Co to jest? Co to jest? Co to jest? Co to jest?
Zbiory i odwzorowania
Bartłomiej BZDĘGA
Aby wykazać, że zbiory A i B mają tyle samo elementów, wystarczy połączyć
4
W skazó wkido
zadań
1.
Każdyp odzbiór n-elemento
wy można tów ełnieniemw sumieelemen jegodop aćz oparzystejsparow
zbiorze nieparzysta. wnieżma sumajest ich któreró }, w,a 2n , .. 2,. elementó {1,n
2.
Punktprzecięcia sięprzekątn
ych czwórką hołków paręz aną)wierzc dobraćw ow n-kątanależy (nieuporządk
-kąta, n ych. hprzekątn tyc końcami któresą
3.
>3 Dlak każdyk -kąto
niebieskich (k yz hparujem wierzchołkac
+1)
-kątem onym, czerw pozostaną dołączenietego hołkiem Bezpary jącymprzez ymwierzc ojednpowsta wierzchołka.
jedynie hołkiem, onym czerw ymwierzc wz jestwięcej. czerwon yz trójkąt zatemwielokątó wierzchołkiem
4.
Weźm yp od uw agęt ylko tyc
h doP i P haliz którzyjec pasażerów,
dla j przystankiemP hsiedział znic pomiędzy .Każdy j waju 9< i6wtram
9 w }. ,n isą ..Przypisane zezbioró jego 2,. {1, olny yćróżne odzbiór. dow każdemu ioru k wyp usząb ,A ..amizb ym ,. 2. Przypiszmy 10 ,A 1 podzbior 5. podzbior aPA dwuelemento
6.
Najkrótsza drogato
taka,w
której Ciąg wgórę m kierunkach, ciągie należysparo óch razy)i razywystępuje równania n n kolejności. =m wdw o(góra” . n praw ylko jestzatem +x razy„ pewnej .. wktórym ywm +. pchły 2 skaczet o”i ów razy),w Każderozwiązanie +x 1 skok powiedzm binarnym, 7. pchła x (m„praw
wać ym 0} giembinarn .. {z zcią00. |
x1
100 ..
0 } . {z |
x2
1.
100 ..
..
0 } . {z |
xn
.
8.
Każdykąt miodo weg owi
elokątama ciąg ,więc ◦ 240 albo ◦ miarę120
jego ydzięki ). 2 0,1 +y ∈{ ym. 2 x i ,c i b =2( 2 aniaotrzymam ) jednoznacznie giembinarn +y ,gdzie ix parow +c +( i2jestcią b ) Zapiszmy Sposób =2 −y i kątów atożsamości 10. 9. (x
Ciągi }. spełnia nięciom ,które jąrozwi iC zbB dpowiada mlic )o i owy (c )i i dwójk (b
ją . =n +C 2B równość
11.
Drogaprzeb ytaprzez pchłę
dzieli –nazwijm dwieczęści prostokątna
yje ewnej zp owymiarac każdazłożona adratów kw białą– całych czarnąi liczby
h ×1 h w1 kwadrató . ych ×1 zbioruwszystkic w1 Zbiórczarn odzbiorem kwadrató 1. mn jestp 1×
12.
Dlaróżn ych wierzchołk ów
iB A ystrzałk -kątarysujem +1) n danego(2
ę ek hołek, wodzie y. wskazów hołka najwyżej samodo jegoob strzałki strzałki, wierzchołka trójkąt jedenwierzc po tyle oco ruchem rozwartokątn yp dządwie posiada wspólnego każdedwie dniez dzi.Każdy wędrując każdegowierzc strzałeki trójkąt ny chowycho ,zgo h.Z ,jeśli dzącez dzin doB dwrotnie– →B bokac n zegara,przejdziem zktóregozAiorozwartokąt A każdegow wycho wycho wyznaczają
te elementy w pary (a, b), gdzie a ∈ A i b ∈ B. Jeżeli każdy element zbioru A i każdy element zbioru B występuje w nich dokładnie raz, to |A| = |B|. Fakt ten nazywamy zasadą bijekcji.
Bywa, że każdy element zbioru A sparujemy z innym elementem zbioru B, ale być może w zbiorze B znajdują się dodatkowo elementy, które nie zostały dobrane w pary. W tej sytuacji |A|6 |B|. Jest to dobra metoda szacowania liczby elementów zbioru A, o ile znamy |B|. Stosujemy ją w zadaniach 5, 8 i 11.
Ciąg binarny to taki, w którym mogą występować tylko zera i jedynki. Na użytek niniejszego artykułu będziemy – ogólniej – nazywać tak każdy ciąg, którego wyrazy mogą przyjmować tylko dwie z góry określone wartości.
Każdy podzbiór P ⊆ {x1, x2, . . . , xn} możemy utożsamić z n-elementowym ciągiem binarnym, w którym na i-tym miejscu stoi 1, gdy xi∈ P ; w przeciwnym razie na i-tym miejscu stoi 0. Z tego wynika, że podzbiorów zbioru n-elementowego jest tyle, co ciągów binarnych długości n, czyli 2n. Ponadto ciągów binarnych długości n, zawierających dokładnie k jedynek jest tyle, co k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, czyli nk. Ciągi binarne pomagają rozwiązać zadania 6, 7 i 8.
Zadania
1. Liczba n jest nieparzysta. Dowieść, że zbiór {1, 2, 3, . . . , 2n} ma tyle samo n-elementowych podzbiorów o parzystej sumie elementów, co n-elementowych podzbiorów o nieparzystej sumie elementów.
2. Żadne trzy przekątne n-kąta wypukłego nie przecinają się w jednym punkcie.
Ile jest punktów przecięcia się przekątnych wewnątrz tego wielokąta?
3. Jeden punkt czerwony oraz n> 3 punktów niebieskich leży na wspólnym okręgu. Których wielokątów jest więcej: posiadających wyłącznie niebieskie wierzchołki, czy tych, które posiadają jeden czerwony wierzchołek, a pozostałe niebieskie?
4. Tramwaj 80-osobowy zatrzymywał się na 18 kolejnych przystankach:
P1, P2, . . . , P18. Udowodnić, że można wskazać takie i, j ∈ {1, 2, . . . , 18}, że i < j oraz żaden z pasażerów nie jechał z przystanku Pi do Pj.
Uwaga. Zakładamy, że do tramwaju 80-osobowego zmieści się co najwyżej 80 osób, choć praktyka być może pokazuje coś innego.
5. Zbiory A1, A2, . . . , Ak są podzbiorami zbioru {1, 2, . . . , n}. Każdy z nich zawiera co najmniej dwa elementy, a każde dwa mają co najwyżej jeden element wspólny. Wykazać, że k6 n2.
6. W wierzchołku prostokąta, którego boki mają długości wyrażające się liczbami naturalnymi m i n, znajduje się pchła. Każdy skok pchły ma długość 1 i jest równoległy do jednego z boków. Na ile sposobów pchła może się dostać do przeciwległego wierzchołka najkrótszą drogą?
7. Ustalmy całkowite n > 0 i m> 0. Ile rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych ma równanie x1+ x2+ . . . + xn= m?
8. Nazwijmy n-kąt miodowym, jeśli można go rozciąć na sześciokąty foremne o boku 1. Dowieść, że liczba różnych (nieprzystających) n-kątów miodowych nie przekracza 2n.
9. Dowieść, że dla ustalonego naturalnego n równania x2+ y2= n i x2+ y2= 2n spełnia tyle samo par liczb całkowitych (x, y).
10. Ustalmy liczbę naturalną n. Ile ciągów (a0, a1, a2, . . .) o wyrazach w zbiorze {0, 1, 2, 3} spełnia równość n = a0+ 2a1+ 4a2+ 8a3+ . . .?
11. Przypuśćmy, że pchła z szóstego zadania podróżuje niekoniecznie najkrótszą drogą, ale w każdym punkcie może się znaleźć najwyżej raz. Dowieść, że liczba różnych możliwych dróg pchły nie przekracza 2mn.
12. Niech n> 2 będzie liczbą naturalną. Spośród wierzchołków (2n + 1)-kąta foremnego wybieramy trzy, które wyznaczają trójkąt rozwartokątny. Na ile sposobów można to zrobić?