ZAGADNIENIE STATECZNOŚCI POWŁOKI KULISTEJ OBCIĄŻONEJ SIŁAMI POWIERZCHNIOWYMI O KIERUNKU RÓWNOLEŻNIKOWYM I CIŚNIENIEM

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 219-224, Gliwice 2006

ZAGADNIENIE STATECZNOŚCI POWŁOKI KULISTEJ OBCIĄŻONEJ SIŁAMI POWIERZCHNIOWYMI O KIERUNKU RÓWNOLEŻNIKOWYM I CIŚNIENIEM

STEFAN JONIAK

Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska

Streszczenie. Powłoka kulista jest symetryczna względem płaszczyzny równikowej. Jej górny brzeg jest podparty przegubowo. Dolny brzeg jest zamknięty membraną sztywną w swojej płaszczyźnie. Powłoka jest obciążona równomiernie rozłożonymi siłami powierzchniowymi o kierunku równoleżnikowym oraz stałym ciśnieniem. Rozpatrywany jest problem utraty stateczności powłoki w zakresie sprężystym. Równaniami wyjściowymi są nieliniowe równania stateczności w postaci równania równowagi i równania nierozdzielności. Zagadnienie jest rozwiązywane metodą Bubnowa-Galerkina.

1. WSTĘP

Schemat analizowanej powłoki przedstawia rysunek 1. Jest ona symetryczna względem płaszczyzny równikowej. Górny brzeg powłoki jest podparty przegubowo, dolny natomiast jest zamknięty przeponą sztywną w swojej płaszczyźnie i wiotką w kierunku normalnym.

Obciążenie powłoki stanowią równomiernie rozłożone siły powierzchniowe o kierunkach równoleżnikowym i normalnym. Nieliniowe zagadnienie utraty stateczności powłoki rozwiązuje się w sposób przybliżony metodą Bubnowa-Galerkina, po przyjęciu postaci funkcji sił i funkcji ugięcia po utracie stateczności. Wszystkie operacje matematyczne podczas rozwiązywania problemu są realizowane za pomocą programu matematycznego Derive oraz Derive for Windows.

h

R θ

θ¹ φ

0

π−θ₁

Rys. 1.

2. RÓWNANIA ZAGADNIENIA

Równania zagadnienia to równanie nierozdzielności przemieszczeń i równanie równowagi. Mają one postać (1) i (2) [ 1 ]:

(

^{212 11 22 11 22 22 11}

)

⁰

2

2∇ Ψ − − − − =

∇ E h κ κ κ κ k κ k , (1)

( )

²

( )

⁰

2 _{12 2 22 1 11 11 12 2 22 22}

11 1 2

2∇ + + + + + + + + =

∇ w T κ Sκ T κ T k κ Sκ T k κ

D , (2)

gdzie: Ψ - funkcja sił,

w – funkcja ugięcia po utracie stateczności,













∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇² ₂ ²_{2 2} ²₂

sin ctg 1

1

ϕ θ θ θ

R θ ,

k - główne krzywizny, _ii

κ_ii ,κ₁₂ - zmiany krzywizn i skręcenie powierzchni,

( )

^{1 32}

12 −ν

= Eh

D - sztywność zginania powłoki, S , T - siły styczna stanu przedkrytycznego (rys. 2), _i T_i,S- siły stanu krytycznego.

t

dΘ _dϕ

Θ R

dT = t R sin² Θ ^dΘ ^dϕ

p

Rys. 2.

Zmiany krzywizn mają postać:













∂

∂

− ∂

∂

= ∂













∂ + ∂

∂

− ∂

∂ =

− ∂

= θ ϕ ϕ θ

κ θ θ θ

ϕ κ θ

κ θ w w

R w

w R

w R

2 12 2

2 2 22 2

2 2

11 2 ctg

sin , 1

ctg sin

1 , 1

1 . (3)

Siły stanu krytycznego przedstawiają następujące równania:

1 , ,

ctg sin

1 1

2 2 2 2

2 2 2 1 2

θ θ ϕ θ

θ ∂

Ψ

= ∂













∂ Ψ + ∂

∂ Ψ

= ∂

R T R

T 











∂

∂ Ψ

− ∂

∂ Ψ

= ∂

θ ϕ θ ϕ

θ

2

2 ctg

sin 1 R

S . (4)

Siły stanu przedkrytycznego mają postać (rys. 2):

( )

θ

θ θ

θ θ

2

1 1

sin 2

2 sin 2 sin 5 ,

0 −

−

=tR −

S ,

θ θ θ

2 1 1

sin 2 cos 2 cos 4

= pR −

T ,

θ θ θ

2 2 1

sin

2 2 cos 2

cos 4

−

=pR +

T , (5)

gdzie: t – jednostkowa siła równoleżnikowa, p – ciśnienie.

3. WARUNKI BRZEGOWE ZAGADNIENIA

Warunki brzegowe zagadnienia mają poniższą postać:

0 , 0 , 0 ,

0

; ₁

1 = = = =

=θ w M_θ S T

θ , (6) 0

, sin

2

2 sin , 2

0 ,

0

; ₁

1 2

1 1

1 = = = − + =

−

= w M S tR T

θ θ θ

θ π π

θ _θ

.

⁽⁷⁾

Przyjęto następujące funkcje sił i naprężeń:

Ψ=(bϕ+csinmϕ)sin²θ , (8)

( ) ( )

_{ϕ θ}

θ π

θ θ π θ

π θ θ

π 2

1 1 1

1 sin

sin 2

sin 2 



 



 +

−

 −



 





−

=a − m

w , (9)

gdzie: a, b, c - stałe, m - liczba całkowita,

Dwa pierwsze warunki (6) i (7) są spełnione ściśle, dwa drugie w sensie całkowym, trzeci warunek (6) jest spełniony ściśle, trzeci warunek (7) jest spełniony z dokładnością do stałej, ostatnie warunki obu grup nie są spełnione.

4. ROZWIĄZANIE RÓWNANIA NIEROZDZIELNOŚCI I RÓWNOWAGI

Zgodnie z metodą Bubnowa-Galerkina funkcją ortogonalizowaną przy rozwiązywaniu równania nierozdzielności przemieszczeń jest lewa strona równania (1):

( )

^{, 2 2 E h}

(

^{122 11 22 11k22 22k11}

)

F θ ϕ =∇ ∇ Ψ − κ −κ κ −κ −κ , Warunek ortogonalności ma wtedy postać

( ) ( )

^{, , =0}

∫

^{F fi dA}

A

ϕ θ ϕ

θ , (10) przy czym czynnikami ortogonalizującymi są składniki funkcji sił (8). Warunki ortogonalności przedstawiają się następująco:

∫ ∫ ( )

− 1 =

1

3 2

0

0 sin

,

θ π

θ

πF θ ϕ ϕ θ dθ dϕ , (11)

( ) ( )

−

∫ ∫

1 =

1

3 2

0

0 sin

sin ,

θ π

θ

πFθ ϕ mϕ θ dθ dϕ . (12)

Rozwiązanie warunków (11) i (12) daje:

2 1a H h E

b= , (13)

2 2 a H h E

c = , (14) gdzie: H₁, H₂- stałe zawierające θ i liczbę m. ₁

Funkcję sił przedstawia ostatecznie równanie:

(

1^ϕ 2 ^ϕ

)

^2θ

2 H H sin m sin

a h

E +

=

Ψ . (15) Funkcja ortogonalizowana przy rozwiązywaniu równania (2) ma postać:

( )

1 11 12 2 22 1

(

11 11

)

12 2

(

22 22

)

2

2 2 2

,ϕ κ κ κ κ κ κ

θ = D∇ ∇ w+T + S +T +T k + + S +T k +

G ,

zaś warunek ortogonalności przedstawia poniższe równanie:

( ) ( )

^{, , =0}

∫

^{G g dA}

A

ϕ θ ϕ

θ , (16) gdzie: ^g

( )

^{θ ,ϕ} - prawa strona równania funkcji ugięcia.

Ostateczna postać warunku ortogonalności przedstawia się następująco:

( ) ( ) ( )

_{sin 0}

sin 2 sin 2

, ³

1

1 1

1 1

1 2

0

 =



 



 +

−

 −



 





−

∫ ∫

−

− ϕ θ θ ϕ

θ π

θ θ π θ

π θ θ ϕ π

θ θ

π θ

π

d d m

G . (17)

Rozwiązanie równania (17) daje:

( )

2 2 2 1

3 3

1 12

1 



 

 + 

= −

= h

C a C h

E R t_o t

ν , (18) gdzie: ^Ci= ^f

(

θ₁,^m,^k=^p/^t

)

- stałe o bardzo rozbudowanej i skomplikowanej postaci.

Bezwymiarowy parametr obciążenia (18) reprezentuje oba rodzaje obciążenia powierzchniowego działającego na powłokę, gdyż przyjęto p = k t (k – stała). Równanie (18) stanowi rozwiązanie problemu utraty stateczności analizowanej powłoki. Należy z tego równania wyznaczyć minimalną wartość parametru obciążenia w funkcji liczby m.

Minimalna wartość parametru obciążenia to jego wartość krytyczna, zaś liczba m odpowiadająca tej wartości wyznacza postać utraty stateczności powłoki. Do wszystkich operacji matematycznych przeprowadzonych poprzednio stosowano program komputerowy Derive.

5. PRZYKŁAD LICZBOWY

Szczegółowe wartości parametru obciążenia krytycznego można wyznaczyć tylko po zrealizowaniu przykładu liczbowego. Wynika to z bardzo skomplikowanej budowy współczynników równania (18). Aby wyznaczyć wartości liczbowe współczynników równania (18), należy przyjąć wymiary powłoki i wartość liczby k, a następnie podstawiać kolejne wartości liczby m. Do wyliczenia wartości tych współczynników wykorzystano program Derive. Wyznaczenie krytycznej wartości parametru obciążenia odbywało się na drodze wykreślnej. Sporządzano wykresy we współrzędnych a/h− t_o. Przykłady takich wykresów dla różnych wartości liczby m i kąta θ₁=π/7, przy k = 0 pokazuje rysunek 3.

Wartość krytyczną parametru obciążenia wyznacza na rysunku 3 krzywa sporządzona dla m=2.

Rys. 3.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1

k = p/t

to

Rys. 4

Wpływ ciśnienia na wartość krytyczną parametru obciążenia (18) ilustrują wykresy na rysunku 4, przy czym górna krzywa dotyczy powłoki o kącie θ₁=π/4, dolna natomiast powłoki o kącie θ₁=π/7. Ujemne wartości liczby k na tym rysunku odpowiadają zwrotowi wektora ciśnienia do środka krzywizny powłoki. Z rysunku 4 widać więc, że ciśnienie zewnętrzne obniża odporność powłoki na utratę stateczności, natomiast wewnętrzne podnosi.

LITERATURA

1. Musztari G. M. , Galimow K. Z.: Nieliniejnaja tieoria uprugich oboloczek. Tatknigizdat, Kazań 1957.

2. Łukasiewicz St. Obciążenia skupione w płytach, tarczach i powłokach. PWN, War- szawa 1976.

3. Joniak S., Nonlinear stability problem of spherical shell loaded with torque, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 41, 3, p. 537-544, Warsaw 2003

4. Joniak S. : Energetic method of solving the stability problem of a semi-spherical shell loaded with torque. Journal of theoretical and Applied Mechanics, 42, 2, p 349-356, War- saw 2004.

STABILITY PROBLEM OF A SPHERICAL SHELL

UNDER CIRCUMFERENTIAL UNIFORMLY DISTRIBUTED SURFACE LOAD AND PRESSURE

Summary. Upper edge of the spherical shell is simply supported. Lower edge is closed by a membrane rigid in its plane. The shell is loaded by uniformly distrib- uted surface load of a parallel direction and pressure. A problem of elastic stabil- ity loss of the shell is considered. The problem is solved by the orthogonalization method. The coefficients of the stress functions are determined by the solution of compatibility equation with Bubnov – Galerkin method. The stress function and deflection function are subsequently inserted to equilibrium equation that is solved by Bubnov – Galerkin method. Hence, an algebraic equation for dimen- sionless load parameters is obtained. This equation allows a minimal value of this parameter to be determined as a function of parameter m; this is a critical value of load parameter.