ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚI^SKIBJ S e r i a : ENERGETYKA z . 31
1969 Nr k o l . 253
WITOLD OKOŁO-KUŁAK
K atedra T e o r i i Maszyn C ie p ln y c h
TEORIA REKUPERATORA PĘTLICOWEGO
S t r e s z c z e n i e . W a r t y k u l e podano t e o r i ę re k u p e - r a t o r a p ę tlic o w e g o . W s z c z e g ó ln o ś c i ro zw iąz an o dwa kluczow e probleiqy: o b lic z a n ie te m p e r a tu r końcowych p rz y zn an e j p o w ie rz c h n i o ra z o b l i c z a n ie p o w ie rz c h n i o g rz e w a ln e j p rz y znanych p o z o s ta ły c h p a ra m e tra c h . Z ag a d n ien ie u j ę t o p rz y sz e ro k im z a sto so w a n iu t e o r i i p o d o b ie ń stw a, d z i ę k i czemu problem może być u o g ó ln io n y i r o z s z e r z o n y . P rzy to cz o n e p rz y k ła d y liczb ow e s ą do
wodem, że o b li c z e n i a mogą być wykonywane p rz y u ż y c iu k r y te rió w p od o b ień stw a lub i c h zesp o łó w . Tego r o d z a ju u j ę c i e um ożliw ia sfo rm u ło w an ie wniosków p ra k ty c z n y c h .
f 1. Wprowadzenie
R e k u p e ra to r p ę tlic o w y j e s t wykonany z r u r w y g ięty ch w k s z t a ł c i e l i t e r y "U" ( r y s . 1 ) . Łatwo s t w i e r d z i ć , że j e s t t o pewna odmiana tz w . r e k u p e r a to r a tró js tr u m ie n io w e g o , d w u czy n n i- kowego, c h a r a k te r y z u ją c a s i ę tym , że w tz w . p ę t l i - p r z e z k tó r ą rozumiemy dwa s tr u m ie n ie c zy n n ik a ogrzew anego - n i e ma wza
jemnego s p r z ę ż e n ia c ie p ln e g o . Zgodnie z o zn ac zen ia m i [ 7 ] , p r z y ję ty m i od r . 1954, n a le ż y zatem p o ło ż y ć :
k2_3 - o lu b (k2_3 ) - 0 , (k> 2 ) - 0 ( 1 .1 )
4 W itold O koło-K ułak
R ys. 1 . Schemat r e k u p e r a to r a p ę tlic o w e g o . C zynnik ogrzew ający p ły n ie na z e w n ą trz r u r k i "U". D o lo t czynników współprądowy
g d z ie o z n a c z a ją :
k2_2 - u o g ó ln io n y w sp ó łczy n n ik p r z e n ik a n ia c i e p ł a (o g ó ln ie k ^ ) pomiędzy s tru m ie n ia m i p ę t l i , (*2-3) » ( *3-2) ” k r y t ®r i ® p o d o b ień stw a o k re ś lo n e za pomocą
wzorów
( " W * "t * “ 2 <’ •* )
g d z ie :
Aq - c a łk o w ita o b lic z e n io w a p o w ie rz c h n ia o g rzew aln a,
“ pojem ność c i e p ln a i - t e g o s tr u m ie n ia cz y n n ik a ( o g ó ln ie
" i* p rz y tym w± £ 0 ) .
Wychodząc z u k ła d u równań ró żniczkow ych d l a ogólnego p rzy p ad ku r e k u p e r a to r a tró jc z y n n ik o w e g o [7] [ 8 ]
- w1 dXi - ki _3(x i - x 3) + k1 - k ( x ± - x k ) ( 1 .3 )
g d z ie (po za znanymi w ie lk o śc ia m i) o z n a c z a ją
x i* x j ’ ^ ” te m p e ra tu ry na s k a l i C e ls ju s z a czynników i . j . k .
T e o r ia r e k u p a r a to r a p ę tlic o w e g o 5
Po b a rd z o żmudnych p rz e ró b k a c h można d o jś ć do r o z w ią z a n ia w o g ó ln e j p o s t a c i [ 9]
t ± = ezp (A s) Cn i sh(Ap) + t p i ch(Ap) ( 1 .4 )
g d z i e t
- - nadwyżka te m p e ra tu ry ponad tz w . te m p e ra tu r ę o d n ie s ie n ia $ [ 8 , s t r . 13» rów n. ( 2 .3 ) j » A - o b lic z e n io w a p o w ie rzc h n ia o g rzew aln a, ja k o
zmienna n ie z a le ż n a ,
s , p - p a ra m e try o k re ś lo n e rów naniam i ( 1 .5 ) i (1.6).
Cn i - n ie p a r z y s ta e t a ł a , o k re ś lo n a wzorem ( 1 . 9 ) , t . - te m p e ra tu ra początkow a (w p r z e k r o ju p . . .p )
p i
c z y n n ik a " i " ,
sh (A p ), ch(A p) - s in u a i c o a in u s h ip e r b o lic z n e argum entu (Ap)
1 , k 1 -2 + k 1 -3 k 1 -2 + k2 -3 k2 -3 + k 1-3% / .
8 * ' 2 (---^ +--- ¿ ^ - — ~ ) ( 1 . 5 )
p » + 23 - b ( 1 .6 )
k2 Vw
b - S ± L ± ( 1 .7 )
n * i .
kc * k 1 -2 k2 -3 + k 2 -3 k1 -3 + k1 -3 k 1 -2 ( 1 ‘ 8 )
Cu i * “ Aop ^Ao s t p i + ' K 0 ^ i - j , k ^ ( 1 .9 )
6 W itold O koło-K ułak
W o s ta tn im w zo rze , z e s p ó ł m ieszany
<K > t - j , k ■ ®i-j ł <Ki- k > e i - k <1 - 10>
j e s t o k re ś lo n y ja k o suma iloczynów k ry te rió w pod ob ień stw a i od
pow iadającym im początkow ych r ó ż n ic te m p e ra tu r [9]
0 . . - t . - t o ra z 0 « t . - t (1 -1 1 )
i - j P i Pd i - k P i pk ' '
Wzory ( 1 . 5 ) . . . ( 1 . 8 ) mogą byó ró w n ież u j ę t e o g ó l n i e j , za pomocą zespołów k r y t e r i a l n y c h :
i- 3
V - - 1 * 3 ^ k ( 1 , 1 2 )
i- 1
V
-*\T(* 0 k )2- A*b, A*b . - ^ ( 1 .1 3 ) 2 2
k A
lu b :
- *ok - - <K3 - 1 ,(K 1 - 2 ) £
We wzorze ( 1 .1 2 ) mamy w ogólnym przypadku sumę s z e ś o iu k r y te rió w . Poniew aż je d n a k w rozpatryw anym r e k u p e r a to r z e zach o d zi z a le ż n o ś ć ( 1 .1 ) zatem pod znakiem sumy w y s tą p ią ty lk o c z t e r y k r y t e r i a . Z te g o samego powodu u p ra s z c z a s i ę zn a c z n ie z a le ż - n o ść u jm u ją ca w yraz AQb : z tró jw y ra z o w e j sumy iloczynów w 2 p rzy padku ogólnym , d la k2 ^ » 0 re d u k u je s i ę do jednego t y l ko w yrazu.
N ależy je s z c z e zw rócić uwagę, na n a s tę p u ją c e c h a r a k te r y s ty c z n e s z c z e g ó ły :
T e o ria r e k u p e r a t o r a p ę tlic o w e g o 7
1) p o jem no ści c i e p ln e w^ tra k tu je m y a l g e b r a i c z n i e , t z n . gdy przepływ cz y n n ik a " i ” j e s t zgodny z d o d atn im zwrotem o s i o d c ię ty c h A, wówczas w^ > 0 . W przeciw nym przypadku w± < 0 ,
2) wprowadzamy bezw zględne w a r to ś c i po jem n o ści c ie p ln y c h :
3 ) d o lo t c zy n n ik a ogrzew anego u s ta la m y zawsze w p o czą tk u u k ła du (w p r z e k r o ju p . . . p ) , zatem b ę d z ie zawsze
«2 * - W2 o ra z * + W£ (1.1 5)
4) d la d o lo tu obu czynników po je d n e j s tro n i® (tz w . d o lo t wapółprądow y) b ę d z ie :
w1 - W1 ( 1 .1 6 )
mówimy wówczas o w s p ó łp rą d z ie ,
5) d la d o lo tu obu czynników po ró żn y ch s tr o n a c h mówimy o p r z e - c iw p r ą d z ie . Wówczas b ę d z ie :
(
6) zakładam y, że ś r e d n ic a obu ram io n "U" r u r k i j e s t jednakow a, n a to m ia s t w sp ó łc z y n n ik i p r z e n ik a n ia c i e p ł e d la każdego z ram io n s ą in n e ,
7 ) aa p o w ie rz c h n ię og rzew aln ą będziem y u w a ż a li zew n ętrzn ą po
w ie rz c h n ię r a m ie n ia r u r k i "U",
8 W itold O koło-K ułak
8) w s p ó łc z y n n ik i p r z e n i k a n i a c i e p ł a k ^ odnosimy do zew
n ę t r z n e j p o w ie r z c h n i r a m i e n ia r u r k i "U". Zgodnie z p o d s ta wami przepływ u c i e p ł a , określam y j e za pomocą wzoruj
k ln ir
ki - j - - « 7 7 ♦ T s r ♦ <’ . n >
g d z i e t
k ^ f i - j ) - .¡współczynnik p r z e n ik a n ia c i e p ł a d la r u r ,
oC2 ~ w sp ó łc z y n n ik i w n ik an ia (k o n w e k c ji) odpow iadające śred n ico m d ^ , d ^ ,
^ - w sp ółczy nnik przew odzenia c i e p ł a ,
9) wpływ prom ienio w ania pomijamy lu b częścio w o uw zględniam y, p r z e z zw ię k sz e n ie oC 1 o ra z cC2 o pewną s t a ł ą w ie lk o ś ć .
2 . O k re ś le n ie te m p e ra tu r wylotowych obu czynników
Wychodząc z z a le ż n o ś c i u s ta lo n y c h d l a ogólnego przypadku ( t z n . r e k u p e r a t o r a tr ó js tru m ie n io w e g o ) [9] o ra z b io r ą c pod uwagę rów nan ia ( 1 .1 ) i (1*15) można ła tw o o k r e ś l i ć p r z y r o s t te m p e ra tu ry c zy n n ik a @2_3 ogrzewanego w obu s tru m ie n ia c h ł ą c z n i e , z n a ją c maksymalną r ó ż n ic ę te m p e ra tu r 0 ^ ^ » t d1 - t d2 równą r ó ż n ic y te m p e ra tu r dolotow ych obu czynników
9
® 2-3 ~ y ^ t g h (™ p ) 7 1 ^ ( 2 *1)
^K3 - 1 ) ~ ( K2-1^ 2 W+
g d z ie :
1 1 1
T e o r ia re ic u p e ra to ra p ę tlic o w e g o 9
Równanie ( 2 .1 ) j e s t s łu s z n e zarówno d la d o lo tu w spółprądow ego obu czynników , ja k i d la przeciw prądow ego*
D la o k r e ś le n i a spadku te m p e ra tu ry 0 ^ ^ cz y n n ik a ogrzewa-*
nego n a le ż y w y k o rz y sta ć ró w n an ie b il a n s u e n e rg e ty c z n e g o W
»1 ® ,- 1 - * 2 0 2- 3 “ 0 , - , - W 7 S 2 -3 <2 *3 )
W d alszy m c ią g u będziem y p o s z u k iw a li z a l e ż n o ś c i , u m o ż liw ia ją cych k o n tr o lę wzoru ( 2 . 1 ) . Poniew aż w pewnych p rzy p ad k ach może z a j ś ć p o tr z e b a o b li c z e n i a te m p e ra tu ry t^ g w " p ę t l i " r e k u p e - r a t o r a , w ykorzystam y rów nanie ( 1 .4 ) » D la p r z e k r o ju końcowego k . . . k ró w n an ie t o d o s ta r c z a dwu z a le ż n o ś c i
t k2 * esp(A os ) [ C ^ sh(A op) + t p2 ch(A op)] ( 2 .4 )
t k3 - exp(A0s ) [ Cn3 sh(A op) + t p3 ch(Aop )] ( 2 .5 )
K o n tro lą otrzym anych z a le ż n o ś c i może być t o , że w p ę t l i zacho
d z i rów ność
t k2 ” *k3 ( 2 *6)
a zatem z rów nań ( 2 .4 ) i ( 2 .5 ) musimy otrzym ać t e same w a rto ś c i lic z b o w e . We wspomnianych ró w nan iach n a le ż y je s z c z e o k re ś l i ć sposób o b li c z a n i a t » i *p 3 » Poniew aż w s z y s tk ie tem pe
r a t u r y w ró w n an iach ty c h [7] s ą lic z o n e od poziomu $ o k r e ś lo nego wzorem
10 W ito ld O koło-K ułak
Rys. 2 . P rz e b ie g tem pe
r a t u r w zdłuż p o w ierzch n i o g rze w a ln ej w reIm p e r a to r z e pętlicow ym o przeciwprądowym d o lo c ie czynników . , A2
pun kty p r z e g i ę c ia
Zatem d la d o lo tu w spółprądow ego.
n a le ż y p o ło ży ć »1 = V
’1
d la p r z e - a je d n o - ciwprądow ego » - W
c z e ś n ie w obu przypadkach wg =
« - W2 , w^ - Wg. U w zg lęd n iając t e z w ią z k i o ra z ( 2 .6 ) w rów naniu ( 2 .7 ) otrzymamy d la p r z e k r o ju końcowego
* a Xk1 (2.8)
zarówno d la d o lo tu w sp ó ł- ja k t e ż przeciw prądow ego obu czynników . Zatem te m p e ra tu ry w s z y stk ic h czy n
ników w rów n an iach ( 2 . 4 ) , ( 2 .5 ) i ( 2 .6 ) n a le ż y li c z y ć od poziomu od
n i e s i e n i a o k re ślo n e g o równaniem (2.8).
Stapem po śred n im k o n t r o l i może być je s z c z e z a le ż n o ś ć otrzym ana po u w z g lę d n ie n iu równań ( 2 . 4 ) , ( 2 .5 ) i ( 2 . 6 ) :
Cn3 " Cn2 * 0 2-3 Ctgh (Ao p) ( 2 .9 )
3 . P rzyp ad ek s z c z e g ó ln y : — ► “
Gdy pojem ność c i e p ln a cz y n n ik a g rz e ją c e g o dąży do n ie s k o ń c z o n o ś c i, rów nanie ( 1 .1 4 ) n ie n a d a je s i ę do z asto so w an ia ze w zględu na n ie o z n a c z o n ą p o s ta ć w y raż en ia Ao b , w tym bowiem 2 p rzypadku z a c h o d z i:
(K1 -2 ) - 0 i ( K,_3 ) - 0 (2.10)
T e o r ia r e k u p e r a to r a p ę tlic o w e g o 11
Wychodząc z równań ( 1 .1 3 ) i (1 * 8 ) otrzymamy:
” Ao b =• (K3 - 1 )(K 2 - 1 } ( 2 *11)
B io rą c je s z c z e pod uwagę ró w nanie ( 1 .1 2 ) dochodzim y do u p r o s z c z e n ia :
A 0 s - - ? « k 3 . i ) + ( * > _ - , » ( 2 , 1 3 )
P rzy p ad ek t e n s z c z e g ó ln ie n a d a je s i ę do p rzep ro w ad ze n ia o g ó l
n e j k o n t r o l i , bowiem można wówczas zasto so w ać wzory H u d lera
° 2 - 2 - ® L ( ' - ( 2 - H )
0 3-3 - 0 L <1 - e i p i - <2 - 15)
r o z b i j a j ą c r e k u p e r a t o r na dwie c z ę ś c i o maksymalnych r ó ż n ic a c h te m p e r a tu r Q d la s tr u m ie n ia d ru g ie g o 1 0 - d l a t r z e -
mar mar
c i e g o .
Gdy p o n ad to z a ło ż y s i ę k^_2 » k ^ ^ ■ k to wzór k o n tr o ln y d a l e j s i ę u p r o ś c ić
® 2-3 -® m a* (1 - 8Ip < - “ ¡ ¡ ¡ - » <2 - 16>
poniew aż p o w ie rz c h n ia ogrzew alna w ynosi w tym przypadku 2 Aq .
12 W itold O koło-K ułak
4« P rz e b ie g te m p e ra tu r
W r e k u p e r a to r a c h tr ó js tru m ie n io w y c h p rz e b ie g te m p e ra tu r mo
że wykazywać cech y n ie sp o ty k a n e w przypadku zwykłego (dw uczyn- nikow ego) w sp ó ł- lu b p rz e c iw p rą d u . To samo zjaw isk o d o ty c zy ró w n ie ż i r e k u p e r a t o r a p ę tlic o w e g o . Do n a j b a r d z ie j c h a r a k te r y s ty c z n y c h cech n a le ż y z a l ic z y ć n a s tę p u ją c e :
1) m ożliw ość w ystępow ania ekstrem ów i punktów p r z e g i ę c ia k rz y wych te m p e r a tu r ( r y s . 2 ) ,
2) m ożliw ość p r z e c in a n ia s i ę krzywych te m p e ra tu r d la dwóch czynników ,
3 ) p r z e b ie g te m p e r a tu r może mieć je d n o c z e ś n ie cech y w spółprądu i p rz e c iw p rą d u .
Poniew aż w l i t e r a t u r z e n ie w s z y s tk ie b łę d y , d o ty c z ą c e p r z e b ie g u te m p e ra tu ry czynników z o s t a ł y u s u n ię t e nawet w przypadku n a jp r o s ts z y c h typów re k u p e ra to ró w , j e s t r z e c z ą wskazaną p r z e an a liz o w a ć omówione powyżej c e c h y .
Ogólne ro z w ią z a n ie d o ty c z ą c e p rz e b ie g u te m p e ra tu r w re k u p e r a t o r a c h tró jc z y n n ik o w y c h [7] może być p rz e d sta w io n e w p o s ta c i
* i * C1 ^i exp ( s + p)A + C2 ± exp ( s - p)A ( 3 .1 )
Równanie t o p o s ia d a dogodną do ró ż n ic z k o w a n ia fo rm ę. N ie s te ty w y znaczanie s t a ł y c h C, . o ra z C~ . j e s t żmudne. J e ż e l i
'» * ^ 9 *
je d n a k przyrównamy w zajem nie ró w nania ( 1 .4 ) i (3*1)» t o można ła tw o o k r e ś l i ć s t a ł e C1 . o ra z C9
1 , 1 ¿ , 1
° 2 , i - I ( ‘ p . i - ° n , l )
T e o r ia r e k u p e r a to r a p ę tlic o w e g o 13
Po w y k o rz y s ta n iu rów nań ( 3 . 1 ) , ( 3 .2 ) i ( 3 .3 ) można ła tw o o k r e ś l i ć w arunek k o n ie czn y do w y s tą p ie n ia ekstrem um :
exp (2 Ap ) - (Cn i - t p i ) ( s - p) : ( ( c ^ + t p i ) ( s + p ) ) ( 3 .4 )
O czyw iście p o w ie rz c h n ia A wyznaczona z ró w n an ia ( 3 .4 ) n ie może być u jem n a, a n i n ie może le ż e ć poza obrębem ry s u n k u , c z y - l i
0 < A < A o ,
W c e lu o k r e ś le n i a ew entu aln ego pu n k tu p r z e g i ę c i a , r ó ż n i c z kujemy d w u k ro tn ie rów n. ( 3 .1 )
ft 2 2
ł i ■ ° 1 , i ^ S + exp ( s + P^A + C2 , i ^ s “ •
. e x p (s - p)A ( 3 .5 )
P rzy ró w nu jąc do z e ra ró w n an ie ( 3 .5 ) otrzymamy w arunek o k r e ś l a ją c y p u nkt p r z e g i ę c i a
ex p (2 Ap ) , (Cn # i - t p f i ) ( s - p ) 2 : ( ( C ^ + t p ±) ( s + p ) 2 ) ( 3 .6 ) M ożliwość w y s tą p ie n ia punk tu p r z e c i ę c i a s i ę krzywych p rz e b ie g u te m p e r a tu r można o k r e ś l i ć po dwukrotnym w y k o rz y sta n iu ró w n an ia ( 1 .4 ) o ra z warunku t ¿ = t ^ . P row adzi to do wzoru
tSh(A p ) . < tp>j - t p i l ) : (0 n > i - Cn > i) ( 3 .7 )
N ależy t u zw ró cić uwagę na t o , że ekstrem um krzyw ej tem pe
r a t u r y c zy n n ik a powinno z b ie g a ć s i ę z punktem p r z e c i ę c i a wów
c z a s , gdy c z y n n ik , k tó re g o te m p e ra tu r a o s ią g a ekstremum j e s t sp rę ż o n y c i e p l n i e t y l k o i w y łąc z n ie z tym c zy n n ik iem , d la k t ó -
H W itold O koło-K ułak
r e g o z a c h o d z i równość t , • t ^ . Wynika t o z f a k t u , ¿a w p r z y padku gdy r ó ż n i c a te m p e r a t u r pomiędzy czynnikam i zdąża do ze r a , p r z e b i e g t e m p e r a t u r y czy n n ik a pojed yn czo sp rzężo n eg o j e s t b e z g ra d ie n to w y względem p o w ie r z c h n i.
5» O b lic z a n ie p o w ie rz c h n i o g rz ew aln ej
W c e l u o b l i c z e n i a p o w ie rz c h n i o g rzew aln ej AQ, można wyko
r z y s t a ć wzór [ 9] :
Ao p - g- ! n J = l
1 W2
* W+
2 -3 2 w+
( 4 .1 )
w którym o z n a c z a ją :
*
-\lz&
k .1-2 "2 k 1-3 %2 . k 1-2 k 1-3 -) t
1- 2 TŁ1- 3 W+ k1-2+k1-3 ( k 1-2+k1 - 3 ) 2
e
max 2- 3 - C ;( 4 .2 )
( 4 .3 )
W W1 W2 ( 4 .3 )
We wzorze ( 4 . 2 ) in d e k sy górne w w y rażen iach W+ o ra z do
t y c z ą d o l o t u współprądowego, n a t o m ia s t d o ln e - p rz ec iw p rą d o - wego.
W c e l u s p r a w dz en i a wzorów ( 4 . 1 ) i ( 4 . 2 ) połóżmy np. 2 = a 0 . Wówczas wzór ( 4 . 2 ) u p r a s z c z a s i ę do formy:
T e o ria r e k u p e r a to r a p ę tlic o w e g o 15
Równanie (4 * 1 ) t a k i e z n a c z n ie s i ę u p r a s z c z a . D la d o lo tu w sp ó ł- prądowego b ę d z ie :
n a to m ia s t d la d o lo tu przeciw prądow ego po w y k o rz y sta n iu równa
n i a (4 * 3) otrzymamy:
Wzór ( 4 .5 ) p o w in ien obowiązywać d la zw ykłego, dwuczynnikowego w sp ó łp rą d u , bowiem s tru m ie ń d r u g i (k ^ _ 2 » 0) j e s t c i e p l n i e o d izo lo w an y . Z te g o samego powodu wzór ( 4 .6 ) d o ty c z y zwykłego p rz e c iw p rą d u . Aby sk o n fro n to w ać wzory ( 4 .5 ) i ( 4 .6 ) ze znanymi wzorami H u d le ra , weźmy pod uwagę wzory ( 1 . 5 ) . . . ( 1 . 8 ) . K ładąc k2 2 = 0 o ra z k ^ 2 = 0 otrzymamy;
P rzy tym znak minus i górny in d e k s p rz y W d o ty c zy d o lo tu współprądow ego ( i w sp ó łp rą d u ), zaś znak p lu s i d o ln y in d e k s - przeciw prądow ego ( i p rz e c iw p rą d u ).
Po w y k o rz y sta n iu równań ( 1 . 6 ) . . . ( 1 . 8 ) otrzymamy:
( 4 .5 )
Ao P - \ !n ( 4 .6 )
( 4 .8 )
16 W itold O kołc-K ułak
o s t a t n i a z a l e ż n o ś ć ł ą c z n i e z ( 4 * 7 ) , (4*5) 1 (4*6) prow adzi do o tr z y m a n ia wzorów H u d lera d l a w sp ó ł- i p rz e c iw p rą d u .
6. R e k u p e r a to r p ę t lic o w y uproszczo n y
Rurka "U" s ta n o w ią c a podstawowy elem ent rozpatryw anego r e - k u p e r a t o r a , p o s ia d a o c zy w iście oba ram iona o jednakowych ś r e d n i c a c h . J e ż e l i j e s z c z e p onadto w sp ó łc z y n n ik i p r z e n i k a n i a c i e p ł e w obu ram io n ach o s ią g n ą równe w a r t o ś c i , otrzymamy r e k u p e r a - t o r u p ro s z c z o n y , d l a k tó r e g o zac h o d zi równość:
k 1-2 “ k 1-3 * k
U w z g lęd n ia jąc powyższe u p r o s z c z e n i e w rów naniu (4*2) otrzymamy:
+ <5*2)
Wzór (5*2) obow iązuje zarówno d l a d o l o t u w sp ó ł- j a k t e ż i p r z e - ciwprądowego. Oznacza t o , źe r e k u p e r a t o r u p ro szczon y j u ż w z a ł o ż e n i u s p e ł n i a w arunki ró w n o w arto śc i [7» s t r . 72- 77] .
7 . P r z y k ła d y liczbow e
P r z y k ła d 1 . W r e k u p e r a t o r z e pętlicow ym znane s ą n a s t ę p u j ą c e w i e l k o ś c i : t d1 = 100 °C, t d2 - 0 °C (©max - 100 d« g ) .
W1 . 1000 W/deg k ^ 2 = 40 W/m2 s
W2 « 500 " k1_3 - 30 " "
P o w ie rz c h n ia ogrzew aln a d l a p o je d y n c z e j s t r u g i Aq * 30 m . 2 D olot obu czynników przeciw prądowy. Należy o b li c z y ć :
1) te m p e r a t u r y końcowe t fl1, t ^ 2 ,
2) punkt p r z e c i ę c i a krzywych p r z e b ie g u te m p e r a t u r t^ i t g ,
T e o r ia r e k u p e r a t o r a p ę tlic o w e g o 17
3) ekstrem um krzyw ej p rz e b ie g u te m p e ra tu ry t g ,
4) p on adto n a le ż y d o b ra ć r e k u p e r a t o r rów now arty względem podanego w te m a c ie o ra z w ykazać, że mimo zmiany k ie ru n k u i p r z e s ta w ie n ia w a r to ś c i w spółczynników p r z e n ik a n ia c i e p ł a r ó ż n ic e te m p e r a tu r 0g_^ i 0 1_ 1 n ie u le g n ą z m ia n ie .
R o zw iązanie
1 . O b lic z e n ia rozpoczynam y od o k r e ś le n i a k r y te r ió w p o d o b ie ń - stw a
z ( 1 .2 )
Suma k ry te rió w w ynosi:
(K i_ 3 ) - - 1 ,2 - 0 ,6 - 2 ,4 + 1 ,2 . - 3 i - 1 , 2 . 3
Z e s p ó ł k r y t e r i a l n y Aos ma w a rto ś ć :
Aq s » - j ( - 3 ) » 1 ,5 z ( 1 .1 2 )
D a lsz y z e s p ó ł k r y t e r i a l n y w ynosi:
N-
- A^ b a - 1 ,2 ( 1 ,2 ) . 2 a 2 ,8 8 z ( 1 .1 4 )
18 W itold O koło-K ułak
Z esp ó ł Aq p ma w a rto ś ć :
Ao p - ^ 2 , 2 5 + 2 ,8 8 « 2,26 5 z ( 1 .1 3 )
Z t a b l i c o d c z y tu je s i ę :
tg h 2 ,2 6 5 * 0,97867 c tg h 2 ,2 6 5 « 1,022 sh 2,2 6 5 - 4,7636 ch 2,265 “ 4,8675 D a le j n a le ż y o b lic z y ć w ie lk o ść pom ocniczą
7 ■ TÓSÓ + ŚS5 • o - 003 8 <2 - 2 >
Tak w ięc znane s ą w s z y s tk ie w a r to ś c i we wzorze ( 2 .1 )
0 2 - 3 ‘ + T s . 500 . 0,003 ' 7 1 , 6 dee
Spadek te m p e ra tu ry c zy n n ik a c i e p le j s z e g o wynika z b ila n s u
^ 1 - 1 3 ° * 5 * 7 1 »8 3 3 5 ,9 deg z ( 2 .3 )
T em peratu ry końcowe wynoszą
t w1 - 100 - 3 5 ,9 » 64,1 °C
t fl2 - 0 + 7 1 ,8 = 7 1 ,8 °C
T e o r ia r e k u p e r a to r a p ę tlic o w e g o 19
Poniew aż t w2> t w1, n a le ż y o b lic z y ć punkt p r z e c i ę c i a krzywych z t g . P o p rz e d n io je d n a k muszą być o b lic z o n e s t a ł e c a łk o w ania c n1 i c n2
Cn i - - 0 ,4 4 1 5 ( 1 ,5 ( - 3 5 ,9 ) - 1 , 2 ( - 7 ,7 ) - 0 ,6 . 6 4 ,1 ) -
* 3 6 ,6 7 deg z ( 1 ,9 )
Cn2 * - 0 ,4 4 1 5 ( 1 , 5 ( - 2 8 ,2 ) + 7 , 7 ( - 2 , 4 ) ) - 2 6 ,8 3 deg
2 . Punkt p r z e c i ę c i a można o k r e ś l i ć z warunku t 1 ■ t g , po wy
k o r z y s ta n iu rów nan ia ( 1 . 4 ) , p rzed tem je d n a k n a le ż y o k r e ś l i ć te m p e r a tu r ę d o n ie s i e n ia 'd* o ra z t i t „
P1 p2
c _ V P1 + W2*P2 * V>3 t p3 _ - 1000 . 64,1 - 500 . 7 1 .8 . 100o
v»1 + Wg + w^ “ - 1000
z ( 2 .7 )
t p1 " *w1 " 64,1 " 100 * “ 3 5 ,9 d ®S tp g - t w2 - ^ - 7 1 , 8 - 100 . - 2 8 ,2 deg
Po w y k o rz y sta n iu ró w n an ia ( 1 .4 ) można o k r e ś l i ć pu n k t p r z e c i ę c i a krzywych t 1 i tg
t g h ( Ap) * £ ~ - 3 6 ^ 6 7 ^-+26^83 = 0 ,7 8 z ( 1 *4)
o ra z
Ap . 1 , ° 5 i 0,462
20 W itold Olcoło-Kułak
3» W c e l u o k r e ś le n i a ekstrem um krzyw ej t 2 n a le ż y w y k o rzy stać ró w n an ie (3*4 )
Zgodność otrzym anego wyniku z poprzednim j e s t dowodem popraw
n o ś c i wzorów ( 1 .4 ) i (3 * 4 ) . I s t o t n i e , ja k to w ynika z prawa P e c l e t a , g r a d ie n t te m p e ra tu ry j e s t równy z e ru , gdy r ó ż n ic a te m p e r a tu r w ynosi z e r o .
P r z e b ie g te m p e ra tu r p rz e d s ta w ia r y s . 2 .
P rz y k ła d 2 . W c e lu d o b ra n ia r e k u p e r a to r a rów now artego względem podanego w poprzednim te m a c ie , wychodzimy z warunków ró w n o w a rto śc i [7, s t r . 7 2 -7 7 ]
Wlot czynników j e s t tu w spółprądow y. K r y te r ia podobieństw a ma
j ą w a r to ś c i:
exp(2 Ap) » j f f^§3 + 2 8 .2 - 2 8 ,2
o ra z
k1-2
w1 * + 1000
* 20
w2 » - 500 W/deg
k1-3 ■ 50 W/ de« *
(& ,_•,) - 0 , 6 | (K2 - 1 ) - - 1 ,2 (K1 - 3 ) - 1 ,2 , ( K ^ ) - 2 ,4
z ( 1 .2 )
Aqs - - ^ ( 0 ,6 + 1 ,2 - 1 ,2 + 2 ,4 ) - - 1 ,5 z ( 1 .1 2 )
T e o ria r e k u p e r a t o r a p ę tlic o w e g o 21
N atom iast d a l s z e z e s p o ł y : AQb , AQp o r a z 1/W+ p o z o s t a j ą bez zmiany. W związku z tym w i e l k o ś c i 0 2- 3 1 ^ 1 - 1 s ą i d e n t yc z ' ne j a k w poprzednim przypadku d l a d o l o t u przeciwprądowego
( r y s . 3 ) .
R ys. 3 . P rz e b ie g te m p e ra tu r w równowartym r e k u p e r a to r z e p ę t l i cowym o współprądowym d o lo c ie czynników
8 . V/nioski końcowe
R e k u p e ra to r p ę tlic o w y j e s t szczególnym przy pad kiem t r ó j - stru m ie n io w e g o , w którym s p r z ę ż e n ie c i e p ln e pomiędzy dwoma g a ł ę z ia m i c z y n n ik a ogrzew anego j e s t p rz e rw a n e . J a k t o w ynika z podanych w t e k ś c i e wzorów o ra z ro zw iąz a n y ch p rzy k ład ó w , o b l i c z e n ia mogą być p rzeprow adzane p rz y u ż y c iu k ry te rió w p o d o b ie ń stw a o ra z ic h zesp ołów . Umożliwia t o s z e r s z e u j ę c i e z a g a d n ie n i a , p o le g a ją c e na m o żliw ości pewnych u o g ó ln ie ń i w y k o rz y sta n iu danych z ro z w ią z a ń ju ż i s t n i e j ą c y c h .
22 W itold O koło-K ułak
Dodatkowe k o r z y ś c i w nosi sto so w a n ie metody rów now artości»
d z i ę k i k t ó r e j można odpo w ied zieć na p y ta n ie , k tó r e z możliwych odmian ( z e w zględu na d o lo t czynników ) s ą le p s z e , rów now arte czy g o rs z e od in n y c h . Ponieważ k r y t e r i a podobieństw a (K ) s ą m ia rą z u ż y c ia m a te r ia łu (p o p rz e z p o w ie rz c h n ię ogrzew alną A0 ) ^ J mają one duży wpływ na sp raw no ść. Wzory ( 2 .1 ) i ( 2 .3 ) u m o ż li
w ia ją wzajemne p o w iązan ie k ry te rió w lu b zespołów k r y te r i a łn y c h ze sp ra w n o śc ią r e k u p e r a t o r a .
D la o b lic z e ń p ro jek to w y ch p rz y d a tn y j e s t wzór ( 4 .1 ) o p a rty ró w n ież na sz e ro k im z a sto so w a n iu t e o r i i p o d o b ień stw a.
LITERATURA
[ 1 ] GELPERIN N .J .s T e o ria p ro c e s s a tepłoobm ena w siste m a c h s tru b k a m i F i e l d a , Chim. M a s z in o s tr. Nr 4/1939«
[2] HAUSEN H .: W ärm eübertragung i n Gegenstrom» G leich stro m und K reu zstro m , S p r in g e r - V e r l. 1959.
[3] HOBLER T .: Ruch c i e p ła i w ym ienniki, PWT W-wa, 1959*
[4] HURD N .L .: In d . Eng. s t r . 1266/1946.
[ 5] KLUJEW G .M ., CZYRKIN W .S.: K r a tk ij k u rs te p ło p e r e d a c z i, Mos. 1941.
[ 6 ] OCBęDUSZKO S .: T e o ria Maszyn C ie p ln y ch c z . I I I , PTO, W-wa 1955.
[ 7 ] OKOŁO-KUŁAK W.: T rójczynnikow e w ym ienniki c i e p ł a , ZNPS, Mechanika n r 1 (1 9 5 4 ).
[ 8 ] OKOŁO-KUŁA i W.: P odobieństw o term odynam iczne t r ó j c z y n n i - kowych nagrzew n ic p o w ie trz a . ZNPS E n erg e ty k a z . 25.
M OKOŁO-KUŁAK W.: T ró jstru m ien io w y r e k u p e r a to r konwekcyjny, Problem y P ro jek to w e B iu r P ro jekto w ych i Z ak ł. P rod. Nr 4/ 1968
.
[1 0] TRAUPEL W.j A e h n lic h k e its th e o r ie d e r W ärm eaustauschappa
r a t e , S chw eizer A rch iv f ü r angew andte W iessen sch a ft und T e c h n ik , H eft 2 , 10 Jah rg an g 1944«
T e o ria r e k u p e r a to r a p g tlic o w e g o 23
TEOPMfl U -T PyBH A T O rO PEKyilEPATOPA
P e 3 ® m e
B pa<5oTe npHBexeHO Teopun p e K yn ep a ro p a cxeaaHHoro H 3 U - T p y -
6o k . OcofieHHO npHBeseHO MeTos HCVKCJiehmk KOHe^Hbix TeMnepaTyp npK 3aaaHHoii nosepxHocTH a Taicse wcyhcjieHHe n oB epxH O cm , x o r -
^a H3BecTHH x p y r a e napaM eTpu. IlpH peineHHH 3a®ami Hcnojii>3 0BaH0 TeOpMD nOXOfiHH, «TO j a n o B0 3 M0XH0CTB 0606IHHTI, M paCfflHpHTb n p o - fijieMH, HMcaoBBie npuuepu HJurecTpHpyDT npuBeseHHbie b paeoTe u e - TOflbl.
THE THEORf OP THE U-PIPE RECUPERATOR
S u m m a r y
In t h i s p ap er th e th e o ry o f th e r e c u p e r a t o r i n w hich th e main elem en t i s th e p ip e o f th e U l e t t e r s h a p e , i s g iv e n . P a r t i c u l a r l y th e way o f c o u n tin g o f th e f i n a l te m p e r a tu r e s a t th e known s u r f a c e a r e a and th e c o u n tin g o f th e s u r f a c e a r e a w ith known o th e r p a r a m e te r s , i s shown. The th e o r y of th e s i m i l a r i t y i s used in th e s o l u t i o n t h a t p ro v id e th e g e n e r a l i z a t i o n and en larg e m en t o f th e p ro b lem . The n u m e ric a l exam ple i l l u s t r a t e s th e way o f p ro c e e d in g .
