• Nie Znaleziono Wyników

Potęga punktu względem okręgu

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Potęga punktu względem okręgu"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Potęga punktu względem okręgu

Bartłomiej BZDĘGA

Rozważmy okrąg ω = o(O, r) o środku O i promieniu r oraz ustalmy pewien punkt P

11

O

A B

X P

Y r

d

ω

O1 P0 O2

P

a

W skazó wkido

zadań

1.

Należyp oszukiwać

punktów, których

potęgi względemp

ewnyc hokręgó wmożna

obliczyćna paręsp osobó w,oraz osi

potęgo wych parokręgó wwystępuj ącyc

h

wzadaniu.

(T a wskazówka odnosi się

takżedo wszystkich

pozostałyc hzadań.)

2.

Prosta PQ jestosią potęgo pary

okręgów zzadania, więcwystarczy

wykazać,że punkt Sma jednako

względemnic hp otęgę.Można tozrobić

za

pomo cąp odobieńst wa

trójkątó ABS w

CD i S.

3.

T rzeba wykazać,że

punkt Cma

równą potęgę względemobu

okręgów

zzadania.

Umiejętnezastoso wanie

twierdzenia Pitagorasap

owinno

wystarczyć.

4.

Niech Γb ędzieokręgiem

ośrednicy OL

.W ów czasokrą

przecho dziprzez punkt

Mi jestst yczny

doprostej ALw

punkcie L.

W ystarczy

zauw ażyć,że punkt Ama jednako

potęgę względemokręgó

o, w ω. Γi

5.

Możnaobliczyć nadw

asp osoby potęgi

punktów Ai Bwzględem okręgu

zzadania io

djąćstronami otrzymane

równości.

6.

W ystarczy udow

odnić, żepunkt P y

Qma i jąró wnąp otęgęwzględem okręgu

opisanegona trójkącie ABC

.Do tego

celuwystarczy po

do bieńs tw o

odp owiednic htró jkątów.

7.

Niech Ki Lb ędąpunktami styczności

okręgu ωdo, odp owiednio, okręgu

o

io dcinka PS .W ów czaspunkt A, y

Ki L

sąwsp ółliniow

e,gdyż punkt

Kjest

obrazempunktu Aw

jednokładności

względempunktu L,

któraprzekształca

okrąg ona ω.

Mamy też

|?

APQ

|=

|?

ALP|, bo sąto kąty

wpisane,oparte naró

wnejdługości

łukach okręgu o.

Resztęzałat wia

po dobieństw otró jkątów ip otęga

punktu Awzględem okręgu

ω.

w odległości d od punktu O (na rysunku obok d < r). Niech AB będzie taką średnicą okręgu ω, by punkt P leżał na prostej AB. Przez punkt P prowadzimy dowolną prostą, która przecina okrąg ω w punktach X i Y . Z podobieństwa trójkątów AP Y i XP B wynika, że

|P X| · |P Y | = |P A| · |P B| = (r − d)(r + d) = r2− d2,

zatem wartość tego iloczynu nie zależy od wyboru prostej przechodzącej przez punkt P . Pozostawiamy Czytelnikowi wykazanie, że jeśli punkt P leży na zewnątrz lub na okręgu ω, to |P X| · |P Y | = d2− r2. Liczbę Pω(P ) = |OP |2− r2nazywamy potęgą punktu P względem okręgu ω = o(O, r). Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że jeśli prosta P T jest styczna do okręgu ω w punkcie T , to Pω(P ) = |P T |2.

Teraz rozważmy okręgi ω1= o(O1, r1) i ω2= o(O2, r2), dla których |O1O2| = D > 0.

Niech P0będzie rzutem prostokątnym punktu P na prostą O1O2oraz niech a = |O1P0|, przy czym wartość a bierzemy ze znakiem minus, jeśli punkt P0 leży

„na lewo” od O1. Po prostych rachunkach otrzymamy

Pω1(P ) = Pω2(P ) ⇐⇒ a = r12− r22+ D2

2D .

To oznacza, że zbiór tych punktów, które mają jednakową potęgę względem okręgów ω1i ω2, jest prostą prostopadłą do O1O2. Nazywamy ją osią potęgową okręgów ω1i ω2i będziemy oznaczać symbolem `ω12. Zauważmy też, że jeśli okręgi przecinają się w dwóch punktach, to ich oś potęgowa przechodzi przez te dwa punkty.

Osie potęgowe są przydatne w dowodzeniu współliniowości punktów: jeśli Po1(P ) = Po2(P ), to punkt P leży na prostej `o1,o2.

Zadania

1. Odrobina klasyki:

(a) W kąt o wierzchołku O wpisano dwa okręgi: o1styczny do ramion kąta w punktach A1 i B1oraz o2– w punktach A2i B2. Wykazać, że okręgi te wyznaczają cięciwy jednakowej długości na ich wspólnej siecznej A1B2. (b) Na każdej wspólnej stycznej dwóch rozłącznych zewnętrznie okręgów

zaznaczono odcinek łączący punkty styczności. Dowieść, że środki wszystkich czterech zaznaczonych odcinków leżą na jednej prostej.

(c) Okręgi o1i o2przecinają się w punktach A i B. Z punktu P leżącego na prostej AB poprowadzono styczną do o1w punkcie K i do o2w punkcie L.

Udowodnić, że trójkąt P KL jest równoramienny.

2. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Okręgi o średnicach BC i DA przecinają się w punktach P i Q. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie S.

Dowieść, że punkty P , Q i S leżą na jednej prostej.

3. Odcinek CT jest wysokością trójkąta ABC, w którym |?ACB| = 90. Okrąg o środku C i promieniu CT oraz okrąg opisany na trójkącie ABC przecinają się w punktach P i Q. Dowieść, że prosta P Q przechodzi przez środek odcinka CT . 4. Z punktu A poprowadzono styczne do okręgu ω o środku O, w punktach K i L.

Punkt M jest środkiem odcinka KL. Okrąg o, przechodzący przez punkty O i M , przecina okrąg ω w punktach B i C. Wykazać, że punkty A, B i C leżą na jednej prostej.

5. Dany jest trójkąt ABC. Okrąg styczny do odcinków BC i AC przecina odcinek AB w punktach K i L. Wykazać, że

|AK| − |BL|

6

|AC| − |BC|

. 6. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego, a punkt H ortocentrum trójkąta

ostrokątnego i różnobocznego ABC. Punkty P i Q leżą odpowiednio na odcinkach CA i CB, przy czym czworokąt CP HQ jest równoległobokiem.

Wykazać, że |OP | = |OQ|.

7. Średnica AB i prostopadła do niej cięciwa P Q okręgu o przecinają się

w punkcie S. Okrąg ω jest styczny (wewnętrznie) do okręgu o i do odcinków P S oraz BS. Niech T będzie punktem styczności okręgu ω do odcinka BS. Wykazać, że |AT | = |AP |.

25

Cytaty

Powiązane dokumenty

Czy istnieje taki ostrosłup czworokątny oraz taka płaszczyzna przecina- jąca wszystkie jego krawędzie boczne, że pole uzyskanego przekroju jest więk- sze od pola podstawy

Proszę przytoczyć postacie matematyczne poznanych zasad zachowania (6 pkt.), przedstawić koniecznie warunki ich stosowania (9 pkt.) oraz zamieścić wyjaśnienia

Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo tego, że w 800 niezależnych próbach ilość sukcesów będzie większa niż 150, a mniejsza niż

Napisać równanie pęku prostych przez zadany punkt i rozwiązać z równaniem okręgu przy założeniu jednego rozwiązania tzn.. warunek delta

Z analizy rzeczywistej wiemy, że odwzorowanie płaszczyzny klasy C 1 przekształca zbio- ry otwarte w zbiory otwarte, pod warunkiem, że jego pochodna jest wszędzie

Zad3. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości 24 cm oraz drugiej przyprostokątnej o 17cm krótszej. Oblicz:. a) długość promienia okręgu wpisanego w

Zad3. Dany jest trójkąt równoramienny o bokach długości 13cm, 13cm, 24cm. Oblicz:. a) długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt b)długość promienia okręgu opisanego

Zad3. Dany jest trójkąt prostokątny w którym jedna przyprostokątna ma długość 8 dm a druga jest o 7dm od niej dłuższa. Oblicz:. a)długość promienia okręgu opisanego na