Liczby zespolone
szybkie powtórzenie
Zad. 1. Niech x = 3 − 4i, y = 3 + i. Wyznacz ¯x, ¯y, x + y, x − y, x · y, xy, |x|, |y|.
Zad. 2. Zapisz w postaci trygonometrycznej liczby x = 1 − i√
3, y = 1 + i, x · y, x y.
Zad. 3. Narysuj wykres funkcji f (t) = 1 + it.
Zad. 4. Oblicz pochodne funkcji f (t) = t +1t + 2i(t − 1t) oraz g(t) = 2eit+ 3e−it.
Ważne:
ez =
∞
X
k=0
zk k!, cos z =
∞
X
k=0
(−1)k z2k (2k)!, sin z =
∞
X
k=0
z2k+1 (2k + 1)!. Wzory Eulera:
eiz = cos z + i sin z, e−iz = cos z − i sin z, a stąd
cos z = eiz + e−iz
2 , sin z = eiz − e−iz 2i .
Zad. 5. Oblicz sin i i cos i oraz moduły liczb eit, t ∈ R oraz ex+iy, x, y ∈ R.
Zad. 6. Wykaż, że ez = e¯z oraz, że sin z = sin ¯z.
1
