Współpraca żelbetowych podkładów posadzek z podłożem gruntowym

Jarosław STRZESZYŃSKI*

P olitechnika K rakow ska

WSPÓŁPRACA ŻELBETOWYCH PODKŁADÓW POSADZEK Z PODŁOŻEM GRUNTOWYM

S treszczen ie. W artykule opisano metody analizy betonow ych i żelbetowych podkładów posadzek na grun­

cie. O m ów iono najczęściej spotykane m odele podłoża sprężystego. Przedstawiono kolejne fazy pracy płyty żelbetowej na gruncie obciążonej siłą skupioną i założenia przyjmowane w metodach projektowych oraz wpływ szczelin technologicznych na nośność płyt jako głów ne kryterium projektowania posadzek.

JOINT ACTION OF REINFORCED CONCRETE FLOOR SLABS AND SOIL

S u m m ary. In the paper the methods o f analysis o f conrete floors on grade is given. The most often used models for elastic foundation are described. Basing on the principles the load action and response for a slab on soil system and the main assumptions for calculation methods are presented. The influence o f the jonts on slab bearing capacity is assumed to be the main criterion o f design o f concrete floors.

1. Wstęp

Podstaw ow ym elem entem konstrukcyjnym przem ysłow ych posadzek na gruncie są beto­

now e i żelbetow e podkłady przekazujące obciążenia na podłoże. W e w spółczesnych techno­

logiach w ykonyw ania posadzek ogranicza się liczbę w arstw konstrukcyjnych. W najprost­

szym przypadku są to trzy warstwy:

- odpow iednio przygotow ane podłoże gruntow e, - w arstw a nośna, czyli podkład,

- posadzka, któ rą stanowi odpow iednio zm odyfikow ana w arstw a pow ierzchniow a płyty.

W arstw y w ykończeniow e w ykonyw ane są w dw óch technologiach:

- ja k o posadzki betonowe, poprzez utw ardzenie pow ierzchni płyt żelbetow ych np. prepa­

ratam i proszkow ym i i zatarcie (technologia DST),

' O piekun naukow y: Prof, dr hab. inż. Zbigniew Sanowski.

- ja k o posadzki epoksydow e i poliuretanow e poprzez pow lekanie pow ierzchni płyt cienką w arstw ą żyw ic z w ypełniaczam i. Z e w zględu na grubość w arstw y rozróżnia się tu po­

sadzki pow łokow e (ok. 0,5 mm), w ylew ane ( 2 - 5 mm) i szpachlow e (6 - 25 mm).

U kład, który stanow i płyta podkładu oraz w arstw a w ykończeniow a, określa się nazw ą po­

sadzka na gruncie [1]. W obliczeniach statycznych tego typu konstrukcji najczęściej przyj­

m uje się schem at płyty n a podłożu sprężystym . W rozw iązaniach podających sposoby obli­

czania sił w ew nętrznych w takim układzie spotykane są różne m odele obliczeniow e zarówno dla płyty, ja k i dla podłoża.

2. Modele podłoża

W zagadnieniach dotyczących posadzek na gruncie uw zględnia się głów nie model podłoża sprężystego. D okładniejsze m odele, np. półprzestrzeń konsolidująca, są w obliczeniach tego typu konstrukcji używ ane w yjątkowo, poniew aż odpow iednie przygotow anie podłoża (wy­

m iana lub w zm ocnienie geow łókninam i) pozw ala ograniczyć osiadanie w czasie użytkowania posadzki do w artości pom ijalnych.

N ajczęściej stosowanym m odelem podłoża sprężystego je s t jednoparam etrow e podłoże W inklera. G łów ną zaletą tego m odelu je s t prosta postać rów nania przem ieszczeń podłoża, w yrażona zależnością:

p ( x ) = k w ( x ) ( 1)

W m odelu tym grunt przedstaw iony je s t ja k o niezależne od siebie sprężyny, o stałej sprę­

żystości k, nazyw anej w spółczynnikiem sprężystości podłoża i je st jedynym parametrem cha­

rakteryzującym grunt. W rzeczyw istości w artość k nie je s t w ielkością fizyczną m ożliw ą do pom ierzenia - zależy ona od głębokości w arstw y gruntu, geom etrii ustroju i rozkładu obcią­

żenia, dlatego rozw iązań opartych na m odelu W inklera nie m ożna traktow ać jako dokładnych.

Zastosow anie podłoża w inklerow skiego w analizie num erycznej w ym aga w yelim inowania z m odelu naprężeń rozciągających poprzez w prow adzenie warunków:

q > 0 \ (q + v — w) > 0; q ( g + v - w ) = 0 (2) gdzie:

w, v oznaczają przem ieszczenia odpow iednio gruntu i płyty, g = ( v - w ) stanowi odległość pom iędzy p ły tą i podłożem .

R ów nania (2) o znaczają kolejno, że grunt nie m oże być rozciągany, płyta i grunt nie prze­

n ik ają się w zajem nie, oraz że odpór podłoża i odległość pom iędzy p ły tą i podłożem nie m ogą być jednocześnie różne od zera.

Jednoparam etrow e podłoże W inklera je s t w ystarczające przy opisie płyt obciążonych si­

łam i skupionym i, nie nadaje się natom iast do opisu płyt pod obciążeniem jednorodnym lub je dnorodnie zm iennym rozłożonym na całej pow ierzchni. Z godnie z tym m odelem płyta do­

zna w ów czas pionow ego przem ieszczenia lub przem ieszczenia i obrotu bez w yw ołania sił w ew nętrznych, co je s t niezgodnie z rzeczyw istością. W yelim inow anie tej niedokładności w ym aga zastosow ania podłoża dw uparam etrow ego, uw zględniającego interakcję pom iędzy poszczególnym i sprężynam i modelu. Takie m odele przedstaw ione zostały m.in. w pracach Fiłonienko-B orodicza [2], Pasternaka [3], K erra [4] oraz W łasow a i Leontiew a [5], różnią­

cych się m iędzy so b ą sposobem definiow ania param etrów podłoża.

D w uparam etrow y m odel W łasow a i Leontiew a w ykorzystujący zasadę prac wirtualnych do w yznaczenia sprężystych sił reakcji gruntu na kraw ędziach i w narożach płyty w ykorzy­

stany został w kom pletnym rozw iązaniu belek i płyt na gruncie opracow anym przez Valla- bhana i innych [6 , 7, 8].

W m odelu W łasow a, tak ja k w m odelu W inklera, przem ieszczenia poziom e rów ne są zero, natom iast funkcja przem ieszczeń pionow ych zapisana je s t jako:

Funkcja <t>(z) pozw ala na opisanie zanikania przem ieszczeń w gruncie. D la przypadków projektow ych, gdy w arstw a odkształcalnego gruntu o m iąższości H ułożona je s t na podłożu skalistym bądź w arstw ie gruntu o znacznie większej sztywności przybiera ona wartości gra­

niczne </>(0) = 1,0 i <j)(H) = 0 .

P aram etry gruntu opisyw ane są m odułem ściśliw ości gruntu Es i w spółczynnikiem Poisso- na n s. O ryginalne rozw iązanie W łasow a i Leontiew a w prow adza niezależny param etr y , któ­

ry opisuje profil w ykresu odkształceń pionow ych o w artości m iędzy 1,0 i 2,0. W pracach [6] i [7] podana została iteracyjna m etoda w yznaczania y w zależności od charakterystyki kon­

strukcji i podłoża - ( E / E ) , (l/d)3 i (H/l).

W yznaczenie 0 pozw ala na ustalenie wartości dwóch param etrów opisujących m acierze sztyw ności gruntu dla deform acji pionow ych kk oraz poprzecznych k 2 ‘ w yznaczanych z za­

leżności:

w(x, y , z ) = w ( x , y ) <l)(z) (³)

(4a)

H

(4b) 0

A i G stanow ią w spółczynniki Lam ego dla gruntu. M acierze ku oraz kit przedstaw ione zo­

stały w pracy [8]. M etoda ta pozw ala ponadto na uw zględnienie liniowej zm iany wartości m odułu ściśliw ości gruntu na grubości w arstwy. Zm ienia się w ów czas postać równań (4).

W artości sprężystych reakcji na krawędziach płyty i w narożnikach płyty w ynoszą odpo­

wiednio:

- pionow a reakcja działająca na jednostkę długości na kraw ędzi płyty

w których Wh i Wc stanow ią przem ieszczenia pionow e na krawędzi i w narożniku płyty.

M om enty skręcające M x i M y w yrażone na jednostkę długości na kraw ędzi płyty opisane są równaniam i:

C zęść prac dotyczących konstrukcji na podłożu sprężystym w ykorzystuje do opisu gruntu schem at półprzestrzeni sprężystej, oparty na rów naniu B oussinesąa (lub rów nania Flam anta w przypadku zadania płaskiego odkształcenia) opisujące przem ieszczenia punktów płaszczyzny ograniczającej od góry pow ierzchnię półprzestrzeni sprężystej pod działaniem siły skupionej P przyłożonej do jednego z punktów tej powierzchni [9]:

W m odelu tym w łaściw ości gruntu opisyw ane są poprzez m oduł ściśliw ości E s i w spół­

czynnik Poissona ¡is, które nie zależą od geom etrii konstrukcji ani rozkładu obciążenia. Tym niem niej aproksym acja podłoża gruntow ego jako jednorodnego, sprężystego ciała o nieskoń­

czonej grubości je s t podobnie ja k m odel W inklera, daleka od rzeczyw istości.

r = -J2kt ■ Wb (⁵)

- sprężysta siła działająca w narożniku płyty

(6)

(7a)

(7b)

( 8)

3. Model płyty w zagadnieniach obliczania posadzek na gruncie

P odstaw ow ym m odelem posadzek na gruncie je s t płyta K irchhoffa, pracująca w zakresie sprężystym . Z łożenia K irchhoffa dla płyt o bejm ują dw ie zależności dotyczące funkcji prze­

m ieszczeń:

w(x, y, z) = w(x, y) (9)

u { x , y , z ) - u \ x , y ) - z d 2w ( x , y ) ( 10) gdzie:

d 2T =

u - — f udz je s t średnim przem ieszczeniem w płaszczyźnie środkowej płyty, h \

2

" A j T

dx dy

Z pow yższych rów ności w ynika, że punkty znajdujące się na odcinku prostopadłym do płaszczyzny środkow ej płyty, po przyłożeniu obciążenia znajdow ać się b ęd ą na odcinkach prostopadłych do odkształconej powierzchni.

R ów nanie pow ierzchni ugięcia płyty po uw zględnieniu założeń K irchhoffa oraz założeń upraszczających w rów naniach odw rotnych uogólnionego praw a H ooke’a ( a z = 0) przedsta­

w ia w zór 11:

Dr/

D V 2V 2w = <7- ( l + v ) V 2A r , (11) h

gdzie:

D = — E h3 oznacza sztyw ność płyty na zginanie.

R ozw iązanie rów nania (11) je s t popraw ne tylko w pew nym zakresie obciążeń. Chcąc w y­

znaczyć gran iczn ą nośność płyty trzeba posłużyć się an alizą sprężysto-plastyczną. A nalitycz­

ne obliczenia płyt w zakresie sprężystym przeprow adzane są zgodnie z m etodą linii załom ów Johanssena [10]. N ośność graniczna płyty w yznaczana je s t na podstaw ie analizy linii zało­

m ów, które stan o w ią rysy pow stałe w m iejscu działania najw iększych naprężeń rozciągają­

cych. W obliczeniach rozpatruje się plastyczne obroty w okół tych linii ograniczonych nimi fragm entów płyty traktow anych ja k o elem enty sztyw ne lub sprężyste (m etoda kinem atyczna) lub rów nania rów now agi w m om encie pow stania załom ów (m etoda statycznej nośności gra­

nicznej).

4. Analiza sił wewnętrznych w płycie na sprężystym podłożu obciążonej siłą skupioną

W ykres m om entów zginających w kolejnych fazach pracy płyty obciążonej siłą rozłożoną na pow ierzchni A przedstaw ia rys. 1.

Rys. 1. Wykres m omentów w płycie na podłożu sprężystym. Krzywe A i B przedstawiają wykres momentów zginających w stadium sprężystym pracy płyty i w m omencie pojawienia się rys pod środkiem po­

wierzchni obciążenia

Fig. 1. Moment distribution due to concentrated load in concrete slab on elastic foundation. Curves A and B show the moment distribution according to the elasticity theory and basicly after the slab has passed into plastic stage under the loading center

Przy obciążeniu siłą skupioną o niewielkiej wartości płyta odkształca się w zakresie sprę­

żystym. M aksym alny m om ent zginający M ę pow staje na dolnej pow ierzchni płyty, pod środ­

kiem przyłożonego obciążenia. W m iarę zw iększania obciążenia rośnie rów nież w artość mo­

m entu, aż do chw ili, gdy w yw ołane nim naprężenia rozciągające na dolnej pow ierzchni płyty o siągną w artość rów ną w ytrzym ałości betonu na rozciąganie przy zginaniu. W ówczas zapo­

czątkow ane zostają pierw sze rysy, o kierunkach prom ienistych i początku pod środkiem ob­

ciążenia. W raz z pow staniem rys zm ienia się także sztywność płyty. D alsze zw iększanie ob­

ciążenia prowadzi do ich pow iększania i dalszej zm iany sztywności. Rów nocześnie zwiększa się ujem na w artość m om entu M r, w yw ołująca naprężenia rozciągające na górnej powierzchni płyty. Z w iększają się one w raz ze w zrostem obciążenia do chw ili, gdy przekroczą wartość w ytrzym ałości betonu na rozciąganie, co spow oduje pojawienie się rysy o kształcie kolistym na górnej pow ierzchni płyty, a to stanow i kryterium w yczerpania nośności płyty.

5. Metody wymiarowania posadzek na gruncie

Po uw zględnieniu w arunków brzegow ych płyty na jednoparam etrow ym podłożu spręży­

stym W inklera i pom inięciu naprężeń term icznych, rów nanie przem ieszczeń płyty przybiera postać:

D V 2W2w + k w = q . (12)

Po zdefiniow aniu tzw. prom ienia sztyw ności płytowej / jako:

/ = J ? . (13)

V k równania te m ożna przedstaw ić w postaci:

/ 4V 2V 2w + w = — . (14)

k

Odpowiednie rów nania oraz w arunki brzegow e płyty na podłożu W łasow a m a ją postać:

- w obszarze płyty:

D V i w - 2 t V 2w + kw = q , (15)

- na pow ierzchni gruntu poza obszarem płyty, przy z - 0 \

- 2 t V 2w + k w = 0, (16)

dla w arstw y gruntu o m iąższości H, znajdującej się na podłożu niepodatnym , w obszarze ograniczonym nierów nością 0<z<H:

+n<p = 0 . (17)

d z 2

W spółczynniki 2t oraz k w pow yższych rów naniach w y rażają zależności (4a) i (4b), natom iast m i n opisane są jak o :

m = | |( A + 2 G ) w 2dxdy , (18)

« = | | G ( V w ) 2 d x d y . (19)

A nalityczne m etody w ym iarow ania płyt zgodnie z przedstaw ionym i założeniam i m ożna znaleźć w pracach [11, 12, 13, 14], natom iast rozw iązania num eryczne przedstaw ione zostały m.in. w pracach [9, 15, 16, 17 i 18]. M etody analizy plastycznej [12, 13, 14] pozw alają na zastosow anie w ym iennie m odelu podłoża W inklera lub półprzestrzeni sprężystej.

6. Wpływ szczelin technologicznych na nośność płyty - kierunek dalszych badań

W pracy [18] przedstaw ione zostały w yniki obliczeń nośności płyt, w ykonanych przy użyciu różnych metod. A naliza w ykazuje, że podstaw owym czynnikiem określającym no­

śność płyty na gruncie przy obciążeniu siłą skupioną je s t m iejsce przyłożenia obciążenia.

W artość siły niszczącej przyłożonej do tej samej płyty w trzech punktach charakterystycz­

nych, tj. w środku płyty, na krawędzi niezam ocow anej oraz w narożniku układa się w stosun­

ku 2,7 : 1,7 : 1,0.

B adania przedstaw ione w pracy [19] w ykazują znaczne różnice pom iędzy kształtem funk­

cji przem ieszczeń płyty ciągłej i płyty ze szczeliną technologiczną lub skurczow ą (rys. 2)

ŚRODEK POWIERZCHNI ŚRODEK POWIERZCHNI

OBCIĄŻENIA OBCIĄŻENIA

SZCZELINA

Rys. 2. Kształt funkcji przemieszczeń: a) test na ciągłej powierzchni, b) w pobliżu szczeliny lub zarysowania Fig. 2. Typical deflection bowl shapes: a) test on continuous surface. b) test across joint or crack

Połączenie kraw ędzi sąsiednich płyt, ja k w ystępuje w przypadku posadzek na gruncie, po­

zw ala na znaczne podw yższenie nośności płyt obciążonych na kraw ędziach i narożnikach.

A ktualnie brak je s t metod pozw alających na w ym iarow anie posadzek przy uwzględnieniu wpływ u szczelin skurczowych i technologicznych na nośność płyty. O pracow anie metody um ożliw iającej w ym iarow anie posadzek z uw zględnieniem tych zależności je s t jednym z celów pracy doktorskiej autora. W posadzkach betonow ych o gęstym podziale dylatacjami technologicznym i m oże to stanow ić kryterium określania nośności posadzki.

LITER A TU R A

1. M ierzw a J., B iliński W.: K ształtow anie i obliczanie posadzek przem ysłow ych, XV O gólnopolska K onferencja W PPK, U stroń, luty 2000, s. 197- 230.

2. F iłonienko-B orodicz M .M .: Przybliżone teorie podłoża sprężystego, U czenyje Zapiski M oskow skogo G osudarstw iennogo U niw iersitieta, M iechanika nr 46, 1940, s. 3-8.

3. K err A.D. : Elastic and viscoelastic foundation m odels, Journal o f A pplied M echanics, A SM E, N r 31, 1964, s. 491-498.

4. Pasternak P.L.: N ow e m etody analizy dw uparam etrow ego podłoża sprężystego, Gosu- darstw iennoje Izdatielstw o po Stroitielstw u i A rchitiekturie, M oskw a 1954.

5. W łasow W .Z., Leontiew N.N.: Bałki, plity i obołoczki na uprugom osonow anii, Fizm at- giz, M oskw a 1960.

6 . V allabhan C.V ., Das Y.C.: Param etric study o f beam s on elastic foudations, Journal o f Enineering M echanics, A SC E, 114, 1988, s. 2072 - 2082.

7. V allabhan C.V ., Straughan W .T., Das Y.C.: R efined m odel for analysis o f plates on elastic foudations, Journal o f Engineering M echanics, A SCE, 117, 1991, s. 2830 - 2844.

8. V allabhan C.V ., D aloglu A.T.: C onsistent FEM - Vlasov model for plates on layered soil, Journal o f Structural Eng., A SCE, N r 125, 1999, s. 108-113.

9. G orbunow - Posadow M. I.: O bliczanie konstrukcji na podłożu sprężystym , Wyd. Bu­

dow nictw o i A rchitektura, tłum aczenie z jęz. rosyjskiego, W arszaw a 1956.

10. Johansen K.W .: Y ield -L in e theory, W illiam Clow es and Sons, London 1962.

11. W estergaard H.M .: N ew form ulas for stresses in concrete pavem ents o f airfields, T rans­

actions A SCE, N r 113, 1947, s. 425 - 444.

12. M eyerhoff G.G.: Load carrying capacity o f concrete pavem ents, J. o f Soil M ech. and Found. D ivision, A SCE, N r 88, 1962, s . 8 9 - 116.

13. L oseberg A.: Pavem ents and slabs on grade with structurally active reinforcem ent, A CI Journal, N r 75, 1978, s. 647 - 657.

14. B aum ann R.A ., W eisgerber F.E.: Y ield line analysis o f slabs on grade, Journal of Structural Engineering, A SC E, N rl0 9 , 1983, s. 1553 - 1568.

15. Shentu L., Jiang D „ Hzu C.T.: L oad-carrying capacity for concrete slabs on grade; Jour­

nal o f Structural Engineering, A SCE, N r 123, 1997, s. 95-101.

16. B arros J.A .O ., Figueiras J.A.: M odel for the analysis o f steel fibre reinforced concrete slabs on grade, C om puters & Structures, N r 79, 2001, s. 97-106.

17. Lew andow ski R., Św itka R.: W spółpraca płyty z podłożem sprężysto-plastycznym jako zadanie kontaktow e z więzam i jednostronnym i, IX K onferencja M etody Komputerowe w M echanice, K raków 1989, s. 679 - 685.

18. Janow ski Z., Strzeszyński J.: K onstrukcja posadzek z betonu na gruncie, Problem y na­

ukowo badaw cze konstrukcji z betonu, Politechnika Krakow ska, M onografia 247, Kra­

ków 1999, s. 2 0 5 - 2 1 9 .

19. C han W .K .F., Evans A.R.: A ssessing concrete pavem ents w ith the falling w eight de- flectom eter, Concrete, Nov/D ec 1994, s. 1 4 - 1 6 .

Recenzent: Prof. dr hab. inż. W acław Szczęśniak

Abstract

C oncrete floor slabs on grade are usually m odelled as plates on elastic foundation. The soil is analyzed using W inkler model or B oussinesq equations, assum ing that the soil is semiin­

finite isotropic and hom ogenius m edium. A nalytical m ethods o f design utilize elastic analy­

sis, or lim it capacity considerations for slab. Three cases o f loading are regarded: central load, edge load and corner load. As the joints influence the ultim ate bearing capacity o f reinforced concret slabs, this influece is assum ed to be the main criterion o f design o f concrete floors.