Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften. Jg. 19, No. 1

J ah rgan g X IX . 1913. No. 1.

^ Unterrichtsblätter

für

Mathematik und Naturwissenschaften.

Organ des Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts.

B e g rü n d e t u n te r M itw irk u n g von

B ernhard S ch w alb e

und

F ried rich P ietzk er,

von diesem geleitet bis 1909, zurzeit herausgegeben von P rof. D r. A . T h a e r ,

D ir ek to r der O borrealsck u le v o r dem H o lsten to re in H am b urg.

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W . 5 7 .

Redakt i on: A lle fü r d ie R ed a k tio n b estim m ten M itteilu n g en und S en d u n g en w erd en nu r an d ie Adresse des D ir. T h a e r , H am b u rg 36, erb eten .

V e r e i n : A n m eld u n g en und B eitr a g sz a h lu n g e n fü r den V erein ' (6 Mk. J a h resb eitra g ) sind an den S ch a tzm eister, Professor

P r o s l e r in H an n over, K ön igsw orth erstraß e 47, zu richten .

N achdruck der e in z e ln e n A rtik el ist, w enn überhaupt n ic h t besonders ausgenom m en, nur m it g e n a u e r A n g a b e der Q uelle und m it der V erp flich tu n g der E in sen d u n g e in e s B eleg ex em p la rs an den V erla g g e sta tte t.

I n h a lt: Vereins-Angelegenheiten (S. 1). — Neue Versuche zur Elektrolyse. Von Prof. E. G r i m s e h l in Hamburg (S. 2). — Diophantische Gleichungen zweiten Grades. Von Oberlehrer W. K l u g e in Lissa i. P. (S. 9). — Kleinere Mitteilungen [Bemerkungen über einen geometrischen Satz. Von Prof.

Dr. A. G u t z m e r in Halle a. S. (S. 11). — Z u m euklidischen Beweis des pythagoreischen Lehrsatzes.

Von Dr. Bl. L i n n i c h in Kiel (S. 11)]. — Vereine und Versammlungen [Deutsche I B I U K (S. 12).

— Tagung des D A BI N U (S. 13)]. — Bücherbesprechungen (S. 13). — Zur Besprechung eingetroffene Bücher (S. 20). — Anzeigen.

V er eins-Angelegenheiten.

Die XXII. Hauptversammlung des Vereins zur Förderung des mathematisilien und natnlssensdialtl. Dnteults

findet u n te r g leichzeitiger T agung des

B a y erisch en M a th em a tik erv erein s

und des

B aye­

risch en F a ch v erein s der L eh rer für N a tu r w issen sch a ften

in der P fingstw oche vom 12. bis 15. Blai in

M ü n c h e n

s ta tt. D ie H erren V ereinsm itglieder m it ihren Damen w erden zu re c h t zahlreichem Besuch dieser V ersam m lung eingeladen, ü b er deren V orb ereitu n g die fol­

genden B litteiluugen eine vorläufige U ebersicht bieten.

E h r e n a u s s c h u ß .

Seine Exzellenz K ultusm inister Dr. v o n K n i l l i n g ; Exzellenz S ta a ts ra t v o n S t e i n e r ; R egierungspräsident Exzellenz v o n H a i d e r ; B linisterialrat D r. v o n P r e g e r ; O berbürgerm eister G eheim rat D r. v o n B o r s c h t ; O b erstu d ien rat S c h u lrat Dr. G. K e r s c h e n s t e i n e r ; Blagnifizenz Geh. J u s tiz ra t Prof. D r. G a r e i s , z. Z. R e k to r der U n iv ersität Blünchen; Blagnifizenz Geh. H ofrat P rof. D r. G ü n t h e r , z. Z. R e k to r der T echnischen H ochschule Blünchen; Exzellenz G eheiinrat P rof. Dr. v o n B a e y e r ; G eheim rat Prof. Dr. v o n D y c k ; R eich srat Dr. 0 . v o n B l i l l e r .

O r t s a u s s c h u ß . E h ren v o rsitzen d er: G eheim rat P rof. D r. v o n D y c k .

Dr. H. A l t , H au p tleh rer an der städtischen F ortbildungsschule an der P ra n c k h s tra ß e ; S tu d ie n ra t B a u e r , R e k to r der B faria-Theresia-Schule; O b erstu d ien rat D i e t s c h , R e k to r des R ealgym nasium s; O berstudienrat und M itglied des O bersten S chulrats D u c r u e , K o n re k to r des Theresien - G ym nasium s; O b erregierungsrat Dr. E n d , P a c h re fe ren t im K u ltu sm in iste riu m ; Dr.

F ö r d e r r e u t h e r , R ek to r d er R u p p rech ts-R ealsch u le; G eh. H o fra t Dr. v o n G ö b e l , P rofessor der U n iv ersität; Geh. H o frat D r. v o n H e r t w i g , P ro fesso r d er U n iv e rsitä t; O b erstu d ien rat K r a l l i n g e r , R ek to r der O berrealschule; S tu d ien rat K u e n , P ro fesso r der O berrealschule; Dr.

R o t h p l e t z , P rofessor der U n iv ersitä t; D r. K. T. F i s c h e r , a. o. Professor der T echnischen H ochschule als V e rtrete r des Bayerischen B lathem atikervereins im H au p tv erein ; P ro f. Dr. W ü h r e r der O berrealschule, V orstand des Bayerischen R ealschulm ännervereins; P ro f. D r. W e i ß e n b e r g e r des Luitpold-G ym nasium s, V orstand des B ayerischen G ym nasiallehrervereins; die V orstandschaft des B ayerischen B lathem atikervereins:

P rofessor der Technischen H ochschule D r. K. D ö h l e m a n n , 1. V orsitzender;

Professor des L uitpold-G ym nasium s J . Z a m e t z e r , 2. V o rsitzen d er;

Verl ag: Der B e z u g s p r e i s für den J a h r g a n g von 8 Numm ern is t 4 Mk. pränum ., für ein zeln e Numm ern 6 0 P f . D ie V erein s­

m ilg lie d e r erh alten die Z eitsc h r ift k o ste n lo s; früh ere J a h r ­ g ä n g e sind durch den V erlag bez. e in e B u c h h d lg . zu b e z ie h e n . A n z e i g e n kosten 25 P f. für d ie 3-gesp. N o n p a r .-Z e ile ; bei A u fgab e h a lb er o d . g a n zer S eite n , so w ie bei W iederh olun gen E rm ä ß ig u n g . — B eila g eg eb ü h ren nach U eb erein k u n ft.

S . 2 . U n t e r r i c h t s b l ä t t e r . J a h r g . X I X . N o . 1 .

R ealleh re r d er G isela-R ealschule Dr. S p e y e r e r , S c h riftfü h rer;

G ym nasiallehrer des W ittelsbacher-G ym n. R a u s c h m a y e r , S ch atzm eister;

R e k to r d er stä d tisc h en H andelsschule F r ü h w a l d , B e isitzer;

O b erstu d ien rat D r. S c h u m a n n , R e k to r d er O berrealschule W ü rzburg, V orsitzender der O rtsg ru p p e W ü rz b u rg ; P ro f. D r. H ans H e ß des R ealgym nasium s N ürnberg, V orsitzender der O rtsgruppe N ü rn b e rg ; R e k to r Dr. Z w a n z i g e r d er R ealschule F ü rth , V orsitzender des Fachvereins baye­

rischer L e h re r d er N aturw issenschaften.

D ie B ildung eines besonderen D am enausschusses is t in A ussicht genommen.

F ü r die T agung w erden die Räum e d er T echnischen H ochschule zur V erfügung g e ste llt w erden.

An die T ag u n g schließen sich w ie in den letzten Ja h re n so auch heuer F o rtb ild u n g sk u rse an, fü r w elche ein reich h altig es P rogram m v o rb e re ite t w ird.

N eben anderen sind B esichtigungen des D eutschen Museums und staatlich er und städ tisc h er M useen und S chuleinrichtungen (Schülerübungen an M ünchener Volks-, F o rtb ild u n g s- und höheren Schulen) in A ussicht g en o m m en ; zu den Sam m lungen und Museen w ird g rö ß te n te ils freier E in ­ t r i t t g ew äh rt.

V o rträg e sind vorläufig von folgenden H erren zugesagt:

O b erstu d ien rat S ch u lrat D r. G. K e r s c h e n s t e i n e r , „D er E rz ie h u n g sw e rt der N atu rw issen ­ schaften und ihre S tellu n g in der S c h u lo rg an isatio n “ .

G eheim rat Prof. Dr. v o n D y c k , „U nterrichtszw ecke des D eutschen M useum s“ . P ro f. Dr. C). v o n L i n d e , „U eber die E n tw ick elu n g des K ältew esen s“ .

P ro f. Dr. S o m m e r f e l d , „U nsere g eg en w ärtig e A nschauung üb er die R ö n tg e n stra h lu n g “.

P rof. D r. D ö h l e m a n n , „D er B ild u n g sw ert d er reinen M ath em atik “.

P rof. B e c k - L e ip z ig , „A rt und U m fang des physikalischen U n te rric h ts“.

P rof. Dr. K. T. F i s c h e r , „U eber den S tand d er E rforschung tie fste r T em p era tu ren “ und „U eber physikalische U n te rric h tsm itte l“ .

P rof. D r. E. L ö f f l e r - Schw ab. H all, „D ie neuen w ü rttem b erg isch en L ehrpläne für die höheren K nab en sch u len “.

D r. L ö t z b e y e r - B erlin, „D ie B erü ck sich tig u n g d er politischen A rith m etik im m athem atischen U n te rric h t und ih re B ed eu tu n g fü r die sta a tsb ü rg erlich e B ildung und E rz ie h u n g “ .

Prof. Dr. H. H e ß - N ü r n b e r g , „U eber P o rtb ild u n g ssem ester fü r O b erleh rer“ .

Zur Vorbereitung des Referates des Herrn H e ß hat der Bayerische Mathematikerverein Fragebogen folgenden Inhalts versandt:

Ist es erstrebenswert, den Lehrern der höheren Schulen neben den seither üblichen Ferienkursen eine erweiterte Gelegenheit zur wissenschaftlichen Fortbildung zu verschaffen in der Weise, daß:

a) etwa alle 3 Jahre an einer deutschen Hochschule ein das ganze Wintersemester dauernder Kurs abgehalten wird, in welchem Hochschulprofessoren einen Ueberblick über die Entwickelung ein­

zelner Zweige der Mathematik und der Physik in den letzten Jahrzehnten geben,

h) diejenigen Lehrer der höheren Schulen, welche seit mindestens 15 Jahren die Hochschulstudien beendet und entsprechendes Interesse haben, mit ausreichenden Stipendien versehen, zum Besuche dieser Kurse beurlaubt und im Schuldienst durch Hilfslehrer vertreten werden?

Es ist höchst erwünscht, daß sich zu dieser Umfrage auch die übrigen Vereinsmitglieder äußern und zu diesem Zweck ist diesem Heft eine an Herrn Prof. H e ß , Nürnberg, Tuchergartenstraße 15 adressierte Postkarte beigelegt, u m deren Benutzung gebeten wird.

Anmeldung zu weiteren Vorträgen für die Münchener Versammlung bittet man an Herrn Prof. Dr.

K. T. Fischer, München, Technische Hochschule, physikalisches Institut, oder an den Unterzeichneten zu richten.

D r. A. T h a e r z. Z. Vorsitzender.

N eu e V ersu ch e zu r E le k tr o ly se.

Von Prof. E. G r i m s e h l (Hamburg) vorgetragen auf der XXI. Hauptversammlung in

Halle a. S.

1. D a r s t e l l u n g v o n m e t a l l i s c h e m N a t r i u m a u s g e s c h m o l z e n e m N a t r i u m h y d r o x y d .

D ie E lek tro ly se des geschm olzenen N atriu m ­ hydroxyds g esch ieh t in einem eigens k o n stru ­ ie rte n Ofen, von dem F ig . 1 eine p hotographische

A nsicht, F ig . 2 einen schem atischen D u rch sch n itt zeigt. D er H au p tte il des A pp arates b e ste h t aus einem schm iedeeisernen zylindrischen G efäße G, in dessen Boden ein schm iedeeisernes R o h r R durch V erschraubung ein g esetzt is t. E inige Z entim eter u n terh alb des Bodens des G efäßes G ist d er ringförm ige B unsenbrenner B angebracht.

D urch das u n te re A n satzro h r fü h rt die aus einem E isen stab bestehende E lek tro d e. E , die in dem u n teren E nde durch einen Z em entpfropfen G

1 9 1 3 . N o . 1. Ne u e Ve r s u c h e z u r El e k t r o l y s e. S . 3 . fe s tg e k itte t ist. Das Gefäß G is t durch eine

S ch ieferp latte S verschlossen, die einige B oh­

rungen trä g t, durch die einige besondere E in ­ sätze hineingesetzt w erden. D urch die eine B ohrung fü h rt ein N ick eld rah t N , der im In n ern

r -

Eig. 1. Fig. 2.

des G efäßes G ringförm ig um gebogen is t und an dem äußeren E nde eine Klemme zur Zu­

le itu n g des Strom es trä g t. In der M itte des Deckels ist eine g rö ß e re B ohrung angebracht, in w elche ein oben und unten offenes R ohr ein g esetzt w ird, das durch einen D eckel D ver­

schlossen w erden kann. In einer d ritte n B oh­

ru n g sitz t das unten geschlossene Eisenrohr T, das m it m etallischem Blei zum T eil angefüllt is t und in d er ein M essingstab, der oben zu einem H aken um gebogen ist, hineingesetzt w ird.

F ü r die A usführung d er E lektrolyse w ird das Gefäß G m it Stangen aus N atrium hydroxyd gefüllt, die durch den R ingbrenner B zum Schmelzen g e b ra c h t w erden. D as geschm olzene N atrium hydroxyd sin k t zum T eil in die R öhre, e rs ta rrt hier zum Teil und sch ließ t auf diese W eise das R o h r durch einen festen N atriu m ­ hydroxydpfropfen P lu ftd ich t ab. Man fü llt solange S tangen von. N atrium hydroxyd nach, bis das G efäß bis zu etw a zw eid rittel H öhe m it dem flüssig gew ordenen N atrium hydroxyd gefü llt ist. D ann sch ließ t man den D eckel m it den E insätzen und erw ärm t andauernd m it der Flam m e etw a zwei Stunden lang, um die letzte S pur von etw a vorhandenem freien W asser aus dem geschm olzenen N atrium hydroxyd zu e n t­

fernen. In dem D eckel befindet sich noch eine, n ich t in der F ig u r gezeichnete kleine Oeffnung, die durch einen eingesetzten E isenpfropfen lose verschlossen is t; w ährend der V erdam pfungs­

periode des freien W assers b le ib t diese Oeffnung offen, dam it der austrete n d e W asserdam pf aus­

tre te n kann. N ach etw a zw ei Stunden is t die letzte S pur des etw a noch vorhandenen freien W assers verschw unden. Das unten geschlos­

sene E isen ro h r T, das m it Blei g e fü llt ist, d ien t zu r rohen T em peraturm essung. Die E lektrolyse g esch ieh t am besten bei einer um 4 0 0 ° C liegenden T e m p eratu r; das is t die T e m p e ra tu r, bei der das Blei schm ilzt. Solange das Blei noch fest ist, lä ß t sich der in dem R ohr befindliche M essingstab n ich t bew egen ; sobald das Blei flüssig w ird, kann man das M essing­

ro h r auf- und abbew egen. Man kann auf diese W eise m it hinreichender G enauigkeit gerade die T em p eratu r bestim m en, die zur E lek tro ly se am g ü n stig sten ist. Man sc h a lte t nun den S trom von 110 V olt an den m it plus und minus bezeichneten Klemmen ein, und zw ar re g e lt man m ittels eines vorgeschalteten W iderstandes die S tro m stä rk e au f etw a 5 bis 8 A m père.

Zu A nfang der E lektrolyse lä ß t man den D eckel D fort, so daß man in das Innere des R ohres H sehen kann. Es ist unver­

m eidlich, daß hierbei Teile des flüssigen H ydroxyds fo rtsp ritzen . Um aber unge­

fä h rd e t das In n ere des R ohres beob­

achten zu können, ist an einer m it dem S tativ des A pp arates verbundenen S tange ein Spiegel u n te r 4 5 ° angebracht, w ie F ig. 1 zeigt, durch den man von oben in das R ohr hineinsehen kann. Man kann in m ehreren M etern E n tfe r­

nung von dem A p p a ra t fo rt bleiben und den F o rtg an g des Prozesses beobachten. N achdem der Strom einige M inuten hindurchgegangen ist, b eo b ach tet man durch den Spiegel ein A uf­

tre te n von kleinen gelben P ü n k tch en ; das ist ein Zeichen dafür, daß sich m etallisches N atrium abgeschieden hat. Das m etallische N atrium scheidet sich an der E lek tro d e E ab und ste ig t dann in die H öhe bis zur Oberfläche des g e ­ schm olzenen N atrium hydroxyds; h ier kom m t es m it d er L u ft in B erü h ru n g und v e rb re n n t; da­

her rü h ren die kleinen gelbleuchtenden Fünkchen.

N achdem diese F ü nkchen au fg etreten sind, se tz t man den eisernen Deckel D auf das m ittlere R ohr auf, und kann nun etw a eine halbe Stunde lang die E lek tro ly se ru h ig verlaufen lassen, w ährend m an gleichzeitig im m er die S tro m ­ stä rk e au f 5 bis 8 Ampère reg elt. Nach A b­

la u f von einer halben S tunde is t der P rozeß so w e it v o rg esch ritten , daß man eine größere Menge von m etallischem N atriu m aus dem m ittleren R o h r herausheben kann. Das g e­

sch ieh t in seh r einfacher W eise m it einem k lei­

nen eisernen Löffel m it einem langen eisernen S tiel, m it dem m an d ire k t das m etallische flüssige N atrium herausschöpfen kann. Es w ird

ÜNiEßklCHTSBLÄi'TEk; J a h r g . X I X . N o . i .

am besten in ein daneben g estellte s G efäß m it flüssigem Paraffinöl g e sc h ü tte t und sam m elt sich dann am Boden des G efäßes. Man kann nun en tw ed er die so vorhandenen T ropfen oder K ü­

gelchen von m etallischem N atrium d ire k t zur D em onstration verw enden oder in einem P ro b ier­

glas, das m it P araffinöl zum Teil g efü llt ist, zusam m enschm elzen. So e rh ä lt man nach V er­

lauf einer halben S tunde ein N atrium kügelchen von E rb sen g rö ß e, vollständig hinreichend zur D em onstration und A usführung d er b ek annten Versuche üb er den N achw eis des N atrium s.

D er V ortragende fü h rte die E lek tro ly se durch und dem onstrierte am Schlüsse seines V ortrages die erh alten en N atrium kügelchen. D er ganze V ersuch v erläu ft vollständig gefahrlos. Zu A nfang des V ersuches tre te n w ohl kleine E x p lo ­ sionen auf, diese sind ab er v o llständig u n g efäh r­

lich, da das dickw andige eiserne G efäß jegliche G efahr ausschließt. A ußerdem w ürden, wenn einm al durch ein Vei-sehen sta rk e Explosionen e in tre te n w ürden, d er D eckel D und d er vorhin erw ähnte k leine E isenpfropfen als V entil dienen.

So is t auch h ier eine G efährdung des E xperi­

m entators ausgeschlossen.

2. H i l f s a p p a r a t z u r A u s f ü h r u n g e l e k t r o l y t i s c h e r V e r s u c h e .

Bei der E lek tro ly se können die E lek tro d en im m er schw er m it den Z u leitu n g sd räh ten v er­

bunden w erden, und die dünnen P la tin d rä h te brechen leic h t ab. A ußerdem reiß en die schw ereren Z u leitu n g sd räh te le ic h t das elek tro ­

lytische G efäß um ; fern er können die E le k ­ troden oft schw er an die Stelle des E lek tro ly ten g eb rach t w erden, wo man sie gern haben will.

Bei dem in Fig. 3 abgebildeten A p p a ra t sind

Fig. 3.

diese U ebelstände in p assen d er W eise verm ieden.

D er A pparat b e s te h t aus einem etw a 30 cm langen und 10 cm breiten G ru n d b rett, au f dessen äußeren E nden zw ei M essingstangen b efestig t sind, die am unteren E nde zw ei K lem m schrauben tra g e n ; die eine d er beiden K lem m schrauben

w d ien t zu r Z u leitu n g des elektrischen Strom es, die andere zur etw aigen E in sch altu n g eines V olt­

m eters. Auf jed e der beiden v ertik alen S tangen is t verschiebbar eine K lem m hülse m it einer h o ri­

zontalen B ohrung angebracht, in die ein M essing­

stab eingeschoben w ird. D as äu ß ere E nde dieses M essingsstabes tr ä g t eine zylindrischeK lem m hülse, in die E lek tro d en passender Form bequem einge­

se tz t w erden können. E ine dieser E lek tro d en is t in F ig. 4 abg eb ild et. Sie b e s te h t aus einer Mes­

singhülse H , die am oberen E nde dünner _ A a b g ed reh t ist, so daß sie m it ihrem A n- | :|

satzstü ck e A in die zylindrischen E n d ­ stü ck e des S tativ s p a ß t. In die H ülse H is t ein G lasrohr e in g ek ittet, durch dessen B ohrung die Z u leitu n g zur eigentlichen E le k tro d e fü h rt. Die E lek tro d e, in F ig . 4 ein P latin b le ch E , sitz t an einem P la tin d ra h t, der durch H a rtlo t an der Stelle L m it einem K u p ferd rah t K sicher und leiten d verbunden ist. D er K upfer­

d ra h t K fü h rt durch die B ohrung der H ülse 11 und des A nsatzstückes A und w ird im oberen E n d e durch einen Trop- fen L ötzinn m it d er H ülse m etallisch

verbunden. D er P la tin d ra h t is t an dem u n teren Ende des G lasrohres eingeschm olzen. In F ig. 3 sind in die zylindrischen E n d stü ck e des A ppa­

ra te s E lek tro d en eingesetzt, die an ihren E nden horizontale P la tin d rä h te trag en . F ü r die ver­

schiedenen V ersuche w erden verschiedene Form en der E lek tro d en an g ew an d t; diese lassen sich, w ie aus der F ig u r ersichtlich, au ß ero rd en tlich leicht ausw echseln, und durch V erschiebung der K lem m ­ stü ck e an den S tangen in b elieb ig er H öhe und in beliebigem A b stan d voneinander in den E lek ­ tro ly ten einsetzen.

D er in Fig. 3 d a rg estellte V ersuch z e ig t die K onzentrationsänderungen, die durch die E lek ­ trolyse von Z inkchlorid entstehen. Das zur P ro je k tio n geeignete p lan p arallele G efäß w ird m it k o n z e n trie rter Z inkchloridlösung gefüllt.

Zu B eginn des V ersuches w ird die linke E lek ­ tro d e m it dem negativen Pol, die rech te E lek ­ tro d e m it dem positiven P o l einer Strom quelle verbunden. D adurch scheidet sich links m etalli­

sches Z ink ab, w äh ren d re ch ts Chlor an der E le k tro d e au fsteig t. N achdem nun die A b­

scheidung des Z inks ungefähr zwei M inuten lang g e d a u e rt h at, w ird d er Strom u n terb ro ch en und dann im en tg eg en g esetzten Sinne eingeschaltet, so d aß die lin k e E le k tro d e zur Anode und die rech te zur K athode w ird. D ann b eo b ach tet m an das durch die F ig u r d a rg e ste llte Phänom en.

D urch die A uflösung des Z inks an d er Anode findet h ier eine K onzentrationszunahm e der Z inkchloridlösung s ta tt, und diese k o n zen trierte L ösu n g sin k t nach unten. D urch die A bschei­

dung des Z inks au f d er linken Seite, an der K athode, findet eine K onzentrationsabnahm e

1 9 1 3 . N o . 1. Ne u e Ve r s u c h e z u r El e k t r o l y s e. S . 5.

n

sta tt, und die leich ter gew ordene Z inkchlorid­

lösung ste ig t in die Höhe.

D ie p hotographische A ufnahm e von F ig. 3 ist nach der T ö p l e r s e h e n Schlierenm ethode au sg efü h rt; jedoch zeig t sich auch bei der g e­

w öhnlichen P ro jek tio n die K o n zen tratio n sän d e­

ru n g in den entstehenden Schlieren in genügend deu tlich er W eise.

3. B i l d u n g v o n N a t r i u m a m a l g a m . Ein planparalleles G efäß w ird m it konzen­

trie rte r K ochsalzlösung gefüllt. Als Anode d ien t eine E lek tro d e von der in Fig. 4 gezeichneten A rt, d. h. also eine einfache P latin b lech -E lek ­ trode. Als K athode d ien t eine E lek tro d e von der in F ig. 5 gezeichneten A rt. Bei dieser E le k tro d e ist das G lasrohr nach oben um gebogen und kelchförm ig e rw e ite rt; der P la tin d ra h t fü h rt von unten in das kelchförm ige G efäß, das m it Q uecksilber bis zum oberen R ande g efü llt w ird.

F ü h rt m an die E lektrolyse vor dem P ro je k tio n sa p p a ra t aus, so b eo b ach tet auch ein g rö ß erer Z u sc h a u e rk reis, wie sich das Q uecksilber an der oberen Fläche m it einer m a tte n S chicht bed eck t, die allm ählich im m er m ehr her- _ ausquillt, zum T eil überfließt und sich auf dem Boden des Gefässes ansam m elt. Nach A blauf von f ünf bis zehn M inuten is t der V ersuch sow eit beendet, daß man das an d er K athode abgeschiedene und im Q ueck­

silb er aufgelöste N atrium d ire k t nachw eisen kann.

Man nim m t nun die m it N atrium am algam gefüllte E le k tro d e heraus und e n tle e rt sie in ein K elch­

glas, das m it W asser g efü llt is t, dem man einige T ropfen P henophtaleinlösung zugefügt hat. Man b eo b a ch te t nun gleichzeitig eine W asserstoffentw icklung und eine R o tfärb u n g des P h en o p h talein s, also die B ildung von N atrium ­ hydroxyd.

4. A b h ä n g i g k e i t d e r L e i t f ä h i g k e i t d e s W a s s e r s v o n s e i n e m I o n e n g e h a l t .

Man v e rsieh t die H ülsen des elektrolytischen H ilfsapparates m it zw ei E lek tro d en b eliebiger Form und ta u c h t sie in ein planparalleles Ge­

fäß, das m it destilliertem W asser g efü llt ist.

Man v erb in d et die beiden E lektroden m it den P olen der S ta rk stro m le itu n g von 110 V olt und sc h a lte t gleich zeitig in die S trom zuleitung eine G lühlam pe ein, die bei 110 V olt norm al brennt.

Beim E in sch alten des Strom es leu ch tet die G lühlam pe n ich t auf, weil das d estillie rte W asser den Strom n ic h t leitet. L ä ß t m an aber nun zw ischen die beiden E lek tro d e n m ittels eines G lasstabes einen T ropfen k o n z en trierter Schw efel­

säure fallen, der durch etw as Indigolösung blau

g e fä rb t ist, so le u c h te t die Glühlam pe sofort auf, sobald sich der Tropfen zwischen den beiden E lek tro d en befindet. Man b eo b ach tet nun, daß der T ropfen allm ählich zu Boden sinkt. Und in dem M aße, w ie er sich aus dem Zw ischen­

räum e zwischen den beiden E lek tro d en en tfern t, nim m t auch die H ellig k eit der G lühlam pe ab.

W enn m an nun m it einem reinen G lasstabe den E lek tro ly ten u m rührt, so daß die Schw efelsäure w ieder zw ischen die E lek tro d en kom m t, so le u c h te t die G lühlam pe so fo rt aufs neue w ieder auf. J e d e r w eiter hinzugefügte T ropfen von k o n z en trierter Schw efelsäure erhöht die H ellig ­ k e it d er G lühlam pe w eiter. H ierdurch w ird der N achw eis g eführt, daß erst durch die zugeführten Schw efelsäureionen das W asser le itfä h ig g e ­ w orden ist.

5. S e k u n d ä r e E l e k t r o d e n .

N ahe an die Enden eines e tw a 20 cm langen planparellelen G efäßes fü h rt m an zwei E lek ­ troden so ein, wie F ig. 6 zeigt. A ußerdem

b rin g t man in den Raum zwischen die E le k ­ troden zw ei H ilfselektroden auf besonderen Stativen, die ebenfalls m it Klem m schrauben versehen sind. D ie beiden K lem m schrauben d er beiden S tativ e sind durch D räh te m it einem A usschalter verbunden. Solange die beiden H ilfselektroden m itein an d er n ich t in V erbindung stehen, b eo b ach tet man nichts a u ß e r der E lek ­ trolyse, die durch den eingeschalteten Strom an den beiden H au ptelektroden hervorgerufen w ird. In dem A ugenblick aber, wo man durch den A usschalter den Strom schließt, entw ickeln sich auch an den beiden H ilfselektroden G as­

blasen und zwar, wie die U ntersuchung zeigt, an der E lek tro d e, die d er H au p tk a th o d e zuge­

w an d t ist, Sauerstoff und an der E lek tro d e, die d er H au ptanode zugew andt ist, W asserstoff.

D ie E rk läru n g fü r diese E rscheinung lä ß t sich am einfachsten durch folgende A nschauung be­

w erkstelligen. Infolge d er durch die H a u p t­

elektroden hervorgerufenen P otentialdifferenzen w andern die Ionen von der K athode zu r Anode und von d er Anode zu r K athode auf B ahnen, die m ehr oder w eniger gekrüm m t zw ischen den

S . 6 . U n t e r r i c h t s b l ä t t e r . J a h r g . X I X . N o . 1.

beiden E lek tro d en verlaufen. W enn nun die beiden H ilfselektroden leiten d verbunden w er­

den, so findet auch durch den D rah t, der die beiden H ilfselektroden verbindet, ein A usgleich der P oten tiald iffereh z s ta tt. Es fließ t dann ein Strom zwischen den beiden H ilfselektroden durch den verbindenden D rah t. D er Strom kom m t dadurch zustande, daß die Ionen, die von der K athode fortw andern, an die d er K athode zu­

gew andte H ilfselek tro d e k o m m en, h ier ihre L adung abgeben, und da sie als Ionen n ich t m ehr frei bestehen können, d o rt aufsteigen. In derselben W eise w andern die von d er Anode ausgehenden Ionen zu r H ilfskathode, geben hier ihre L adung ab und steigen als G asm olekeln auf. So e rk lä rt sich die E n tste h u n g des W asser­

stoffs an d er d er H au p tan o d e zugew andten H ilfselektrode, und der S auerstoff an d er E le k ­ tro d e , die der H a u p tk a th o d e zu g ek eh rt ist.

Man kann den V ersuch auch einfach so ausführen, daß man in den Raum zw ischen die beiden E lek tro d en einen D rah t h ineinlegt oder m ittels eines G lasstabes festh ä lt, so d aß der Strom teilw eise durch diesen D ra h t fließt. Man b eo b ach tet dann, daß besonders an den E nden leb h afte G asentw icklung stattfin d e t, w äh ren d in der M itte n atu rg em äß keine A usscheidung von irgendw elchen Gasen e in tritt.

F ü h rt m an denselben V ersuch in einer M etallsalzlösung aus, z. B. in einer L ösung von Z inkchlorid, und le g t m an in den Zw ischenraum zw ischen die beiden H au p te lek tro d en einen dünnen Z in k d rah t oder ein langes von einem dünnen Zinkblech ab g esch n itten es Schnitzel, so w ird der D ra h t an dem d er H au p tk ath o d e zu­

g ek eh rte n E nde durch das sich h ier abscheidende C hlor gew isserm aßen aufgefressen, w ährend an dem gegenüberliegenden E nde, also dem E nde, das d er A node zu g e k e h rt ist, sich Z ink aufs neue abscheidet. Es m acht fa st so den E in ­ druck, als w enn der D rah t allm ählich von der einen E lek tro d e zur ändern E lek tro d e h in ü b e r­

w andert, indem er an dem einen E nde auf­

gefressen w ird, an dem anderen von neuem w ied er anw ächst. D iese E rscheinung w ird be­

sonders auffallend, w enn m an die E lek tro ly se in dem w e ite r u n ten beschriebenen A p p a ra t zur H o rizo n talp ro jek tio n vornim m t, und dann nur kleine S tückchen von Z ink zw ischen den E le k ­ troden liegen lä ß t. D iese w andern dann schein­

b ar von der Anode zu r K athode.

6. D i e e l e k t r o l y t i s c h e G e w i n n u n g v o n N a t r i u m h y d r o x y d a u s N a t r i u m c h l o r i d .

D ie folgenden beiden V ersuche und A p p a rate sind d e r elektrolytischen T ech n ik d ire k t nach ­ g eb ild et und fü r D em onstrationszw ecke e n t­

sprechend um gebaut. In dem in F ig . 7 ab­

geb ild eten A p p arat sehen w ir eine gew öhnliche E lem en te n zelle, d. h. ein parallelopipedisches

G lasgefaß, das durch eine poröse Scheidew and in zwei gleiche Teile e in g eteilt ist. Die poröse Scheidew and b e ste h t aus Zem ent, dem bei der H erstellung der Scheidew and in dem G efäße etw as festes K ochsalz beig em en g t w urde. W enn

Fig. 7.

man das G efäß, nachdem die Z em entscheidew and h a rt gew orden ist, m it W asser füllt, so lau g t das W asser das K ochsalz aus und es e n tste h t au f diese W eise eine v o llstän d ig poröse Scheide­

w and. Genau nach dem selben V erfahren w erden poröse Scheidew ände fü r die H erste llu n g des N atrium hydroxyds aus dem C hlornatrium im g ro ß en benutzt. B ei d er H e rstellu n g dieser S cheidew and im G laßgefäß is t n u r eine V or­

sich t notw endig, daß man näm lich, w enigstens an einer Seite, besser an beiden Seiten, zw ischen die S cheidew and und die G lasw andungen einen G um m istreifen le g t; denn bei d er A bbindung des Zem ents dehnt sich dieser aus, und es kann sich leich t ereignen, daß n ach träg lich das Glas­

gefäß g esp ren g t w ird. D ieser kleine Gummi­

streifen, der ein g eleg t w ird, h at den Zw eck, d aß er bei d er A bbindung des Zem ents n ach ­ geben kann, und so das G lasgefäß vor dem Z ersp ren g tw erd en schützt. In die eine der beiden A bteilungen des G lasgefäßes w ird ge­

s ä ttig te L ösung von N atrium chlorid gebracht, in die andere A b teilu n g W asser. N atürlich darf m an kein d estilliertes W asser benutzen, w eil dies den S trom n ic h t le ite t. F ü r die D em onstration am p ra k tisc h ste n is t es, wenn m an das W asser m it etw as Salzsäure a n sä u e rt;

denn dann kann m an nach der E lek tro ly se aus d er alkalischen R eak tio n am allerbesten schließen, daß tatsäch lich N atrium durch die Scheidew and h in d u rch g ew an d ert ist. S ch a lte t man den Strom so ein, daß die E lek tro d e, die in die K ochsalz­

lösung m ündet, Anode w ird, und die andere, die in das W asser ein g etau c h t w ird, zur K athode w ird, so findet eine W an d eru n g d er N atriu m ­ ionen von der Anode zur K ath o d e durch die poröse Scheidew and hindurch s t a t t ; diese N a­

trium ionen w ü rd en sich als m etallisches N atrium an d er E le k tro d e ausscheiden, w enn sich das N atriu m n ich t so fo rt m it dem W asser verbinden

1Ö13. N o . i ; Ne u e Ve r s u c h e z u r El e k t r o l y s e.

w ü r d e ; es e n ts te h t N atrium hydroxyd, w ährend W asserstoff an der K athode au fsteig t. Im A n­

fänge n eu tralisiert das N atrium hydroxyd die zur A nsäuerung dienende S alzsäure; aber nach einiger Z eit is t soviel N atrium hydroxyd e n t­

standen, daß die ursprünglich saure L ösung allm ählich alkalisch w ird. An d er Anode ste ig t C hlor auf oder es bildet sich N atrium hypo­

chlorit, das natü rlich fü r diesen V ersuch keinen w eiteren W e rt hat.

Die zw eite M ethode zu r D arstellu n g von N atrium hydroxyd b eru h t au f der A nw endung eines sogenannten Q uecksilberdiaphragm as. D er Versuch w ird nach Fig. 8 am .einfachsten in

Fig. 8.

einem U -R ohr ausgeführfc, dessen u n tere B iegung m it Q uecksilber ausgefüllt wird, so daß n u r ein ganz g erin g er A bschluß des U -Schenkels s ta tt- iindet. In den einen Schenkel w ird k o n zen trierte Kochsalzlösung, in den ändern Schenkel W asser g egossen, das man w ied er, wie im vorigen V ersuche, m it Salzsäure etw as ansäuert, also leitend m acht, und etw as P henolphtalein hinzu­

fügt. N achdem man die E lek tro d e, die in die K ochsalzlösung eintaucht, zur Anode, und die in das au g esäu erte W asser tauchende E lek tro d e zur K athode gem acht hat, lä ß t man den Strom einige Z eit geschlossen. Man b eo b ach tet dann, daß nach k urzer Z eit die P henolphtaleinlösung, die n atü rlich in der säuern L ösung farblos w ar, besonders in der Nähe der Q uecksilberoberfläche ro t w ird, also eine alkalische R eaktion anzeigt.

D ie beiden E nden der Q uecksilberschicht dienen gew isserm aßen als H ilfselektroden, an deren einem E nde sich N atrium abscheidet. Dieses N atrium verm ischt sich m it dem Q uecksilber zu N atrium am algam , und dieses v erb in d et sich in dem anderen Schenkel m it dem W asser zu N atrium hydroxyd.

7. E l e k t r o l y t i s c h e D a r s t e l l u n g v o n ' B l e i c h l a u g e .

Das in den vorigen beiden Versuchen sich entw ickelnde C hlor is t ein N ebenprodukt, das aufgefangen w erden kann, das aber m eistens hierbei n u r lä stig ist, indem es sekundäre R eak­

tionen hervorruft. Man ric h te t den Versuch m öglichst p ra k tisc h so ein, daß sich das C hlor in der Nähe der O berfläche des E lek tro ly ten en tw ick elt und ihn n ich t längere Z eit d urch­

stre ic h t. L ä ß t man näm lich das C hlor durch das m it N atrium hydroxyd verm ischte Kochsalz h indurchgehen, so v erb in d et es sich h ierm it und b ild e t zum Teil N atriu m h y p o ch lo rit, dessen L ösung als Bleichlauge in den H andel kommt.

W ill man das N atrium hypochlorit oder die B leichlauge d ire k t gew in n en , so m uß man den V ersuch anders verlaufen lassen. F ig. 9 zeigt

Fig. 9.

eine p h otographische A bbildung eines A pparates zur H erstellu n g der B leichlauge. D er A p p arat b e ste h t aus zw ei zylindrischen G lasröhren von etw a 4 cm D urchm esser und 30 cm L änge, die an den beiden E nden v erjü n g t sind und einige seitliche G lasrohransätze trag en . Die beiden m ittleren seitlichen A nsatzstücke befinden sich in gleicher H öhe und w erden durch Gummi­

schläuche verb u n d en ; fern er w erden sie h ier an einem passenden S tativ befestig t. Von den anderen A nsatzrohren dienen die oberen zur A bleitung der sich etw a entw ickelnden Gase und das u n tere zum A bzapfen d er entstehenden F lü ssig k e it. Das rech te zylindrische R ohr is t der eigentliche elek tro ly tisch e A p p arat. Von oben ta u c h t an einem langen, in ein G lasrohr eingeschm olzenen D ra h t ein P latin b lech bis etw a in die M itte des A pparates. Von unten g e h t durch einen G um m ikorken hindurch ein K ohlen­

stift. Das P latin b lech w ird zur K athode und der K o h len stift zu r Anode gem acht. Beide R ohre

S . B. Ü N TR R IlIC H T SB L Ä 'iT Ett. J a h r g . X I X . N o . 1.

w erden bis zu der aus F ig . 9 ersichtlichen H öhe m it k o n zen trierter K ochsalzlösung gefüllt. Das linke R ohr d ien t als K ü h lro h r; es is t ein L i e b i g scher K ühler m it In n e n k ü h lu n g ; durch seine A chse g e h t ein G lasrohr hindurch, das dauernd von einem Strom k alten W assers durch­

strö m t w ird. W enn d er elektrische S trom an die beiden E lek tro d en in dem rech ten R ohr ein g esc h altet ist, so en tw ic k elt sich an der oberen E le k tro d e N atrium , das sich sofort m it dem W asser v erb in d et und N atrium hydroxyd bildet, w ährend der en tsteh en d e W asserstoff durch das A nsatzrohr rech ts oben in die L u ft entw eichen oder zu anderen Z w ecken v erw an d t w erden kann. D as bei d er E lek tro ly se an der Anode en tw ick elte C hlor muß nun aufsteigen, und d u rc h se tz t hierbei die ganze S chicht, die zum Teil aus N atrium chloridlösung, zum T eil aus einer Lö­

sung von N atrium hydroxyd b esteh t. Das Chlor v e rb in d e t sich h ier u n m ittelb ar m it dem N a triu m ­ hydroxyd und b ild et a u f diese W eise N atriu m ­ h ypochlorit. Infolge d er aufsteigenden C hlor­

bläschen, die aber g a r n ic h t bis zum oberen N iveau hinaufgehen, und durch die en tw ickelte Strom w ärm e findet von selb st eine Z irkulation d er F lü ssig k eit s ta tt, so daß die F lü ssig k e it in dem rech ten G efäß dauernd in die H öhe steig t, in dem oberen Q uerrohr nach links fließt, dann im K ü h lro h r nach u n ten z ie h t und durch das u n tere Q uerrohr nach rec h ts w ied er abfließt.

Im linken R o h r w ird die F lü ssig k eit a u f diese W eise dauernd g e k ü h lt, und m an kann den S trom stundenlang einschalten, ohne daß eine schädliche E rw ärm u n g e in tritt. F ü r den U nter­

ric h t g en ü g t es, den V ersuch etw a eine V iertel­

stunde verlaufen zu lassen, dann kann man durch das u n tere R ohr schon soviel B leichlauge ablassen, d aß die E n tfä rb u n g von Indigolösung den Schü­

lern d ire k t sich tb ar gem acht w erden kann.

8. H o r i z o n t a l e A n o r d n u n g e l e k t r o l y t i s c h e r V e r s u c h e

u n d H o r i z o n t a l p r o j e k t i o n .

Fig. 10 zeig t den eigentlich elektrolytischen A pparat. E r b e ste h t aus einem niedrigen Glas-

Fig. ]0.

k ästen von etw a 1 cm H öhe und 10 cm K an ten ­ länge. D ieser G laskasten, der aus Spiegelglas­

p la tte n zu sam m en g ek ittet ist, s te h t au f einem H o lzb rett, das sow eit ausgeschnitten ist, daß d er K asten von unten d u rch sich tig ist. A uf dem H o lzb rett sind zwei K lem m schrauben an­

g eb rach t, die in der aus d er F ig u r ersichtlichen W eise zw ei S tangen m it K lem m schrauben tragen, an die eine D rahtelektrode und eine B lechelek­

tro d e a n g eb rach t sind. D er A p p arat w ird auf den O b jek ttisch eines fü rH o rin zo n talp ro jek tio n e n geeigneten P ro je k tio n sa p p a ra te s g esetzt, den man sich übrigens au ß ero rd en tlich einfach in der durch F ig . 11 d argestellten W eise konstru-

Fig. 11.

ieren kann. W ir sehen hier unten einen u n ter 4 5 ° in ein B unsenstativ eingespannten Spiegel, der m it d er L iliputbogenlam pe b eleu clu et w ird.

D ie von hier ausgehenden L ich tstrah len gehen von unten durch das elek tro ly tisch e G efäß und w erden oben durch ein P ro jek tio n so b jek tiv , das au f dem oberen E nde einen v ersilb erten Spiegel u n te r 4 5 ° trä g t, auf eine in geeignetem A bstande au fgestellte P ro jek tio n sw an d p ro jiziert. Man kann übrigens h ier als P ro jek tio n so b jek tiv irg en d ­ eine beliebige K onvexlinse benutzen, da die bei diesem V ersuche angew andte V ergrößerung nur g erin g zu sein b rau ch t. Besonders hübsch g e s ta lte t sich die elek tro ly tisch e A bscheidung der M etalle aus ihren L ösungen. F ig . 12 zeigt das pho to g rap h isch e B ild einer solchen M etall­

abscheidung, und zw ar ist es m etallisches Zink, das sich aus ein er Z inkchloridlösung abgeschieden h at. H ierbei w ar die B lechelektrode von F ig. 10 ein Zinkblech. D ie au ß ero rd en tlich sta rk e n V erästelungen, m it denen die einzelnen Z in k ­ k ristalle sich aneinander reihen, sind n u r bei

1913. No. 1. Di o p h a n t i s c h e Gl e i c h u n g e n z w e i t e n Gr a d e s. S . 9 .

einer derartig en H o rizontalprojektion schön zu sehen. Man m uß die S ch ich t des Z inkchlorids se h r d ü n n , etw a n u r 1 mm d ic k , nehm en, dam it n ic h t das Zink nach oben w a n d e r t, und au f diese W eise die P ro jek tio n u n sch a rf m acht. Da die P ro jek tio n auf d er horizo n talen

G lasp latte vo r sich g e h t, so fallen die Z in k k ristalle n ic h t von d er E le k tro d e ab, son­

dern bleiben dauernd in ih re r ursprünglichen L age. A ehnliche h ü b ­ sche B ilder zeigen sich auch bei anderen Me­

tallen ; aber gerade beim Zink w erden sie besonders schön.S chal­

te t m an, nachdem der V ersuch in der an g e­

gebenen W eise einige [Zeit stattg efu n d en hat, den Strom um, so daß nun die eintauchende P la tin sp itz e zur A node und das Z inkblech zur K ath o d e w ird, so w ird der Z inkbaum w ieder aufgefressen, die einzelnen Zwrnige ziehen sich w ieder zurück und z u g u te rle tz t in dem M omente, wo die le tz te Spur des Z inks verschw unden ist, t r i t t an der P la tin e le k tro d e eine leb h afte G as­

en tw ick lu n g auf.

B ei dieser horizontalen A nordnung is t auch die schon oben erw ähnte W an d eru n g eines ein­

zelnen M etallstückchens von d er K athode zur Anode seh r schön zu sehen. N achdem ein Bild, der A rt, w ie es in F ig. 12 ab g eb ild et ist, e n t­

stan d en ist, lö st man m it einem G lasstabe das Z ink von d er K athode ab und sch ieb t es zu r A n o d e ; dann le g t m an ein kleines K riställchen oder ein fadenförm iges S tück Z ink in den Raum zwdschen K athode und A node. S ch altet man dann den Strom ein, so w ird das kleine Z in k ­ stü ck ch en an dem einen E nde aufgefressen, w ährend es am anderen E nde w ieder w ächst.

Die schw achen K orrosionen, die in d er Fig. 12 in d er u n m ittelb aren N ähe d er K athode s ta tt­

gefunden haben, sind ebenfalls auf ein derartiges A uffressen, das h ier schon seinen A nfang g e­

nommen h at, zurückzuführen. W enn das Zink bis zur Anode vorgew andert ist, so b eo b ach tet m an ein eigentüm liches Spielen der einzelnen T eile; eine vollständige V erbindung der beiden E lek tro d en findet niem als s ta tt, da das A uf­

fressen und A nw achsen der einzelnen Z ink­

teilchen in der ganzen Schicht zw ischen den E lek tro d en im w echselvollen Spiele stattfin d et.

A n m e r k u n g : D ie beschriebenen A pparate w erden von A. K r ü ß , H am burg, A dolfsbrücke 7 und G e b r . R u h s t r a t , G öttingen, nach meinen A ngaben h e rg e ste llt und in den H andel gebracht.

Diophantische Gleichungen zweiten Grades.

Von Oberlehrer W. K l u g e (Lissa i. P.).

Vortrag auf der XXI. Hauptversammlung.

Meine Herren! W e n n ich im folgenden Ihre Auf­

merksamkeit auf die sogenannte Pellsche Gleichung i2 — D «2 — 1

hinlenken werde, so verfolge ich dabei einen doppelten Zweck. Einmal möchte ich eine einfache bereits von G a u ß (Disqu. aritbm. art. 200) gegebene Formel in unmittelbare Beziehung zu der bekannten Dirichlet- schen Lösung

0,-fto, \ /D = ( T + U f D ) ’1

bringen, gleichzeitig werde ich die entsprechende Formel für die besondere Gleichung

t 2 - D un2 = (— 1)»

aufstellen, um dann an Beispielen auf einige offensicht­

liche e 1 e m en t a r - f un ktion a 1 o Bezi e h u n g e n z w i s c h e n der Zahl D einerseits und den F u n d a ­ m e n t a l w e r t e n T und XI andererseits hinzuweisen.

I. 1). Es seien (i„_,, m„_i) und (t„, «„) zwei im Sinne der Dirichletschen Lösung aufeinanderfolgende Werte der Gleichung

(1) ¿2 _ D „2 = i.

Wir suchen einen W e r t k zu bestimmen, für den (2^{) <„ +} 1 ⁼ 2 k t „ — und u,1 ⁺ 1 ⁼ 2k u„ — n „

ebenfalls ein Wertepaar der Gleichung (1) ist. Dann muß sein

t„2+ 1 — D u, ? +1 — (2 k t„ —1„ _ ,)2 — D (2 k un — «„ ^_, )2 = ¹ oder

4k 2(t„2- D u 2) - 4 k(0, - —D u „ - t- 0,z_i-ö«,2_> =1^,

V ^ ...

1 1

mithin

(3) k tn •t n_ i — D ■ U„ • Hn _ i,

Für den nächstfolgenden Wert (Li + a, «» +2) ist der entsprechende Ausdruck

Oi-f-1'0i G•llit-f-1 *«,i — (2 0 0i'Oi— l) 'Oi G(2 k u n Un—l) ■Wb

= 2 k [t„2—G u„2) — (Ol • 0 ,-1 —G u „ -u „ _ ,)

l' %

= 2k - k = k

d. h. für alle auB unserem Prozeß resultierende Werte­

paare hat der Ausdruck 0 ■ O-i — J? • • «1-1 einen konstanten Wert k .

Die beiden ersten Wertepaare (tt = 1, == 0) und (t2 ⁼ 2 \ «2 ⁼ XI) liefern für k den Wert

(3a) k — ti - t 1 — G«2 •« ( = T-1 — D ■ XJ ■ 0 = T.

Wir erhalten den S atz. S in d T un d XI die F u n d a ­ mentallösungen de r G leichung t2— D u2 = 1, so g ilt der

(4) A lg o rith m u s ( ‘ " + 1 ~ l T , tn ~ tn~ l

Es bleibt nun noch nachzuweisen, daß das Wertepaar (O1⁺1^, H»+i) auch tatsächlich mit dem aus dem Dirich­

letschen Binom (T-j- X I)rG ) n+1 resultierenden Werte­

paar identisch ist.

Aus ( T + U)fTj)n+1 = ( t n+ u nyjD )(T + U]!)) folgt

t„+ i = t n T - \ - u „ U D und u„+1= «„ T - f 0, U.

Nach (4) ist: 0i+i==2 T - t „ — t„-,, u n + l= 2 T u „ —u„_i.

Soll die Identität bestehen, so müssen die Ausdrücke einander gleich sein, d. h.

T - tn — 0 i - l = Un U D F Un ttn-1 Xj ' tn.

Durch Division folgt:

T • U n — V n - i 0i

Fig. 12.

S . 1 0 . ^Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. J a h r g . X I X . N o . 1.

T (t „2 - D u , r ) = t n ■ l n -1 — D W n• «,i-i mithin 1

(3 b) T — t n ■ t n -1 ^{— I)} ■ Mit • M n — 1.

Das ist aber unsere Beziehung (3 und 3 a), mithin ist die Identität erwiesen.

W e n n dieser Algorithmus (4), den bereits G a u ß in seinen Disquis. arithm. art. 200 gegeben hat, in den einschlägigen zahlentheoretischen und arithmetischen Kompendien*) keine Aufnahme gefunden hat, so hat das wohl darin seinen Grund, daß G a u ß unter tn und

u„ die Symbole

tn

=

l ( T

+

U f D ) H

+ i

( T - U f D ) n

Hn = . (T + u fi»)" - - 4 = ( r - u vd)h

2 J'D 2 1 ^

versteht, — Ausdrücke, die in der Dirichletscheu Lösung nicht auftreten,

2). Der hauptsächlichste Grund ist aber wohl darin zu suchen, daß die Formel nicht gilt für die fort­

laufenden Lösungen der besonderen Gleichung

t , ? - D U n 2 = ( - 1)".

Hier möchte ich nun anknüpfen an einen Vortrag, den ich auf der 51. Versammlung deutscher Philologen und Schulmänner in Posen gehalten habe**). Es handelte sich damals u m die Gleichung

(5) x ,? — 2 h x „ tjn - y ,? = (— 1)" •e

und deren

(6) Algorithmus / +

t ! / n + l ----

In den Anwendungen findet sich als erstes Beispiel die Gleichung

f- -

t„2 ^— JD u , r = (— 1)" für D — k 2 + 1, die sich durch die Substitution tn = k u„ -j- v„. über­

führen läßt in:

U„2 — 2 k H„ V„ — V,,2 = { — } ) " ■ ( — 1 ) ,

das ist aber unsere Gleichung (5), mithin besteht der (7) Algorithmus { = J*'M- + *

es folgt unmittelbar

(7 a) t n = 2 k t„ + t„_ j und T — k , U — 1.

In (7) ist uns aber gleichzeitig der Schlüssel für den a l l g e m e i n e n Fall

t„2 — D u „ 2 = { - 1)"

gegeben.

Führen wir nämlich deu in (1— 4) gegebenen Gedankengang für die Gleichung t„2 — D u„2 = (— 1)"

aus, indem wir setzen

tn + i = 2 k t n - \ - t n- i und u „ + \ = 2 k • u„ -)- u „_ i, so erhalten wir wiederum

ti ■ t i - i — D ■ m ■ u t-i = k = T ;

das liefert den S a t z : S in d T un d U die F u n d a m e n la i­

lösungen de r G leichung t,,2 — I ) u„2 = (— 1)", ist also T 2 — D U 2 — — 1,*) so g ilt der

(8⁾ A lg o rith m u s ( t" + 1 f. f

w y \ u„ + l = 2 1'■ un + U „ - i .

3). Dieses Ergebnis wollen wir an einigen Bei­

spielen erläutern und dabei gleichzeitig einen Einblick in den funktionalen Zusammenhang zwischen der Zahl

D einerseits und den Fun damental werten I \ U anderer­

seits zu gewinnen suchen.

Es sei D = ä2+ 1 = 1 0 , yfc= 3, t,,2 - 10m„2= ( - 1)», nach Gleichung (7 und 7a) folgt die W e r t e tabe 11 e :

D u2

f0= I «0 ^{= 0 +} 1

t1 = n T = k z = 3 = jj== 1 — 1

t2 — 19 «2— 9 + 1

(.,= 117 m3 = 37 — 1

G = 721 «4 = 228 + 1

(5 = 4443 «5 = 1405 — 1

( 8 a )

Diese Tabelle bringt uns aber gl e i c h ­ zeitig einen Schritt weiter.

Ist nämlich D = X 2 (ka - { -1) und setzen wir / ■u„ — w„,

so geht die Gleichung

(9) t n 2 — ( k 2 + l ) k 2 U n 2 = ( - l V ‘

über iu die bereits gelöste Form

t,,2 — { I r + 1^{) ■}w,,2 = (— 1^{)» d. h.}

D e r erste W e r t Wi d e r Tabelle ( 8 a ) * * * ) , de r ein Vielfaches von X ist, lie fe rt uns gleichzeitig f ü r die G le i­

chung ( 9 ) die F u n d am entahcerte T — t, U — U ‘, und

z w a r ist f ü r

i gerade T 2 — D U 2 = -f- 1,

i ungerade T 2 — D U 2 = — 1.

Aus der Tabelle (8 a) erhalten wir somit folgende Fundamentallösungen für D = X.2 { k r+ 1): k — 3

( t2 — 4 0 u 2 — + l

1 = 2 Tr w , 6 „

\ U = X f = ~ = 3 1 = t2 = 19

i n4-1--- 2 ^{T t n Ą - t n —}1 --- 6 ^{t n} -p ^{t n}— 1

U n + 1 = 2 T U n U n- 1 = 6 « , -p U n - 1

(10) f t2 — 9 0 u 2 = + l

1 = 3 j IV;IV, 6

3 3 T — U = 19

*) D e ü e k im l, B a c h m a n n , W e b e r u nd W e lls t e in .

**) „ V e r h a n d lu n g e n d er 51. V er s a iu m l. d . P h lg n . S c h u l m .“

T e u b n e r , L e i p z ig , S e it e 135—137.

***) F ü r d ie G le ic h u n g (9) h a b e n w ir in d e r T a b e lle (8a) fü r i<( z u s e t z e n tc(.

(

10

)

| t2— 160u2 = + 1 TT w 4 228 _

1 Us= T — r

I tn2 — 2ÖO Un2 = { - J ) ’1

\ U — F2 = “ = 281

■ 721

T = U = .1143.

UJr, 14U!

5 5

W e n n für _D = 40, 90, 160 nur die Form i2— D u2= - f 1 resultiert, so hat das eben darin seinen Grund, daß ihre Fundamentallösungen aus der Reihe der geraden Indizes («2, i(4) der Tabelle (8a) erwachsen.

I I . Id e n titä te n .

Für D = k 2 -1-1 haben wir nach (7 a) die Funda­

mentalwerte T — lc, 1 7 = 1 erhalten; diese Werte er­

scheinen uns selbstverständlich auf Grund der Identität

T 2 — (k 2 + 1) U 2 = k 2 — (k2 + 1) • 1 = — 1.

Ebenso lassen sich für D = 90 die Fundamental­

werte 2’= 19 ( 7 = 2 (Tab. 10) durch eine Identität finden; es ist nämlich;

D = S 0 — k 2 - \ - k und (2&-pl)2— (&2-pP)• 22= - p 1 d.h.

D = k 2 A z k , T = 2 k ± l , 17=2, wofür wir auch schreiben können:

D = m ■ n (in — n = 1), T = m -p n, U — 2.

Eine -weitere Identität besteht für

m -p »

~2 ’

I ) - ■ n ( m — n = 2), T = U — 1.

*)f„ = l, </o = 0,I, - j \ « 1 = 9 .

1 9 1 b . No. 1. Be m e r k u n g e n ü b e r e i n e n g e o m e t r i s c h e n Sa t z. S . 1 1 .

oder, was dasselbe ist

D = k2± 1 T = k 0 = 1.

Es lassen sich noch weitere Identitäten finden, und

•wir dürfen v e r m u t e n , da ß hier ein allge­

m e i n e s e l ementares Gesetz bestehen wird.

D U T

E

k 2 ± \

i. .. _ Q 1

k III II

/y* /(} //* - /I — Ja o

II k 2± 2 ^{lc k 2 ±} 1

III k 2 ± 3, k = 3 7. 2 7. 6 ^{7.2 ± 1}

a IV •

1) _h2

k = 2/.

+ 4

k — 2 7. + 1

7.

k 2 ± 1

2>2 ± 1

k (Je2 ± 3)

2 2

-

k 2

[ , n

± *

w, m — n = 1 2

2k ± 1

in -f- n

allgemein

"I

V! *

m gerade k = 7. ■

+ m 2 7. . ; » ± i

b in ungerade k= 7. •m 2 7. 2 in 7.- + 1 Auf Grund dieser Identitäten erhalten wir für z.,JB.

Je = 1 5 und k — SO unmittelbar folgende organische Tabelle:

■ 15

D Formel U T

219 Via m = 6 5 5 74

220 ^{VI b m = 5 7. = 3} 6 ⁸⁹

221 IV b 112 ¹⁶⁶⁵

222 ^{III 7. = 5} 10 ¹⁴⁹

223 II 15 224

224 I 1 ¹⁵

226 I 1 15

227 11 15 226

228 III 7.=5 10 ¹⁵¹

229 IV b 113 1710

230 VI b m = 5 7.=3 6 ⁹¹

231 Via m = G 1 = 5 5 76

210 Í 29 |

< *9 TÍ 1 0 = 2*q= 1

240 l l 31 J

k == 80

D Formel U T

894 V i a m = 6l = 10 10= 7. 2 9 9 = 3!2— 1 895 VI b »i = 5 7. = 6 1 2 = 2 1 ^{359 = 101}2- 1 896 IV a 7. = 15 15= 7. 4 4 9 = 27.2-1 897 111 7. = 10 ^{20=27. 5 5 9 =} 6 7.2— 1

898 II 30= * 8 9 9 = *2- l

899 I 1 ^{3 0 =} *

901 I 1 ^{3 0 = *}

902 11 30 = 1 ^{901 = i}2+ 1

903 III 1= 10 2 0 = 2 1 601 = 67.2 + 1 904 IVa 1=15 1 5 = 7. 451 = 27.2 + 1 905 VIb »i=5 1=6 1 2 = 2 1 361 = 1012 + i 906 VI a m= 61= 10 10= 1 301 = 37.2+1

870 (

f

^{59 )}

• V 2 ^{I =}2*=F1

930 1 l ^{61 j}

Ich will schließen, indem ich Ihnen in einer Tabelle einige solcher Identitäten zusammenstelle, Identitäten, durch die in der Tabelle der Lösungen, wie sie L e ­ ge n d r e für den Bereich von 1 bis 1003 gegeben hat, zwischen den Fundamentalwerten einerseits und der Zahl D andererseits ein funktionaler Zusammenhang offensichtlich zutage tritt.

K lein ere M itteilu n gen ,

B e m e r k u n g e n ü b er einen g e o m e tr is c h e n S a tz . Von Prof. Dr. A. G u t z m e r (Halle a. S.)

( A u s z u g a u s e in e m B r i e f e a n d e n H e r a u s g e b e r .)

Gestatten Sie mir, Ihnen die folgenden B e m e r ­ k u n g e n über einen g e o m e t r i s c h e n Satz zu übermitteln. Gemeint ist der Satz, den Herr Ober­

lehrer L i n n i c h auf S. 152 Ihrer „Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften“ mitgeteilt und bewiesen hat.

Diesen Satz habe ich im Jahre 1887 gefunden und damals einigen Freunden mitgeteilt und im Winter­

semester 1887/88 im Blathematischen Verein zu Berlin vorgetragen; auch habe ich ihn wiederholt in meinem Briefwechsel mit Herrn Lerch, jetzt Professor in Brünn, berührt. Später habe ich ihn bei verschiedenen Gelegenheiten auch in den Mathematischen Vereinen zu Halle und Jena teils mit, teils ohne Beweise mit- geteilt.

Der Satz läßt sich so aussprechen: K o n s t r u i e r t m a n über den Seiten eines beliebigen D r e i ­ ecks drei ähnliche gleichschenklige D r e i ­ ecke, u n d z w a r j e d e s m a l „nach a u ß e n “ oder

„nach i n n e n “ v o m G r u n d d r e i e c k aus, u n d verbindet m a n die Spitzen der g l e i c h ­ schenkligen D r e i e c k e mit de n g e g e n ü b e r ­ liegenden E c k e n des G r u n d d r e i e c k s , so g e h e n die drei V e r b i n d u n g s g e r a d e n d u r c h einen Punkt.

Eine andere, meine ursprüngliche Formulierung des Satzes ist diese: Trägt man auf den Mittelsenk­

rechten der Seiten eines beliebigen Dreiecks das 7. fache der betreffenden Seite — entweder stets „nach außen“

oder „nach innen“ — ab, so gehen die Verbindungs­

geraden der Endpunkte mit den gegenüberliegenden Ecken des Grunddreiecks durch einen Punkt.

Bewiesen habe ich den Satz auf drei verschiedene Arten: einmal analytisch in ähnlicher Weise wie Herf Linnich, sodann e l e m e n t a r in folgender Weise (s. Fig. 1).