Definicja 2 Niech X będzie zmienną losową i E|X| &lt

Rozkłady warunkowe – teoria

Fakt 1 Funkcja P_A( ·) = P (·|A), gdzie P (A) > 0, jest prawdopodobieństwem na (Ω, F ).

Definicja 2 Niech X będzie zmienną losową i E|X| < ∞. Wówczas E(X|A) =

Z

Ω

XdP_A.

Twierdzenie 3 Niech P (A) > 0 i E|X| < ∞. Wówczas 1. E(X|A) = 1

P (A) Z

A

XdP,

2. jeśli A_i, i ∈ I, stanowią przeliczalne rozbicie przestrzeni Ω na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie, to

EX =X

i∈I

E(X|A_i)P (A_i).

Definicja 4 Niech Ω = S

i∈I

A_i, gdzie zdarzenia A_i o dodatnim prawdopodobieństwie stanowią rozbicie przestrzeni Ω. Niech F = σ(A_i, i ∈ I) i E|X| < ∞. Wówczas

E(X|F )(ω) =X

i∈I

E(X|A_i)1_Ai(ω).

Twierdzenie 5

1. E(X|F ) jest mierzalna względem F . 2. Jeśli B ∈ F , to

Z

B

XdP = Z

B

E(X|F ) dP.

Definicja 6 Niech E|X| < ∞. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem σ-algebry F nazywamy zmienną losową E(X|F ) spełniającą warunki

1. E(X|F ) jest F -mierzalna, 2. dla każdego A ∈ F

Z

A

XdP = Z

A

E(X|F ) dP.

Twierdzenie 7 Dla całkowalnej zmiennej losowej X warunkowa wartość oczekiwana istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie 0.

Uwaga 8 Jeśli zmienna losowa X jest mierzalna względem σ-algebry F i f : R → R jest funkcją ciągłą, to f (X) jest mierzalna względem F .

Twierdzenie 9 Niech X, X₁, X₂ będą zmiennymi losowymi o skończonej wartości oczekiwanej.

Wówczas

1. jeśli X jest F -mierzalna, to E(X|F ) = X p.w., 2. jeśli X > 0, to E(X|F) > 0 p.w.,

3. |E(X|F )|6 E(|X| | F) p.w.,

4. E(aX1+ bX₂|F ) = aE(X₁|F ) + bE(X₂|F ) p.w. dla a, b ∈ R,

5. jeśli X_n % X, to E(X_n|F ) % E(X|F ) p.w.,

6. jeśli F₁ ⊂ F₂ ⊂ F , to E(X|F₁) = E E(X|F₂)|F₁
= E E(X|F₁)|F₂
(wszystkie równości p.w.)

7. EX = E E(X|F )
p.w.,

8. jeśli F i σ(X) są niezależne (czyli zmienna losowa X jest niezależna od σ-algebry F ), to E(X|F ) = EX p.w.,

9. jeśli Y jest ograniczoną i F -mierzalną zmienną losową, to E(XY |F ) = Y E(X|F ).

Oznaczenie 10 E(X|Y ) = E(X|σ(Y )), gdzie σ(Y ) = σ({Y⁻¹(A) : A ∈ B}).

Twierdzenie 11 Jeśli X jest zmienną losową, E|X| < ∞, i Y jest d-wymiarową zmienną losową, to istnieje taka funkcja borelowska h : R^d → R, że

E(X|Y ) = h(Y ).

Fakt 12 E(X|Y = y) = h(y).

Definicja 13

1. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem Y = y (ozn. P (A|Y = y)) nazywamy wielkość E(1_A|Y = y).

2. Rozkładem warunkowym zmiennej losowej X pod warunkiem Y = y nazywamy P (X ∈ A|Y = y) = E(1{X∈A}|Y = y).

Uwaga 14

P (X ∈ A|Y = y) = E(1_{X∈A}|Y = y) = 1 P (Y = y)

Z

{Y =y}

1_{X∈A}dP =

= 1

P (Y = y) Z

{Y =y ∧ X∈A}

1 dP = P (X ∈ A ∧ Y = y) P (Y = y) .

Jest to znany wzór na prawdopodobieństwo warunkowe, o ile P (Y = y) 6= 0.

Twierdzenie 15 Jeśli (X, Y ) ma rozkład ciągły o gęstości g, to P (X ∈ B|Y ) =

R

Bg(x, Y ) dx R+∞

−∞ g(x, Y ) dx oraz

E(f (X)|Y = y) = R+∞

−∞ f (x)g(x, Y ) dx R+∞

−∞ g(x, Y ) dx dla takich funkcji borelowskich f , że E|f (X)| < ∞.

Jeśli dla pewnego ω, Z +∞

−∞

g(x, Y (ω)) dx = 0, to w obu wzorach z prawej strony kładziemy 0.

Definicja 16 Funkcję

f_X|Y(x|y) =

( _g(x,y)

R+∞

−∞g(x,y) dx dla R+∞

−∞ g(x, y) dx 6= 0,

0 w p.w.,

gdzie g jest gęstością wektora (X, Y ) nazywamy gęstością warunkową X pod warunkiem Y . Twierdzenie 17 (Warunkowa wersja tw. o prawdopodobieństwie całkowitym)

P (X ∈ A) = Z

R

P (X ∈ A|Y = y)f_Y(y) dy.