Procesy stochastyczne
10. Proces Wienera — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 10.1 (J. S., Zad. 2 str. 310) Podaj przykład procesu stochastycznego o funkcji kowariancji K(s, t) = min(s, t), niebędącego stochastyczną modyfikacją procesu Wienera.
Zad. 10.2 (J. S., Zad. 3 str. 310) (Most Browna) Wyznacz funkcję kowariancji mostu Browna, czyli procesu Ut= Wt− tW1, t ∈ [0, 1], gdzie W jest procesem Wienera.
Zad. 10.3 (J. S., Zad. 5 str. 310) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to procesami Wienera są również
1. Zt = −Wt,
2. Vt= WT +t− WT, T > 0.
Zad. 10.4 (P., Ex. 2.5-2.7 p. 77) Niech W będzie procesem Wienera z parametrem σ2. Wyznacz wartość średnią i kowariancję procesów
1. X(t) = W (t + L) − W (t), L — stała dodatnia, 2. X(t) = At + W (t), A — stała dodatnia,
3. X(t) = At + W (t), gdzie A nie zależy od W i ma rozkład N (m, σ12).
Zad. 10.5 (P., Th. 27 p. 445) Wykaż, że jeśli W jest procesem Wienera, to
Z(t) = exp(aW (t) − a2t/2), a ∈ R,
jest martyngałem względem σ-algebry Ft = σ(Ws; s ¬ t). Następnie, obliczając kolejno pochodne Z(t) po a i podstawiając a = 0, wykaż, że martyngałami są W (t), W (t)2 − t, W (t)3− 3tW (t), W (t)4− 6tW (t)2+ 3t2.