Porównanie różnych technik i metod rozwiązywania zredukowanych modeli poliharmonicznych maszyn indukcyjnych

Seria: E L EK TR Y K A z. 173 N r kol. 1471

Tom asz T R A W IŃ SK I, K rzysztof K LU SZCZY Ń SK I Zakład M echatroniki

PORÓWNANIE RÓŻNYCH TECHNIK I METOD ROZWIĄZYWANIA ZREDUKOWANYCH MODELI POLIHARMONICZNYCH MASZYN INDUKCYJNYCH

Streszczenie. W artykule przedstaw iono porów nanie czasów obliczeń poliharm onicznych m odeli m atem atycznych m aszyny indukcyjnej z różnym i liczbami harm onicznych przestrzennych - sform ułow anych za pom ocą techniki sym bolicznej i num erycznego odw racania hiperm acierzy indukcyjności w każdym kroku całkowania.

O bliczenia kom puterow e w ykonano w program ie M ATLAB / SIM ULINK.

COMPARISON OF VARIOUS TECHNIQUES AND METHODS FOR SOLVING THE REDUCED POLIHARMONIC MODELS OF AN INDUCTION MACHINE

Sum m ary. In this paper the com parison o f the two techniques for solving the reduced poliharm onic m odels o f an induction m achine w ith different num bers o f MMF space harm onics is presented. The first m ethod em ploys sym bolic calculations for finding the inverted form o f an inductance hyperm atrix. The other one uses classical num erical m ethod for finding the inverted form o f an inductance hyperm atrix. The com puter sim ulations are carried out w ith the help o f M ATLAB / SIM ULINK.

1. W STĘP

A nalizę m odeli poliharm onicznych m aszyn indukcyjnych prowadzi się przy ograniczonej liczbie uw zględnianych harm onicznych przestrzennych pola m agnetycznego. Liczbę harm onicznych ogranicza się od góry, przy założeniu że pom inięcie harm onicznych o w ysokich rzędach nie w nosi istotnych błędów i nie m a sensu technicznego. Zazwyczaj uw zględnia się kolejne harm oniczne do rzędu 100 * 200. Taki m odel poliharm oniczny jest skom plikow any - tw orzy układ nieliniow ych równań różniczkow ych o dużej liczbie w spółczynników , zależnych od czasu (kąta obrotu wirnika). D uża liczba uw zględnianych harm onicznych w istotny sposób utrudnia analizę, m oże być przyczyną przypadkow ych

błędów oraz prow adzi do długich czasów obliczeń kom puterow ych. Ponadto, dla w ysokich rzędów harm onicznych przestrzennych pow staje problem praw idłow ego obliczenia w spółczynników indukcyjności. Stąd lepsze rezultaty dają czasam i m odele o zredukowanej liczbie harm onicznych. A naliza porów naw cza w yników obliczeń i pom iarów pozw ala sform ułow ać w niosek, że redukcja liczby harm onicznych nie m usi prow adzić do pogorszenia zgodności otrzy m y w an y ch w yników z rzeczyw istością. Istnieje w iele przypadków stanów pracy m aszyny indukcyjnej, d la których w ygodnie je s t prow adzić analizę i sym ulację z użyciem m odeli poliharm onicznych z odpow iednio ograniczoną liczbą harm onicznych - i przy uw zględnieniu tylko ty c h harm onicznych, które faktycznie m a ją w pływ na badane zjaw isko. D o takich stanów pracy m ożem y zaliczyć np. badanie ustalonego m om entu rozruchow ego w funkcji obrotu wirnika.

2. Z A G A D N IE N IE W Y B O R U H A R M O N IC ZN Y C H PR ZESTR ZEN N Y C H

S ym etryczne, 3-fazow e jednow arstw ow e, uzw ojenie stojana o liczbie par biegunów p generuje ciąg harm onicznych przestrzennych, określony relacją:

{S,}= { p , 5 p , 7 p , l l p , l 3 p . . . } , (1) oraz:

{S0} ={3/>,9/>,...}. (2)

S ym etryczne Qr - fazow e uzw ojenie w irnika (Qr - liczba prętów klatki w irnika) generuje ciąg harm onicznych przestrzennych określony relacją:

{ * ,} - { ! ,0 , ^-lQr + U 0 , - 1 , 2 0 , + 1 ,3 0 , - l , 3 0 r + 1 ,...} ,

{R2} = {2,Q r - 2 ,Q r+ 2 ,2 Q r - 2 , 2 0 , + 2 ,3 Qr - 2 , 3Qr + 2 ,...} , (4)

oraz:

{ R , } = { U Q , ~ i , Q r + U 2 Q r - i , 2 Q r+ / , 3 0 , - i , 3 0 , + (5)

{R0 } = [ Q „ 2 Q r ,

30,,...}, (6)

(7) gdzie: i - należy do zbioru liczb naturalnych.

U zw ojenia stojana i w irnika sprzęgają się elektrom agnetycznie tylko przez harm oniczne, określone iloczynam i zbiorów :

{ C ,} = { R ,} n { S 1}, { /f,} n { S 0}, {C2} = { /?2} n { S ,} ,{ /? 2} n { S 0} , . . . ,

{C(}= {i? ł } n { 5 1}, {/f,}n {S 0} ... (8)

{C0 } = { R 0 } n { 5 ,} , {R0} n { s 0}.

F orm ułując m odel poliharm oniczny w naturalnym układzie w spółrzędnych, otrzym ujem y m acierze indukcyjności, których elem enty są sum am i indukcyjności, zw iązanym i ze w szystkim i uw zględnianym i harm onicznym i. W w yniku transform acji rów nań do nowego układu w spółrzędnych afidą [1 ][2][3] poszczególne elem enty m acierzy indukcyjności za w ierają znacznie rzadsze sum y o składnikach przynależnych tylko do określonych ciągów [1][2]. W ystępującym i w zajem nie oddziaływ ającym w m aszynie harm onicznym przestrzeń-

nym m ożna przyporządkow ać reprezentację graficzną w postaci tzw. „schem atu rozkładu m aszyny na m aszyny elem entarne” - rys. 1.

Rzędy harmonicznych przestrzennych przepływu (maszyny elementarne)

? , .

J, o

•1

Ci ⁱ

t

f r

0 1 1 I ! I n

L : i f i J,5 ,

R y s .l. F rag m en t schem atu rozkładu m aszyny na m aszyny elem entarne dla silnika o 3-fazow ym stojanie, 28-fazow ym w irniku i liczbie par biegunów p=2

Fig. 1. F ragm ent o f the diagram o f induction m achnie decom position into elem entary m achines for 3-phase induction m achine w ith 28 slots o f rotor cage and pole num ber p=2

W schem acie rozkładu każdej harmonicznej przestrzennej została przyporządkowana elem entarna (m onoharm oniczna) m aszyna o dw u- lub jednofazow ym stojanie i dwu- lub jednofazow ym w irniku (o zgodnej - J, przeciw nej - L lub zerowej I kolejności faz). Uzwojenia stojanów i w irników o rzędach, przynależnych do tych sam ych ciągów harm onicznych {S|}, {So} typu {C,} (8) są połączone szeregowo. Pomiędzy wirnikam i zw iązanym i z ciągami harm onicznych przynależnych do różnych zbiorów {C,} nie m a galw anicznego połączenia.

W szystkie w irniki m aszyn elem entarnych sprzęgnięte są na w spólnym wale.

Przy w yborze harm onicznych należy uwzględnić rodzaj analizow anego stanu pracy lub zjawiska: rozruch, naw rót, zależność m om entu rozruchow ego od kąta początkowego położenia w irnika, m ożliw ość w ystąpienia zjaw iska synchronizacji, np.:

S przy badaniu m om entu rozruchow ego należy uw zględnić pary harm onicznych przestrzennych, generujące m om enty pasożytnicze o prędkości synchronicznej równej 0. W schem acie rozkładu (ry s .l) m om enty takie o dom inujących am plitudach generują pary harm onicznych: (p, 41p), (p, 43p), (5p, 37p) (m om enty o pom ijalnie małych am plitudach generują ponadto pary (1 lp , 3 lp ) i (1 lp , 53p)),

S przy badaniu efektu synchronizacji w zakresie pracy silnikowej należy uwzględnić pary harm onicznych przestrzennych, generujące dom inujące m om enty pasożytnicze o prędkościach synchronicznych, znajdujących się w silnikow ym zakresie prędkości.

W schem acie rozkładu (ry s .l) generują je pary harm onicznych: (p, 13p), (5p, 19p), S przy badaniu dynam iki naw rotu należy uw zględnić pary harm onicznych, generujące

m om enty pasożytnicze o prędkościach synchronicznych, znajdujących się w silnikow ym i w ham ulcow ym zakresie pracy oraz przy rozruchu.

D ążąc z jednej strony do uw zględnienia najbardziej dom inujących mom entów pasożytniczych, a z drugiej strony - do ja k najm niejszej złożoności m odeli, w ybrano do dalszych rozw ażań zredukow ane m odele poliharm oniczne - zestaw ione w tab. 1.

Tabela 1

Przyjętanazwa modelu Wymiar hipermacierzy indukcyjności WHI Liczba uwzględnianych harmonicznych H Liczba par harmonicznych (V, P)

L iczb a g en er o w a n y ch p a so ż y tn icz y c h m o m en tó w sy n c h r o n iczn y ch w d a n y m z a k re sie p ra cy m a szy n y o

p r ę d k o śc i sy n c h r o n ic z n e j Q ms

praca silnikowa Q ms = 22,44 rad/s

praca ham ulcowa n ^ s -11,22

rad/s

przy zatrzymanym wirniku Q ms= 0 rad/s

Model A 4 2 1 1 0 0

Model B 4 5 4 1 1 2

Model C 6 4 2 2 0 0

Model D 6 8 6 2 2 2

3. R Ó W N A N IA P O L IH A R M O N IC ZN EG O M O D ELU M A TEM A TY C ZN EG O SILNIKA IN D U K C Y JN E G O

M odel m atem atyczny poliharm onicznej m aszyny indukcyjnej klatkow ej w układzie w spółrzędnych afidą, je st określony w postaci hiperm acierzow ej następująco:

r k l '[*? ] [ o ] ] M ' b l [o]l d i f ] . i m . . W k U L H

+

.[0] dt i f ]

d i [ K f \ \

T i 4 ' i f 11 +

. k r (-9)1 [M+] _. [ i f 1

— Qm

dt =

M i

jfidg

- L )

0 ' )

dt gdzie:

- [Rsa\ [LasaP], [R rdq], [Lardq] - odpow iednio m acierz rezystancji, indukcyjności rozproszeń stojana i m acierz rezystancji, indukcyjności rozproszeń w irnika,

- \M ssa\ [Mrrdq] - m acierz indukcyjności w łasnych stojana i wirnika, - \M „a<3dq (9 )\ - m acierz indukcyjności w zajem nych stojan-w im ik, - [isa\ [irdq] - w ektory prądów stojana i w irnika,

~ - w ektor napięć zasilających stojan,

- Q m- m echaniczna prędkość kątowa, 9, 9m - kąt elektryczny i m echaniczny wirnika, J - m o m e n t bezw ładności.

Indeksy górne, w ystępujące w rów naniach (9)(10) w skazują na układ w spółrzędnych, z którym dana m acierz lub w ektor są zw iązane (<xp, dq lub a p d q ). Aby ułatw ić num eryczne rozw iązanie układu rów nań (9)(10), opisujących poliharm oniczny model m aszyny, należy układ ten sprow adzić do postaci kanonicznej (12)-t-(14).

d f e ] [0] k r ] k r w i r

dt M . [ 0] k l

+

. k r w F k r ] i

I > r ] [ o ] ' d k r ] k r w n i r / r m IL w J i

.

+ —

dt , k r ( 4 k r ] J l i d J J

_d

dt ■

(

)

(13)

(14)

Podczas num erycznego całkow ania układu równań m aszyny (12)-r(14) konieczne jest w yznaczanie:

- odw rotności hiperm acierzy indukcyjności:

, zawartej w rów naniu (12), T k l w k r ] k r w ! ] i

i [o] k i +

k r w f k r ] [

pochodnej hiperm acierzy indukcyjności w zględem czasu:

d_

dt

k r ] k r (¿o]

k r ] .

, zawartej w rów naniu (12),

- pochodnej m acierzy indukcyjności w zględem kąta 9 :

~ ~ k r (5 )], zaw artej w rów naniu (13).

d 9

Sposób obliczania m acierzy o elem entach zależnych od kąta obrotu w irnika, a tym samym od czasu, prow adzi do dw óch różnych technik rozw iązyw ania układu rów nań (12)-r(14):

S z w ykorzystaniem num erycznego odwracania hiperm acierzy indukcyjności w każdym kroku całkow ania

Sposób ten pozw ala na uwzględnienie dow olnie wybranej liczby harm onicznych przestrzennych przepływ u. Jednak rozw iązyw anie układu rów nań różniczkowych (12)-h( 14) w n krokach sym ulacji w ym aga n -krotnego odw racania m acierzy indukcyjności i n -k ro tn e g o obliczania odpow iednich pochodnych macierzy indukcyjności oraz n - krotnego obliczania w szystkich param etrów zależnych od czasu. N a skutek tego m etoda ta je st bardzo pow olna, naw et w tedy, gdy rów nania (12)+(14) rozwiązuje się na sprzęcie kom puterow ym o dużej w ydajności,

z zastosow aniem przekształceń sym bolicznych

Znalezienie postaci m acierzy odwrotnej i pochodnych na drodze przekształceń sym bolicznych oznacza, że w n krokach sym ulacji (całkow ania równań (12)+(14)) n - krotnie obliczam y w yłącznie wartości elem entów macierzy indukcyjności, zależnych od czasu. Pow oduje to znaczne skrócenie czasu obliczeń (ok. 2-^4-krotne w zależności od liczby uw zględnianych harm onicznych przestrzennych).

✓

4. P O R Ó W N A N IE C Z A S Ó W R O ZW IĄ ZY W A N IA ZR ED U K O W A N Y C H M ODELI P O L IH A R M O N IC Z N Y C H O R Ó ŻN Y M STO PNIU U PR O SZC ZEN IA

4.1. W aru n ki sym ulacji

Sym ulacje kom puterow e przeprow adzono na kom puterze PC z procesorem Intel Celeron 300 M H z 64 M B R A M , badając rozruch silnika zasilanego z 3-fazowej sym etrycznej sieci.

Sym ulacjom kom puterow ym poddano rozruch silnika z w irnikiem o naturalnym m om encie bezw ładności (przy zerowej prędkości początkowej i przy tym sam ym kącie początkow ym w irnika w każdej serii sym ulacyjnej) w przedziale czasu 0-r0,5s. Pozostałe param etry sym ulacji były następujące:

- m odele rozw iązano, używ ając m etod całkow ania rów nań różniczkow ych: Rungego K utty 5 rzędu, A dam sa, B ogackiego-Sham pine, Geara-A dam sa,

- przyjęto m aksym alny krok całkow ania rów ny 0,00005s przy sym ulacjach ze zm iennym krokiem całkow ania,

- sym ulacje w ykonano używ ając program u M A TLA B / SIM U LIN K ,

- rozw iązano m odele sform ułow ane za pom ocą techniki sym bolicznej [3] [4] [5] i num erycznego odw racania hiperm acierzy indukcyjności [l][6 j.

4.2. R eprezentacja graficzna przykładow ego zredukow anego m odelu poliharm onicznego w p rogram ie M A T L A B / SIM U LIN K

N a rys.2. przedstaw iono strukturę g raficzną zredukow anego m odelu poliharm onicznego (m odel A - tab. 1), uw zględniającego pięć harm onicznych przestrzennych przepływ u.

&

in_1

0

in_2

0

in 3 I

0 — 1 ^>

in 4

0 -

» i > 0 -

Msr, dM sr

te 26 te2 te86

tSET

—►) f(u) |— ►fi/s]—

ia -► I Ku)

te58 te 26 T52"

te

-►) f(u) (—► 0- iq

►) Ku)

- 0 0

0

0 0

0 - 0

Rys.2. G rafic zn a rep re zen tacja m odelu poliharm onicznego z pięciom a harm onicznym i przestrzennym i o rzę­

dach: 2, 26, 58, 82, 86

Fig.2. G raphical rep resen tatio n o f th e reduced poliharm onic m odel o f an induction m achine with five MM F space harm onics: 2, 2 6 , 58, 82, 86

Do w ejść „in i ” , „in _ 2 ” są doprowadzane składowe a p napięcia zasilającego, a do wejść

„in _ 3 ” i „in_4” m om ent bezw ładności (który to param etr może się zm ieniać w czasie) i m om ent obciążenia. W ejście „in_5" je st niewykorzystane. W yjścia, oznaczone jako 1, 2, 3, 4, 5, 6, to odpow iednio: składow a a prądu stojana isa, składow a ¡3 prądu stojana i,fi, składow a d prądu w irnika ir<u , składow a q prądu w irnika irq2, prędkość obrotowa wirnika Q m i kąt obrotu w irnika 9m. N a rys. 3 przedstaw iono przykładow y przebieg prędkości podczas nawrotu otrzym any po rozw iązaniu rów nań m odelu 5-harm onicznego, przy pow iększonym m omencie bezw ładności w irnika ( J = 0.1 kg m 2) i początkowej prędkości obrotowej f2mo~ 50 rad/s.

a) ^b)

Rys.3. N aw ró t silnika: a) przebieg prędkości, b) pow iększony fragm ent przebiegu prędkości z rys. a. z zaznaczonym i m iejscam i oddziaływ ania m om entów pasożytniczych synchronicznych: prostokąt n r I - m o m en t pasożytniczy w zakresie pracy ham ulcow ej, prostokąt n r 2 - m om ent pasożytniczy w zerze prędkości, p ro sto k ą t n r 3 - m o m en t pasożytniczy w zakresie pracy silnikow ej

Fig.3. Speed reverse o f the m otor: a) speed v. tim e curve, b) expended fragm ent o f speed v. tim e curve from Fig.

A. w ith m arked places o f th e strongest influence o f the parasitic synchronous torques: rectangle no 1 - parasitic synchronous torque in broke region, rectangle no 2 - parasitic synchronous torque at the start, rectangle no 3 - parasitic synchronous torque in m otor region

4.3. Z estaw ienie czasów rozw iązyw ania zredukow anych m odeli poliharm onicznych

W tab. 2 i 3 zestaw iono czasy dla sym ulacji przeprow adzonych przy warunkach określonych w pkt.4.1, dla zredukow anych modeli poliharm onicznych z ta b .l, sform ułow anych za p o m o cą techniki sym bolicznej i num erycznego odwracania hiperm acierzy indukcyjności.

Tabela 2

Technika sym boliczna

C z asy ro zw iązy w an ia z re d u k o w a n y c h m o d eli p o lih a rm o n ic z n y c h w |sj

Runge-K utta 5 A dam s Bogacki-

Sham pine G ear-A dam s

Model A 59,62 28,16 34,89 26,72

Model B 77,08 42,38 50,59 49,49

Model C 119,96 61,76 82,53 63,68

Model D 130,91 64,65 103,13 99,13

Tabela 3

T e c h n i k a n u m . o d w r .

C z a sy ro z w ią z y w a n ia z re d u k o w a n y c h m o d eli p o lih a rm o n ic z n y c h w [s]

R unge-K utta 5 Adam s Bogacki-

Sham pine G ear-A dam s

Model A 169,65 73,22 100,09 56,27

Model B 236 ,6 6 102,55 177,04 2 14 ,73

Model C 268 ,8 0 116,38 164,71 127,85

Model D 496 ,0 0 186,30 317,13 240,00

a ) 300

5 200O*

?

i

o

Runge Adams Bogacki- G ear-

Kutta 5 Shampine Adams

M etoda całkowania r.r.

600

2 500 o*

2 400 a

im 300 c I 200 «

0

Rys.4. P orów nanie czasów trw an ia sym ulacji d la zredukow anych m atem atycznych m odeli poliharm onicznych ro z w iązy w an y ch z w yk o rzy stan iem : a) techniki sym bolicznej, b) techniki n u m erycznego odw racania m acierzy indukcyjności w każdym kroku całkow ania

Fig.4. C o m parison tim es for solving the reduced poliharm onic m odels o f an induction m achine term inating with th e h elp of: a) sym bolic calculations, b) classical num erical m ethod for finding inverted form o f inductance hyperm atrix

b )

■ Model A 0 Model B H Model C

□ Model D

Runge Kutta 5 Adams Bogacki- Gear-Adams Shampine

M e tod a ca łkow an ia r.r.

■ Model A 0 Model B B Model C

□ Model D

5. PO D SU M O W A N IE

D la zredukow anych m odeli poliharm onicznych, sform ułow anych z w ykorzystaniem techniki num erycznego odw racania hiperm acierzy indukcyjności w każdym kroku całkow ania, zw iększenie w ym iaru hiperm acierzy indukcyjności WHI z W HI=4 na WH1=6 pow oduje 2,5-krotny do ponad 4-krotny w zrost czasu trw ania obliczeń dla każdej z użytych m etod całkow ania rów nań różniczkow ych. W zrost liczby uw zględnianych harmonicznych przestrzennych, przy stałym w ym iarze hiperm acierzy indukcyjności, pow oduje od 1,4- do blisko 4-krotny w zględny w zrost czasu obliczeń dla W HI=4 oraz od 1,6- do 2-krotny względny w zrost czasu obliczeń dla W HI=6. W przypadku zredukow anych modeli poliharm onicznych sform ułow anych za pom ocą techniki sym bolicznej zwiększenie wym iaru hiperm acierzy indukcyjności z W H I=4 na W HI=6 pow oduje 2-krotny do 4-krotny wzrost czasu trw ania obliczeń. Przy w ym iarze hiperm acierzy indukcyjności W HI=4 w zrost liczby harm onicznych przestrzennych z 2 na 5 powoduje w zrost czasów obliczeń od 1,3 do 1,9 razy, natom iast przy W HI=6 w zrost liczby harm onicznych przestrzennych z 4 na 8 powoduje w zrost czasów obliczeń od 1,1 do 1,6 razy.

O trzym ane w yniki św iadczą o tym , że w zrost liczby harm onicznych przestrzennych uw zględnianych w m odelu, zapew niający praw idłow e odw zorow anie zjaw isk zw iązanych z poliharm onicznością, nie m usi prowadzić do w zrostu czasu obliczeń (przypadek zmiany m odelu C na m odel B), a decydujący w pływ na czasy obliczeń m a w ym iar hiperm acierzy indukcyjności.

N ajszybszą m eto d ą rozw iązyw ania rów nań zredukowanych modeli poliharm onicznych jest m etoda A dam sa, natom iast najdłuższe czasy obliczeń uzyskuje się rozw iązując równania m etodą R ungego-K utty 5.

Przy zastosow anym m aksym alnym kroku całkow ania (0.00005s) uzyskano takie same wyniki dla zredukow anych m odeli poliharm onicznych (ta b .l) co do am plitud generowanych m om entów pasożytniczych i charakteru przebiegu krzyw ych dynam icznych prędkości obrotowej dla przedstaw ionych m etod całkow ania równań różniczkowych.

LITER ATU RA

1. K luszczyński K., M iksiew icz R.: M odelling o f 3-phase induction m achines allow ing for M M F space harm onics, (in Polish) Scientific Papers o f Silesian U niversity, z.142, 1995.

2. K luszczyński K ., M iksiew icz R.: M om enty pasożytnicze w indukcyjnych silnikach klatkow ych, G liw ice 1993.

3. Traw iński T., K luszczyński K.: V ector control o f induction m achine in presence o f predom inant parasitic synchronous torques. IC E M ’98, vol.2/3, p. 920, Istam buł - Turkey 1998.

4. Prokop J.: M odelling o f electrom echanical systems - sim ulation m odels, symbolic com putation, 34th International Sym posium on Electrical M achines SM E'98, Łódź - Poland, Scientific Bulletin o f Ł ódź Technical U niversity, n788, v o l.l, p.l 19.

5. Traw iński T.: V ector control o f squirrel cage m otor w ith m ff space harm onics - modelling in M atlab, 34th International Sym posium on Electrical M achines SM E'98, Ł ódź - Poland, Scientific B ulletin o f Ł ódź Technical U niversity, n788, v o l.l, p .183.

6. K luszczyński K., K afka E.: Procedura przyspieszająca obliczenia num eryczne stanów nieustalonych m aszyny asynchronicznej, VII Sym pozjum Podstaw ow e Problemy Energoelektroniki i Elektrom echaniki P PE E ’97, s.456, 1997.

7. T raw iński T.: W pływ pasożytniczych m om entów synchronicznych na dynam iczne w łasności m aszyny indukcyjnej. V III Sym pozjum Podstaw ow e Problemy E nergoelektroniki i Elektrom echaniki PPEE 99, str.213, W isła 1999.

Recenzent: D r hab. inż. M arian Łukaniszyn Prof. Politechniki Opolskiej

W płynęło do R edakcji dnia 10 kw ietnia 2000r.

A bstract

In analysis o f properties o f an induction m achines m any sim plifying assum ptions related to a m athem atical m odel o f an induction m achine are m ade. U sually, only the fundam ental space harm onic o f the m agnetic field in the air-gap is taken into account. Such phenom ena like torque ripples, differences in starting tim e, vibration o f the m otor corpus and electrom agnetic noise are connected w ith M M F space harm onics and cannot be investigated basing on the classical m onoharm onic model. M M F space harm onics results in parasitic torques having asynchronous, synchronous or pulsating nature. O nly so-called poliharm onic m odel o f an induction m achine allows account to take into a very im portant phenom enon:

generation o f parasitic electrom agnetic torques w hich arise in the induction m otor and influence its steady state and dynam ic properties as well as a w hole drive. U sually analysis o f poliharm onic m odel o f an induction m achine is m ade w ith reduced num ber o f space harm onics, up to 200. Such m odels w ith high num ber o f M M F space harm onics are really com plicated and difficult to analyse. H igh num ber o f M M F space harm onics can result in accidental m istakes. T hat is w hy it is im portant to have the possibilities to reduce the number o f M M F space harm onics taken into account in the m athem atical poliharm onic m odel o f an induction m achine guide to shorten the com puter calculation. In this paper the com parison o f the tw o techniques for solving the reduced poliharm onic m odels o f an induction m achine with different num bers o f M M F space harm onics is presented. The first m ethod em ploys symbolic calculations for finding the inverted form o f an inductance hyperm atrix. The other one m ethod uses classical num erical m ethod for finding the inverted form o f an inductance hyperm atrix. The com puter sim ulations are carried out w ith the help o f M A TLAB / SIM U LINK .