 1,2,...,
1 1
1 1 1
=
=
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
−
⎥⋅
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
⋅
∑ ∑
∑ ∑ ∑
= =
= = =
, (9)
do ostatecznego układu liniowych równań algebraicznych (5), w którym przez α i δ oznaczono odpowiednio:
∑ ∑
∑ ∑
= =
= =
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
=
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
⋅
=
m
i ik i
m
i ii
k m
i ij
m
i ii
ik kj
d a w
a w a
1 1
1 1
δ α
. (10)
Prezentowany sposób postępowania prześledzimy na przykładach. Na początek rozważmy nadokre- ślony układ równań:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
⋅
=
⋅
−
⋅
−
=
⋅ +
⋅
−
=
⋅ +
⋅
−
2 4
1 1 2
2 3
2
1 2
1
2 2 1
2 1
2 1
x x x
x x
x x
(11)
Ponieważ obliczenia przedstawione wzorami (1) – (6) wygodniej jest prowadzić posługując się za- pisem macierzowym, wobec tego zapiszemy układ równań (11) jako:
D X
A⋅ = , (12)
gdzie odpowiednio:
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
4 0
1 2
3 2
2 1
A , ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
2 1
x
X x ,
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡−
= 2 1 2 1
D . (13)
Wówczas macierze Α[ ]n×n i ∆[ ]n×1 układu równań (5) obliczymy następująco:
A AT⋅
=
Α , ∆= AT⋅D (14)
czyli w rozważanym tu przykładzie będziemy mieli:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
⎥ ⋅
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
−
= −
Α 6 30
6 9 4 0
1 2
3 2
2 1 4
1 3 2
0 2 2
1 T
, (15)
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡−
⎥ ⋅
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
−
= −
∆ 11
3 2
1 2 1 4
1 3 2
0 2 2
1 T
, (16)
a ostateczny układ równań:
∆
=
⋅
Α X , (17)
który należy rozwiązać przyjmie postać:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⋅⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
11 3 30
6 6 9
2 1
x
x . (18)
Rozwiązaniem tego układu równań, czyli pseudorozwiązaniem problemu (11) w sensie najmniej- szych kwadratów jest macierz:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
346154 ,
0
102564 ,
X 0 , (19)
Rozważmy teraz to samo zadanie z przypisanymi poszczególnym równaniom wagami. I tak równa- niom: pierwszemu, trzeciemu i czwartemu przypiszmy wagę 1 , a równaniu drugiemu wagę 10 . W zapisie macierzowym odpowiada to utworzeniu macierzy wag oznaczonej W[ ]n×n i w naszym przy- padku równej:
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 10 0
0 0 0 1
W . (20)
Macierze Α[ ]n×n i ∆[ ]n×1 układu równań (5) obliczymy tym razem następująco (10):
A W AT⋅ ⋅
=
Α , ∆= AT⋅W⋅D , (21)
czyli w rozważanym tu przykładzie będziemy mieli:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
⋅
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥ ⋅
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
−
= −
Α 60 111
60 45 4
0 1 2
3 2
2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 10 0
0 0 0 1 4 1 3 2
0 2 2
1 T
, (22)
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡−
⋅
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥ ⋅
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
−
= −
∆ 65
39 2
1 2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 10 0
0 0 0 1 4 1 3 2
0 2 2
1 T
, (23)
a ostateczny układ równań:
∆
=
⋅
Α X , (24)
który należy rozwiązać przyjmie postać:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⋅⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
65 39 111
60 60 45
2 1
x
x . (25)
Rozwiązaniem tego układu równań, czyli pseudorozwiązaniem problemu (11) w sensie najmniej- szych kwadratów jest macierz:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
419355 ,
0
307527 ,
X 0 , (26)
Dla czytelnika może być interesujące jak zmieni się wyznaczone pseudorozwiązanie po zmianie macierzy wag W[ ]n×n . W tym celu rozpatrzmy dwa dodatkowe przypadki. W pierwszym z nich rów- naniu pierwszemu przypiszemy wagę 10 a pozostałym równaniom wagi 1 , natomiast w drugim wagę 10 przypiszemy równaniu trzeciemu, pozostałe równania otrzymają jak poprzednio wagi równe 1 . W przypadku pierwszym uzyskane pseudorozwiązanie wygląda następująco:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡
017241 ,
0
678161 ,
X 0 , (27)
a w przypadku drugim tak:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡−
381679 ,
0
536896 ,
X 0 . (28)
Uzyskane rozwiązania przedstawiono na załączonym rysunku. Jak z niego widać, wpływ wagi na uzyskane pseudorozwiązanie jest zgodny z oczekiwaniem, czyli zwiększanie wartości wagi przypi- sanej wybranemu równaniu powoduje „przemieszczanie się” rozwiązania w kierunku równania opatrzonego tą wagą.
Rys. 1. Pseudorozwiązanie nadokreślonego układu równań.
Na rysunku proste Y1÷Y4 odpowiadają równaniom od pierwszego do czwartego, natomiast punkty ,
0
X X 1, X 2, X3 odpowiadają pseudorozwiązaniom rozważanego zadania odpowiednio bez wag i z wagami rozważanymi w przypadku pierwszym drugim i trzecim, jak to opisano powyżej.
3 2 1 0 1 2 3
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Y1 Y2 Y3 Y4 X01 X11 X21 X31
l l, l, l, X0, 0,X10,X20,X30
