Z E S ZY T Y NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: HU TN IC TW O z. 21
1980 N r k o l . 6 5 4
F ranci sz e k FIKUS A lic j a KUREK B ogdan G RUDZIŃSKI Z ygmunt SZCZEPAŃSKI
Instytut Inżynierii Materiałowej P oli t ec hn ik a śląska
O BL IC Z A N I E I N DU KC YN N EG O U K ŁADU GRZEJNEGO P Ł Y T A -W Z B U D N I K Z BOCZNIK I EM MAGNETYCZNYM
S t r e s z c z e n i e . P rz e ds tawiono przykłady r oz w iązań k on st ru k cy jn yc h w z b u d n i k ó w do nagrzewania indukcyjnego w s a d ó w płaskich. Korz ys ta j ąc z pojęcia potencjału w ek to r ow eg o uzyskano tzw. metodą szeregu Fo u riera równania na indukcję w płycie oraz okr e śl on o rozkład g ę s t o ści prądu Indukowanego i gęsto ść powierzchniową mocy na p o wi e rz ch ni płyty.
1. Wstęp
W el ek tr ot e rm ii do nagrz ew a ni a Indukcyjnego w s a d ó w p łaskich stosuje się zwykl e w zbudniki, schematy c zn ie przedstawione na ry3. 1. Do p o d s t a w o w yc h wad układów grzejnych ze wzbudnikami bez rdzeni m a gn et y c z n y c h (rys.
la, c, e, g) należy n ie r ów no mi e rn y rozkład t em p er a t u r y we w sadzie, mały w s p ó ł c z y n n i k mocy cos f i n ie wielka sprawność elek t ry cz na , w y n o sz ąc a ok.
40-60%.
W y s t ę pu je również ni epożądane nagrzewania się ko ns t r u k c j i w s p o r c z e j i części p o da jn ik ó w w sadu s po wodowane polem m a g n e ty cz ny m , z a m y k a j ą c y m s i ę na zew ną tr z wz bu dn ik a (pole rozproszenia). N i e d o g o d n o ś c i t e m o ż n a z m n i e j szyć, wy po sa ż a j ą c wzbu dn i k w rdzeń magnetyczny w y k o n a n y z b l a c h t r a n s f o r matoro wy ch (rys. Ib, d, f, h, j). Rdzenie po wodują o g r a n i c z e n i e wpływu zjawisk brzeg ow yc h i tym samym zwiększają sp r aw no ść e l e k t r y c z n ą d o c h o d z ą cą do 75-80%. St o sowane są również do wyrównania rozkładu t e m p e r a t u r y na p ow ierzchni wsadu.
Zaga d ni en ie m o podsta w ow ym znaczeniu przy o b l i c z a n i u in d uk cyjnych ukła
d ó w grzejnych jest analiza pola e le ktromagnetycznego. W l it eraturze roz
w i ą z an o d o ty ch cz a s przypadki z rys. la [ 2 , 3], l c , d [ 5 ] metodą szeregu i c ałki Fouriera oraz le, g [ 4 ] - metodą całki Fouriera. W niniejszej pracy a n a l i z o w a n y będzie układ z rdzeniem magnetycznym, p r z ed st aw i on y s c h e m a t ycznie na rys, lb.
2 b.
A A
-CL
T T
A A
e.
V/////////77777ZZA ! H
9
7 = = ^
A A
A A
h.
A A
I ¥
Ej
A
X
n
A A
W
Rys. 1. I nd uk cy j ne u kł a dy do n a gr ze w an ia w s a d ó w płaskich 1 - wsad (płyta), 2 - uzw oj en i e w zb u dn ik a, 3 - rdzeń m a gn et y c z n y a,c, e, g - bez rdzenia m a gn et yc z ne go , b,d,f,h,j - z rdzeniem m a g ne t yc zn ym
M
*
&
Rys. 2. R o z wi ąz a ni e techn i cz ne w z b u d n i k a do p o su wo we g o ha rt ow a n i a blach s t al ow yc h r dz eń « a g n e t y c z n y , 2 - d o p r o w a d z e n i a prądowe, 3 - d o p r o w a d z e n i e w o d y chłodzącej, 4 - uzwojenie,
c h ł o dn i ca wodna, 6 - rolki p ro wa d z ą c e
P rz yk ł ad ow e rozwiązanie techniczne w z b u d n i k a tego typu do posuw o we go h ar to wa n ia blach s ta lowych pok az an o na rys. 2 £6]. U z w o je n ie j e d no zw oj o we w y k o na n e jest z p r o fi l ow an eg o pr zewodu (4) c hł od z o n e g o wodę. R dz e ń m a g n e tyczny składa się z blach tr an sf o r m a t o r o w y c h o gr ubości 0 , 1 - 0 , 3 5 mm. P ro
w ad ze ni e w z b u d n i k a po po wierzchni blach y za pomocę rolek (6) zap ew n ia u- t rz ymanie stałej o d le gł oś c i między w z b u d n i k i e m i wsadem.
Do o b l i c z e ń użyje się m et od y szeregu F o uriera ze w z g l ę d u na jej małę p r a c o c h ł o n n o ś ć i d o s t a t e c z n ę dla celńw tech n ic zn yc h dokładność.
2. M o d e l ob l ic z e n i o w y
Ze w z g l ę d u na sko ńc z on e w y m i a r y w s z y s t k i c h e le me n t ó w układ w sa d- w z b u d - nik z r dzeniem m a g n e t y c z n y m (rys. Ib) Jest trudny do ścisłej anal iz y m a tematycznej. Duże p r o bl e my sprawia ponad t o u w z g l ę d n i e n i e rze c zy wi st e go k ształtu rdzenia magnet y cz ne go , co jest w p r a w d z i e możliwe, lecz p r o w a d z i łoby d o o tr zy ma n ia bardzo s k o m p l i k o w a n y c h w z o r ó w k ońcowych, n i e p r z y d a t nych do pr a kt y c z n y c h obliczeń. Układ za st ęp u je się d l a te g o m o d el e m o b l i c z e n i ow ym (rys. 3a) , dla uzy sk an i a którego przy ję to n a st ę p u j ę c e z a ło żenia u pr as z c z a j ę c e :
a.
by
d
Rys. 3. M o d e l ob l ic z e n i o w y układ u p ł y t a- wz b ud ni k a) z po j ed y n c z y m w z b ud ni ki e m, b) dla m e t o d y szere g u Fouriera
płyta jest n ie sk o ń c z e n i e rozległa w z d ł u ż osi x i z (oś x jest pro
stop a dł a do p ł as zc z yz ny rysunku) .
O b li c z an i e indukc yj ne go układu grzejnego. 139
- w z b u d n i k Jest nieskoń c ze ni e dł ug i w z d ł u ż osi x,
- w z bu d n i k o skończonej grubości q za s tę p i o n o folię o g r u bo śc i pomijal- nie małej ,
- pr z en l k a l n o ś ć magne ty cz na oraz ko nd uk t yw no ść płyty nie zależę od w i e l kości n at ężenia pola m a g n et y cz ne go i temperatury,
- rdzeń m ag n et y c z n y stanowi pó łp rz es t rz eń o przenikalności magn et yc z ne j n i e s ko ńc z en ie dużej (^l =»e) i ko n du kt yw n oś ci równej zeru ( (J = 0).
M odel ten ściślej odpowiada uk ła d ow i z uzwoje n ie m w i e l o zw oj ow y m i p ł a skim r dzeniem ma gn e t y c z n y m (rys. lj). Efekt grz ej ny w tym w z b u d n i k u w y w o łuję Jedy ni e dolne zwoje, górne sę tylko źródłem strat, p o wo du ję c Jego ma- łę ekonomiczność. Stosow an i e go Jest u za sadnione Jedynie w tych p r z y p a d kach, gdy użycie w z b u d n i k ó w innych typów staje się utrudnione, lub n i e m o żliwe. W pr zy p ad ku układu g rz e jnego z rys. Ib model obliczeniowy bardziej o db ie ga od rz ec z ywistości, gdyż nie uwzgl ęd ni a wpływu końców (zębów) rd ze nia magnetycznego.
Należy się je dnak spodziewać, że s p ow od o wa ny tym założeniem błęd bę
dzie niewielki, szcze gó ln i e w z d ł u ż wy so kości wzbudnika 2 h , a wi ęc w o b szarze, w którym w y m a ga ne Jest ze w z g l ę d ó w technologicznych z n a j o m oś ć roz
kładu w i e l k o ś c i el ek tr o ma g n e t y c z n y c h i temperatury z dużę do kładnościę.
W meto dz ie szeregu Fouriera pojedynczy, istniejęcy w r z e c z yw is t oś ci w z b u d n i k za st ęp uj e się systemem nieskoń cz e ni e w ielu wzbudn ik ów (rys. 3b) , uł o żo ny ch obok siebie w równych odległościach. Przyjęto, że k ierunki prę- d ó w systemu w z b u d n i k ó w sę na pr ze m ia n przeciwne. Przy us talaniu wi el k oś ci za s tę p c z y c h szc z el in p o w ie tr z ny ch a i b w modelach o b li czeniowych z rys.
3s 1 b założono, że cały pręd pły nę cy przez wzb u dn ik ko n centruje się w wa rs t wi e o gru bo śc i równej g łę bo ko ś ci w n ikania 5 .
W ó w c z a s :
8 = a' - 56 ■
b = b ' - | < S .
gdzie :
a' i b' - wymi ar y rzeczywiste szczelin.
3. Po t encjał w e k t o r o w y 1 indukcja ma gnetyczna w płycie
W oparciu o znane z teorii pola el ek t romagnetycznego równania M a x w el la dla a na li z o w a n e g o układu o t rz ymuje się równanie potencjału w e k t o r o w e g o [33
¿ W z l + l 2A ( y 1z l _ 2 _ A ( y 2) „ 0<
3y
G z *1
(i)gdzie :
{& = GO jX (i
co = 2SFf.
(2)
-L
■J
2L=a b*hJ
J lzl
Rys. 4. Rozkład gęs to ś ci prędu
a) p o j e d y n c z e g o wzbudni k a, b) systemu n i e s k o ń c z e n i e w ie l u w z b u d n i k ó w
P o d o bn ie jak w fs], z a k ła da się, że rozkład g ę s t o śc i prędu syste w z b u d n i k ó w (rys. 4b) m ożna rozwinęć w szereg Fouriera
3(z) 40 y ( - i ^
SJF Z —i n=C
_____ cos (2ntlfflh Zn+lffz
2n+l cos L cos L , (3)
przy cz y m 0 = NI g dzie :
0 - g ę s to ś ć prędu wzbud ni k a, 2L = 4 ( h + h 1 ) - okres funkcji g ę s t oś ci prędu, 2h ' - w y s o k o ś ć w z b u d n i k a ,
2 h 1 - o d l e g ł o ś ć m i ę dz y wzbudnikami.
O g ó l n e r oz wi ę z a n i e równania (l) we w s z y s t k i c h stre fa c h (i, II, III, IV) p r z y j m u j e się w p o s ta ci C3]:
03
^(y ,z) = y (C. e P kY + D, - p k \ w r _
,e )cos Z. (4)
n=0
O bl icz a n ie i n duk cy jn ego układu grzejnego. 141
W y k o r z y s t u j ę c w a r u n k i brzegowe dla po s zc ze gó l ny ch stref o b l i c z e n i o w y c h [3] w y z na cz a się r ozwięzania szczegółowe. Dla obszaru III ( b ^ y < d ) p o tencjał w e k t o r o w y jest o k r e śl on y przez wyrażenie*^ :
jj.j 2 (-l)n ch ka cos khj
A x ~ 31 h k(2n + 1)M
n=0
[qch p(y-d) - shp(y-d)J cos kz. (5)
S k ł a do w ą w z d łu ż ną Bz i poprzec zn ą By wekt or a indukcji magne t yc zn ej można o b l i cz y ć z de finicji potencj ał u w e k to ro w eg o: [3]
* 3 2 N I u q(-l) ch ka cos kh B Ż = - - W - = L (2n + 1) M---1
. [q sh p(y-d) + chp(y-d)] . cos kz. (6)
III i A x IJ 2 N % V ch ka cos k h l
Sy = Ą z " Slh i , (2n + 1) M ' n=0
. [q ch p(y-d) - sh p(y-d)^ sin kz, (7)
g d z i e :
M = [sh pc + q . ch pc^ sh k(a + b) + [q sh pc + ch pc] q . ch k(a+b) , P ¿ o
q = r l ~ •
p ="V k + jco^iG (2n + l)8T 2(h + h Ł J * k
4. G ę st oś ć prądu i n du ko w an eg o i moc wy dz ie l an a w płycie
G ę s to ś ć prędu indu ko wa ne g o w p ł ycie posiada Jedynie składowę w osi x i w y r a ż a się z a l e ż n o ś c i ą : [2^
^ Il:(y.z) = - j u S A ^ I I (y,z). (9)
^Podano Jedy ni e związki o k re śl a ją ce rozkład w ie l ko śc i e l e k t r o m a g n e t y c z ny ch w o b s z a r z e II, gdyż jest on najbardziej interesujący z p u n kt u w i d ze ni a g r z e j n i c t w a indukcyjnego.
Po p o d s t a w i e n i u w z o r u (4) do ró wnania (9) ot rz y mu je się
ju S “ (y - 2 > — sfr— 2 ,
ITI 2NIil0.1oiS V 5: (-1)° ch ka . cos k h 1
°x ^y ’2 ^ = 5fFT 2 j C (2n' '+' 'lT M n=0
. ch p(y-d) - sh p(y-d)] cos kz. (lO)
G ę s t o ś ć p o w i e r z c h n i o w ę s tr u mi en ia mocy okre śl a z e s p o l o n y w e k t o r Po yn tinga C?], k tóry d l a r o z p a tr yw an e go p r z y p ad ku ma postać:
§ ' - B z n ] y=b " Ps + JQ .' (l l >
g d z i e :
B * 11 - w e k t o r z e s p o l o n y sp r zężony z E ^ 1 1 .
p ow ie r z c h n i ę y » b
w h m o i ;
[?]•
Do rozw ię za ni a r ównania p r ze wo d n i c t w a c i e p l n eg o o ra z w y z n a c z e n i a roz
kładu t em pe r a t u r w n a g r z e w a n y m w s a d z i e nie zb ę dn a Jest z n a j o m o ś ć gęs to śc i o b j ę to śc io w ej mo cy czynnej. O b l ic za się ję z zależności:
P = i O 111
v S x (12)
g d z i e :
- gęst oś ć prędu i n d u ko w an eg o we w s ad zi e da na w z o r e m (lO).
5. O b l i c z a n i e rozk ła d u t e mp er a tu ry w płycie
P r z e d s t a w i o n e wyżej zwięz ki sta no w ię pod st aw ę do rozwi ęz a ni a z a g a d n i e nia t e r m o k l n e t y c z n e g o , tzn. w y z n a c z e n i a rozkładu tempe ra t ur we wsadzie.
W £l] o b l i c z o n o n ie st a c j o n a r n e źr ód ł ow e pole te mp e r a t u r y dla przypadku n ag rz e w a n i a p ły t y o skończonej gr ub o ś c i c, w y s o k o ś c i 2 1 i n i e s k o ń c z e nie rozległej w kierunku osi x. O tr zy m a n e tam zwię z ki mogę być w y k o r z y stane do w y z n a c z a n i a pola tempe r at ur w an al i z o w a n y m prz y pa dk u (rys. Ib).
G ę s t o ś ć ob ję to ś c i o w ę mo cy czynnej, ok r eś lo nę w z o r e m (l2), nale ży wt ed y a p r o k s y m o w a ć funkcję analitycznę, np. pod o bn ie jak w [l] wyraż en i em :
Pv (z) - a(l + cos bz ), (13)
g dzie :
a, b - stałe.
Obliczan ie induk cy jn ego układu grzejnego.. 143
6. P rz ykłady obl ic z en io we
W ne todzie szeregu Fouriera d o kł a d n o ś ć obli cz eń zależy w znacznej mie- rze od w ła śc i w e g o dobor u od l eg ło śc i 2h^ między wzbudnikiem r z e cz yw is t ym i hi po te t yc zn ym (rys. 3 b ) . Jeżeli o dl e głość 2 h 1 Jest zbyt mała, w ó w cz as d o k ł a d n o ś ć obl ic ze ń Jest niewielka. W przeciwnym przypadku (tzn. g dy o d ległość 2 h 1 Jest zbyt duża) szereg staje się w o l n o z b i e ż n y , n a le ży wi ęc u wz g lę dn ić dużo w y r a z ó w szeregu, co zwiększa czas obliczeń.
Z aga d ni en ie to zbada n o w [ 5] na przykładzie wielkości składowej w z d ł u żnej indukcji magnetycznej B ^ 11 i stwierdzono, że Już przy h 1 : h 3 z mia n y indukcji przy w z r o śc i e odległości między wzbudnikami sę m in im a ln e
(ok. 1%).
Tabl ic e 1 W y m i a r y i w a r t o ś c i parame t ró w układu grzejnego
a b c d h
h l S f
y
Zw
W Cm] [m] [m] [m] [S/m] [HZ] [H/m] [H/m] [m] [m]0005 0005 0 01 0 0015 0020 0080 1 , 1 . 106 2500 43T. 10'7 4 .10-7 0005 0 0005 0 0 1 0 0 02 0 0 04 0
Na podstawie wzorów (6), (10) i (li) wyznaczono rozkład gęstości prę- dów indukowanych oraz gęstości powierzchniowej mocy czynnej na powierzch
ni płyty, tzn. przy y ■ b dla układów grzejnych o wymiarach podanych w tablicy 1. Otrzymana wyniki przedstawiono na rys. 5 1 6 . Na rys. 7 poka
zano zmierzony 1 obliczony rozkład składowej wzdłużnej indukcji magnetycz
nej B*11 dla y » b. Z porównania obu krzywych wynika, ża zbieżność wy
ników Jest dobra, a błęd nie przekracza 6%.
7. Podsumowanie
W pracy przedstawiono analizę aatamatycznę wielkości elektromagnetycz
nych w indukcyjnym układzie grzejnym wsad-wzbudnlk z bocznikiem magnetycz
nym (rys. Ib). Oo obliczeń zmstoaowano metodę szeregu Fouriera,dzięki któ
rej wzory końcowe maję stosunkowo prostę postać. Przy odpowiednia doborze stosunku h 1 : h szeregi sę szybkozbieżne, wystarczy więc uwzględnić w obliczeniach tylko kilka wyrazów poczętkowych.
W połęczeniu z opracowanę w [i] metodę rozwlęzania zagadnienia termo- kinetycznego wyprowadzone w pracy zwlęzki mogę znaleźć zastosowanie do
Rys, 5. Rozkład gęst oś ci prędu i nd uk o w a n e g o w płycie
Rys. 6. Rozkład g ę s t o ś c i p o w i e r z chniowej mocy czynnej w ni ka ję c ej
do płyty
Rys. 7. Po ró wn a n i e w y n i k ó w o b l i c z e n i o w y c h i p o m i a r o w y c h s k ł a d o wej w z dł uż ne j indukcji m a g n e
tycznej
x - w y n i k i o b l i cz en io w e, o - w y niki pomiarowe, 1 - w z b u dn ik
4F.Fikusi inni
Ob li cza nie induk cy jne go układu grzejnego. 145
określenie rozkładu temper at u ry nagrzewanej p łyty oraz doboru optym al n yc h p ar am e tr ów układu grzejnego. Z porównania w y n i k ó w obliczeniowych i p o m i a rowych wynika, że d o k ł a d n o ś ć me tody jest rzędu kilku procent, a więc w zupełn oś c i w y s t a r c z y do o bliczeń technicznych.
LITERA TU RA
fil FIKUS F. : M i e j s c o w e indukcyjne nagrzewanie rur w procesach obróbki plastycznej. Z e s z yt y Naukowe Politechniki Ślęskiej , Hutnictwo z. 9, G l i w ic e 1976.
[2] FIKUS F. , G U D R A P. , S A J DA K C. : Pasmowe nagrz e wa ni e indukcyjne płyt.
Z e s z y t y Naukowe Po li techniki Ślęskiej, H ut nictwo z. 6, Gliwice 1976, ss. 165-167.
[3] FIKUS F. , S A J D A K C. : J ed no stronne nagrzewanie indukcyjne płyty w z b u d n ikiem o skończonej wysokości. Zeszyty Naukowe Politechniki Ślęskiej , z. 5 1 , Gliwice 1 9 7 6 , S S . 7 7 - 8 8 .
[4] FIKUS F. , S A J D A K C. , W I E C Z O R E K T. : Rozkład pola e le kt r omagnetycznego i mocy w płaskiej n a gr ze wn i cy indukcyjnej. A r c h i w u m E le kt r otechniki 1977, z. 4, t. XXVI, ss. 835-844.
S AJ D AK C . : A n a l iz a pola e l e k t r o ma g ne ty cz n eg o w indukcyjnym układzie g rz ej ny m pł yta-wzbudnik. A r c h i w u m El e kt rotechniki 1977 z. 4, t. XXVI, ss. 825-834.
[6] S Ł U C H O C K I J A.E. , R Y S K I N S.E.:' Induktory dla indukcionnogo nagriewa.
Energija 1974, Leningrad.
[7] TUROWSKI J. : E le kt r o d y n a m i k a techniczna, W N T Wa rszawa 1968.
B1PÎHCJIEHHE HHJ^yKTHBHOK HAI’PEBATEJIbHOît CHCTEMH I U I H T A - H W K T O P C MATCfflTHHM UlYHTOM
P e 3 d m e
B oiaike npüBOA&TCit npuxepu KOHCipyKiopcKHx pemeHHtt HHxyKTopoB x-»« h h - xyicTHBHoro Har p eB a h x o c k h x b h x t . Becnoxi>3yxci> n o H M H e M BeKTopHoro noieHKHa- 4a, noxyqeflo tax HasHBaexuM xeîoxoii paxa $ y p k e , ypaBHeHHH 8a HBxyicqno b nxHTe h onpexejieno pacnpexexsaHe hxotkocth HHxyxTBpoBaHBoro Toxa ■ noaepx- HOcTHyi) nxoTHOcifc sa noBepxHOCTu h x b t h.
THE CA LC UL A T I O N OF I ND UCTIVE HEAT I NG SYSTEM "PLATE-INDUCTOR"
W I T H M A G N E T I C S HU N T
S u m m a r y
E xamples of designs of the inductor for inductive heating of flat c h a r ges are given. Using the notion of vect or potential, a series of Fourier was used to obtain the equations for induction in the plate. The d i s t r i bution of inauced current d e n s i t y and surface of power on the plate s u r face were also defined.
