6. Ró»niczkowanie pod znakiem caªki zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 6.1 Oblicz pochodne
∂
∂t Z
A
f (t, x)µ(dx), gdzie A := [1, 2], f(t, x) := x−1cos(2πtx3), µ := l.
Zad. 6.2 Oblicz pochodn¡ funkcji
g(a) = Z
(0,∞)
1 − e−ax2
x2 l(dx); a ≥ 1.
Zad. 6.3 Niech
Γ(α) = Z ∞
0
xα−1e−x l(dx), α > 0.
Oblicz Γ0(α).
Zad. 6.4 (2003) Oblicz pochodn¡ funkcji zadanej dla t ∈ (1, ∞) wzorem
F (t) = Z 4
√3
1
1
xarctan(tx2)dx.
Zad. 6.5 (2004) Dana jest funkcja f : [1, +∞) → R
F (t) = Z
(1,e)
1
xln(tx2) dl(x).
Oblicz F0(t)i wywnioskuj st¡d, »e funkcja F jest rosn¡ca.
Zad. 6.6 Niech (ak)k∈Z b¦d¡ nieujemne i takie, »e P∞n=−∞|n|kan < ∞ dla ka»dego k ∈ N ∪ {0}. Okre±lamy
ψ(x) :=
∞
X
n=−∞
anexp(inx).
Pokaza¢ , »e ψ jest funkcj¡ gªadk¡ oraz
∂k
∂xkψ(x) =
∞
X
n=−∞
an(in)kexp(inx).
