• Nie Znaleziono Wyników

Funkcja√3 x2+ x ln x jest jednostajnie ciągła na [1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Funkcja√3 x2+ x ln x jest jednostajnie ciągła na [1"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Uzupełnienie dowodu nierówności tg(α + β + γ)3¬ tg α tg β tg γ dla α, β, γ ∈ [π4,π2).

Z nierówności Jensena otrzymujemy

ln tg(α + β + γ

3 ) ¬ ln tg α + ln tg β + ln tg γ 3

a to nie jesct całkiem to, czego potrzebujemy, co na ćwiczeniach przeoczyliśmy... Żeby skończyć zadanie, wystarczy (z monotoniczności logarytmu) udowodnić nierówność

tg(α + β + γ) ¬ tg(α + β + γ

3 )

dla liczb z zadanego przedziału. Ale

tg(α + β + γ) = tg(α + β + γ − π),

a liczby α + β + γ − π i α+β+γ3 są z przedziału (−π2,π2), więc wystarczy wykazać, że

α + β + γ − π ¬ α + β + γ

3 ,

co oczywiście zachodzi na zadanym przedziale.

Jednostajna ciągłość.

Funkcja3

x2+ x ln x jest jednostajnie ciągła na [1, ∞), czego dowodzimy sprawdzając, że ma ograniczoną pochodną:

(p3

x2+ x ln x)0= 1

3(x2+ x)−2/3(2x + 1) ln x +

3

x2+ x x =p3

x2+ x (2x + 1) ln x 3(x2+ x) +1

x



=

=p3

x2+ x (2x + 1) ln x + 3(x + 1) 3(x2+ x)



= 3 r

1 + 1 x

(2 + 1/x)xln x1/3 + 3(x−1/3+ x−4/3) 3(1 +x1)

! ,

gdzie ostatnia równość to dzielenie licznika i mianownika przez x2 odpowiednio porozbijane pomiędzy czynniki. Ponieważ lim

x→∞

ln x

x1/3 = 0 (np. z reguły de l’Hospitala), to granicą całego wyrażenia w nieskoń- czoności jest 0. Zatem pochodna faktycznie jest ograniczona na [1, ∞) i (np. na mocy faktu z poprzednich ćwiczeń) funkcja jest jednostajnie ciągła na tej półprostej.

Funkcja 3

x3+ 1 ln x nie jest jednostajnie ciągła na [1, ∞). Chyba najprostsza droga do rozwiązania to udowodniony na ćwiczeniach lemat: jeśli f : [1, ∞) → R jest jednostajnie ciągła, to istnieje M ∈ R takie, że dla wszystkich x ­ 1 zachodzi |f |x ¬ M (lub inne sformułowanie ograniczenia przez funkcję liniową, którego Państwo używali). A łatwo sprawdzić, że granicą funkcji 3

x3+1 ln x

x w nieskończoności jest nieskończoność. Można też konstruować ciągi, których różnica zbiega do 0, ale dla których różnica wartości funkcji nie zbiega do zera, ale to jednak strasznie dużo pracy.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Rozwi¡zanie: We wszystkich punktach x, dla których log |x| ̸= 0 (czyli x ̸= ±1) funkcja jest ró»niczkowalna, jako

Natomiast nie dla wszystkich f jest ono różniczkowalne na [0, 1].. Jednoznaczność

Pokazać, że funkcja przedziałami monotoniczna (skończenie wiele przedziałów) na odcinku [a, b] jest również różnicą dwu nieujemnych funkcji rosnących.. Czy istnieje

Dopisujemy do funkcji podcałkowej czynnik 1, po czym wykonujemy całkowanie przez części całkując czynnik 1 i różniczkując arcsinx... Sprawdzenie jak w

Zadania do wykładu Analiza

[r]

[r]

Czy istnieje funkcja f, że jest tylko jeden punkt a o tej włąsności?.