Domkniętość klas rozkładów czasu życia ze względu na tworzenie systemów szeregowych i równoległych

(1)

Domkniętość klas rozkładów czasu życia ze względu na tworzenie systemów

szeregowych i równoległych

Patryk Miziuła

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

XXXVIII Konferencja

„Statystyka Matematyczna –– Wisła 2012”

3–7 grudnia 2012 r.

(2)

Domkniętość klas rozkładów czasu życia ze względu na tworzenie systemów szeregowych i równoległych 2/31 Plan prezentacji

1 Systemy monotoniczne

2 Klasy rozkładów czasu życia

3 Poszukiwanie interesujących klas

4 Podsumowanie

(3)

Domkniętość klas rozkładów czasu życia ze względu na tworzenie systemów szeregowych i równoległych 3/31 Systemy monotoniczne

Definicja systemu monotonicznego

Definicja

Funkcję ϕ : {0, 1} ⁿ → {0, 1} nazywamy systemem monotonicznym, jeśli:

ϕ(0, . . . , 0) = 0, ϕ(1, . . . , 1) = 1,

ϕ jest niemalejąca po współrzędnych.

(4)

Przykłady systemów monotonicznych

system szeregowy

1 2 3 ϕ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ₁ ∧ x ₂ ∧ x ₃

system równoległy 1 2 3

ϕ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₃

system „2+1”

1 2

3 ϕ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = (x ₁ ∧ x ₂ ) ∨ x ₃

(5)

Przykłady systemów monotonicznych

system szeregowy

1 2 3 ϕ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ₁ ∧ x ₂ ∧ x ₃ system równoległy

1 2 3

ϕ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₃

system „2+1”

1 2

3 ϕ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = (x ₁ ∧ x ₂ ) ∨ x ₃

(6)

Przykłady systemów monotonicznych

system szeregowy

1 2 3 ϕ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ₁ ∧ x ₂ ∧ x ₃ system równoległy

1 2 3

ϕ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₃

system „2+1”

1 2

3 ϕ(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = (x ₁ ∧ x ₂ ) ∨ x ₃

(7)

Przykłady systemów monotonicznych cd.

„mostek”

1 4

3 2 5

system „k spośród n” ϕ(x 1 , . . . , x n ) =

( 1, co najmniej k iksów jest równe 1,

0, w przeciwnym przypadku.

(8)

Przykłady systemów monotonicznych cd.

„mostek”

1 4

3 2 5

system „k spośród n”

ϕ(x 1 , . . . , x n ) =

( 1, co najmniej k iksów jest równe 1,

0, w przeciwnym przypadku.

(9)

Twierdzenie charakteryzacyjne

Twierdzenie

Każdy system monotoniczny można przedstawić (na wiele sposobów) jako równoległe połączenie systemów szeregowych, a także jako szeregowe połączenie systemów równoległych.

Definicja

Jeśli w pewnym takim przedstawieniu elementy systemu

nie powtarzają się, system nazywamy read-once.

(10)

Twierdzenie charakteryzacyjne

Twierdzenie

Każdy system monotoniczny można przedstawić (na wiele sposobów) jako równoległe połączenie systemów szeregowych, a także jako szeregowe połączenie systemów równoległych.

Definicja

Jeśli w pewnym takim przedstawieniu elementy systemu

nie powtarzają się, system nazywamy read-once.

(11)

Twierdzenie charakteryzacyjne dla „mostka”

„mostek”

1 4

2 5

1 3 5

2 3 4

1 2

1 4 3 3

2 5 5 4

(12)

Twierdzenie charakteryzacyjne dla „2 spośród 3”

system „2 spośród 3”

1 2

2 3

3 1

1 2 3

2 3 1

(13)

Losowe czasy działania elementów

Twierdzenie Niech:

i -ty element systemu działa przez losowy czas X _i ∼ F _i , X ₁ , . . . , X _n — niezależne.

Wtedy:

dystrybuanta czasu działania systemu F jest wielomianem od F ₁ , . . . , F _n ,

wielomianem o całkowitych współczynnikach,

wielomianem, w którym F 1 , . . . , F n występują

tylko w pierwszej potędze.

(14)

Losowe czasy działania elementów

Twierdzenie Niech:

i -ty element systemu działa przez losowy czas X _i ∼ F _i , X ₁ , . . . , X _n — niezależne.

Wtedy:

dystrybuanta czasu działania systemu F jest wielomianem od F ₁ , . . . , F _n ,

wielomianem o całkowitych współczynnikach,

wielomianem, w którym F 1 , . . . , F n występują

tylko w pierwszej potędze.

(15)

Losowe czasy działania elementów

Twierdzenie Niech:

i -ty element systemu działa przez losowy czas X _i ∼ F _i , X ₁ , . . . , X _n — niezależne.

Wtedy:

dystrybuanta czasu działania systemu F jest wielomianem od F ₁ , . . . , F _n ,

wielomianem o całkowitych współczynnikach,

wielomianem, w którym F 1 , . . . , F n występują

tylko w pierwszej potędze.

(16)

Losowe czasy działania elementów

Twierdzenie Niech:

i -ty element systemu działa przez losowy czas X _i ∼ F _i , X ₁ , . . . , X _n — niezależne.

Wtedy:

dystrybuanta czasu działania systemu F jest wielomianem od F ₁ , . . . , F _n ,

wielomianem o całkowitych współczynnikach,

wielomianem, w którym F 1 , . . . , F n występują

tylko w pierwszej potędze.

(17)

Losowe czasy działania elementów — przykłady

systemy szeregowy i równoległy

1 2 3 F = 1 − (1 − F 1 ) · . . . · (1 − F n ) 1

2 3

F = F ₁ · . . . · F _n

system „2+1”

1 2

3 F = 1 − (1 − F ₁ ) · (1 − F ₂ ) · F ₃

system „2 spośród 3”

F = F ₁ · F ₂ + F ₂ · F ₃ + F ₃ · F ₁ − 2 · F ₁ · F ₂ · F ₃

(18)

Losowe czasy działania elementów — przykłady

systemy szeregowy i równoległy

1 2 3 F = 1 − (1 − F 1 ) · . . . · (1 − F n ) 1

2 3

F = F ₁ · . . . · F _n

system „2+1”

1 2

3 F = 1 − (1 − F ₁ ) · (1 − F ₂ ) · F ₃

system „2 spośród 3”

F = F ₁ · F ₂ + F ₂ · F ₃ + F ₃ · F ₁ − 2 · F ₁ · F ₂ · F ₃

(19)

Losowe czasy działania elementów — przykłady

systemy szeregowy i równoległy

1 2 3 F = 1 − (1 − F 1 ) · . . . · (1 − F n ) 1

2 3

F = F ₁ · . . . · F _n

system „2+1”

1 2

3 F = 1 − (1 − F ₁ ) · (1 − F ₂ ) · F ₃

system „2 spośród 3”

F = F ₁ · F ₂ + F ₂ · F ₃ + F ₃ · F ₁ − 2 · F ₁ · F ₂ · F ₃

(20)

Domkniętość klas rozkładów czasu życia ze względu na tworzenie systemów szeregowych i równoległych 11/31 Klasy rozkładów czasu życia

Założenia

F — dystrybuanta, F (0) = 0,

R xF (dx ) < +∞,

dodatkowe założenia odnośnie nośnika (dla niektórych klas),

absolutna ciągłość (dla niektórych klas).

(21)

Intensywność awarii

Definicja

Załóżmy, że F jest absolutnie ciągła z gęstością f . Intensywnością awarii nazywamy funkcję

r _F (x ) = f (x ) F (x ) .

Interpretacja

Pr(X < x + dx |X > x ) = Pr(x < X < x + dx ) Pr(X > x ) ≈

≈ f (x )dx

F (x ) = r F (x )dx .

(22)

Intensywność awarii

Definicja

Załóżmy, że F jest absolutnie ciągła z gęstością f . Intensywnością awarii nazywamy funkcję

r _F (x ) = f (x ) F (x ) . Interpretacja

Pr(X < x + dx |X > x ) = Pr(x < X < x + dx ) Pr(X > x ) ≈

≈ f (x )dx

F (x ) = r F (x )dx .

(23)

Przykłady klas rozkładów czasu życia

Definicja

F jest IFR ⇐⇒ r _F jest rosnąca,

F jest BT ⇐⇒ r _F jest malejąco–rosnąca, F jest IFRA ⇐⇒ x 7→ ^R ₀ ^x r F (t)dt/x jest rosnąca, F jest NBUFR ⇐⇒ r _F (x ) r _F (0) dla x 0.

Definicja

F jest DFR ⇐⇒ r _F jest malejąca,

F jest UBT ⇐⇒ r _F jest rosnąco–malejąca,

F jest DFRA ⇐⇒ x 7→ ^R ₀ ^x r _F (t)dt/x jest malejąca,

F jest NWUFR ⇐⇒ r _F (x ) ¬ r _F (0) dla x 0.

(24)

Przykłady klas rozkładów czasu życia

Definicja

F jest IFR ⇐⇒ r _F jest rosnąca,

F jest BT ⇐⇒ r _F jest malejąco–rosnąca, F jest IFRA ⇐⇒ x 7→ ^R ₀ ^x r F (t)dt/x jest rosnąca, F jest NBUFR ⇐⇒ r _F (x ) r _F (0) dla x 0.

Definicja

F jest DFR ⇐⇒ r _F jest malejąca,

F jest UBT ⇐⇒ r _F jest rosnąco–malejąca,

F jest DFRA ⇐⇒ x 7→ ^R ₀ ^x r F (t)dt/x jest malejąca,

F jest NWUFR ⇐⇒ r _F (x ) ¬ r _F (0) dla x 0.

(25)

Rozważane klasy rozkładów czasu życia

ILR DLR L L

IFR DFR NBUFR NWUFR

IFRA DFRA NBUFRA NWUFRA

NBU NWU BT UBT

DMRL IMRL IDMRL DIMRL

NBUC NWUC NWBUE NBWUE

NBUE NWUE DRFR

HNBUE HNWUE

(26)

Zależności między klasami rozkładów czasu życia

ILR

+3 DRFR DLR

IFR

rz

BT

z

UBT

$

DFR

dl $,

IFRA

DFRA

NBU

$,

DMRL

IDMRL

$,

DIMRL

rz

IMRL

NWU

rz

NBUFR

NBUC

NWUC

NWUFR NBUFRA NBUE

NWBUE NBWUE NWUE

NWUFRA HNBUE

HNWUE

L L

(27)

Szczególny rozkład

Fakt

Dla każdej z rozważanych klas (oprócz DRFR) dystrybuanta rozkładu wykładniczego:

M _λ (x ) = 1 − e ^−λx , λ > 0

jest jedyną dystrybuantą, która należy do tej klasy i do jej klasy

dualnej. M _λ jest również DRFR.

(28)

Domkniętość klas rozkładów czasu życia ze względu na tworzenie systemów szeregowych i równoległych 17/31 Poszukiwanie interesujących klas

Cel badań

Chcemy znaleźć klasę domkniętą ze względu na maksima i minima, ale niedomkniętą ze względu na tworzenie systemów monotnicznych.

Taka klasa byłaby domknięta ze względu na tworzenie

systemów read–once, wyróżniałaby te systemy spośród

wszystkich systemów monotonicznych.

(29)

Cel badań

Chcemy znaleźć klasę domkniętą ze względu na maksima i minima, ale niedomkniętą ze względu na tworzenie systemów monotnicznych.

Taka klasa byłaby domknięta ze względu na tworzenie

systemów read–once, wyróżniałaby te systemy spośród

wszystkich systemów monotonicznych.

(30)

Przydatne spostrzeżenia

Fakt

Jeśli dana klasa jest domknięta ze względu na tworzenie systemów monotonicznych, to jest domknięta ze względu na minima

i maksima.

Fakt

Jeśli dana klasa nie jest domknięta ze względu na minima lub

maksima, to nie jest domnkięta ze względu na tworzenie systemów

monotonicznych.

(31)

Tabela własności klas

ILR IFR IFRA NBU DMRL NBUC NBUE HNBUE L NBUFR NBUFRA BT IDMRL NWBUE sys

min max

DLR DFR DFRA NWU IMRL NWUC NWUE HNWUE L NWUFR NWUFRA UBT DIMRL NBWUE DRFR sys

min

max

(32)

Tabela własności klas

ILR IFR IFRA NBU DMRL NBUC NBUE HNBUE L NBUFR NBUFRA BT IDMRL NWBUE

sys T T T T

min

max T T

DLR DFR DFRA NWU IMRL NWUC NWUE HNWUE L NWUFR NWUFRA UBT DIMRL NBWUE DRFR sys

min

max

(33)

Tabela własności klas

ILR IFR IFRA NBU DMRL NBUC NBUE HNBUE L NBUFR NBUFRA BT IDMRL NWBUE

sys T T T T

min T T T T

max T T T T T T

DLR DFR DFRA NWU IMRL NWUC NWUE HNWUE L NWUFR NWUFRA UBT DIMRL NBWUE DRFR sys

min

max

(34)

Tabela własności klas

ILR IFR IFRA NBU DMRL NBUC NBUE HNBUE L NBUFR NBUFRA BT IDMRL NWBUE

sys T T T T

min T T T T T

max T T T T T T

DLR DFR DFRA NWU IMRL NWUC NWUE HNWUE L NWUFR NWUFRA UBT DIMRL NBWUE DRFR sys

min T T T T T T

max T

(35)

Kontrprzykład na domkniętość względem maksimum

Przykład Niech

F 1 = M 1 , F 2 = M 2 .

System równoległy złożony z elementów o dystrybuantach F 1 i F 2

ma dystrybuantę

F = F 1 · F ₂ = 1 − e ^−x − e ^−2x + e ^−3x ,

która jest UBT i DIMRL.

(36)

Tabela własności klas

ILR IFR IFRA NBU DMRL NBUC NBUE HNBUE L NBUFR NBUFRA BT IDMRL NWBUE

sys T T T T

min T T T T T

max T T T T T T

DLR DFR DFRA NWU IMRL NWUC NWUE HNWUE L NWUFR NWUFRA UBT DIMRL NBWUE DRFR sys

min T T T T T T

max T

(37)

Tabela własności klas

ILR IFR IFRA NBU DMRL NBUC NBUE HNBUE L NBUFR NBUFRA BT IDMRL NWBUE

sys T T T T

min T T T T T

max N N T T N T T T T N N N

DLR DFR DFRA NWU IMRL NWUC NWUE HNWUE L NWUFR NWUFRA UBT DIMRL NBWUE DRFR sys

min T T T T T T

max N N N N N N N N N N N N T

(38)

Tabela własności klas

ILR IFR IFRA NBU DMRL NBUC NBUE HNBUE L NBUFR NBUFRA BT IDMRL NWBUE sys N N T T N T T N N N

min T T T T T

max N N T T N T T T T N N N

DLR DFR DFRA NWU IMRL NWUC NWUE HNWUE L NWUFR NWUFRA UBT DIMRL NBWUE DRFR sys N N N N N N N N N N N N

min T T T T T T

max N N N N N N N N N N N N T

(39)

Inny kontrprzykład

F (x ) =



 



 



(2−x )

²

4 , x ∈ [0, 1],

1 4x

²

, x ∈ [1, 2],

1 16 e ^2−x , x ∈ [2, ∞),

G (x ) =



 



 



e ^−x , x ∈ [0, 2],

(4−x )

²

4e

²

, x ∈ [2, 3],

1 4e

²

(x −2)

²

, x ∈ [3, 4],

1 16 e ^2−x , x ∈ [4, ∞).

(40)

Inny kontrprzykład

F (x ) =



 



 



(2−x )

²

4 , x ∈ [0, 1],

1 4x

²

, x ∈ [1, 2],

1 16 e ^2−x , x ∈ [2, ∞),

G (x ) =



 



 



e ^−x , x ∈ [0, 2],

(4−x )

²

4e

²

, x ∈ [2, 3],

1 4e

²

(x −2)

²

, x ∈ [3, 4],

1 16 e ^2−x , x ∈ [4, ∞).

(41)

Inny kontrprzykład

F (x ) =



 



 



(2−x )

²

4 , x ∈ [0, 1],

1 4x

²

, x ∈ [1, 2],

1 16 e ^2−x , x ∈ [2, ∞),

G (x ) =



 



 



e ^−x , x ∈ [0, 2],

(4−x )

²

4e

²

, x ∈ [2, 3],

1 4e

²

(x −2)

²

, x ∈ [3, 4],

1 16 e ^2−x , x ∈ [4, ∞).

(42)

Inny kontrprzykład

F (x ) =



 



 



(2−x )

²

4 , x ∈ [0, 1],

1 4x

²

, x ∈ [1, 2],

1 16 e ^2−x , x ∈ [2, ∞),

G (x ) =



 



 



e ^−x , x ∈ [0, 2],

(4−x )

²

4e

²

, x ∈ [2, 3],

1 4e

²

(x −2)

²

, x ∈ [3, 4],

1 16 e ^2−x , x ∈ [4, ∞).

(43)

Tabela własności klas

ILR IFR IFRA NBU DMRL NBUC NBUE HNBUE L NBUFR NBUFRA BT IDMRL NWBUE sys N N T T N N N N N T T N N N min N T T T N N N N N T T N N N max N N T T N T T N N T T N N N

DLR DFR DFRA NWU IMRL NWUC NWUE HNWUE L NWUFR NWUFRA UBT DIMRL NBWUE DRFR

sys N N N N N N N N N N N N N N N

min T T T T N N N N N T T N N N N

max N N N N N N N N N N N N N N T

(44)

Domkniętość klas rozkładów czasu życia ze względu na tworzenie systemów szeregowych i równoległych 26/31 Podsumowanie

Podsumowanie

Żadna z rozważanych klas nie okazała się być domkniętą ze względu na minima i maksima, ale niedomkniętą ze względu na tworzenie systemów monotonicznych.

Niemniej udało się wypełnić całą tabelkę, która może się komuś przydać.

Z rozpędu powstała też inna tabelka:

(45)

Podsumowanie

Żadna z rozważanych klas nie okazała się być domkniętą ze względu na minima i maksima, ale niedomkniętą ze względu na tworzenie systemów monotonicznych.

Niemniej udało się wypełnić całą tabelkę, która może się komuś przydać.

Z rozpędu powstała też inna tabelka:

(46)

Podsumowanie

Żadna z rozważanych klas nie okazała się być domkniętą ze względu na minima i maksima, ale niedomkniętą ze względu na tworzenie systemów monotonicznych.

Niemniej udało się wypełnić całą tabelkę, która może się komuś przydać.

Z rozpędu powstała też inna tabelka:

(47)

Domknięcia ze względu na sploty i mieszanki

ILR IFR IFRA NBU DMRL NBUC NBUE HNBUE L NBUFR NBUFRA BT IDMRL NWBUE

splot T T T T N T T T T T T N N N

mix N N N N N N N N N N N N N N

DLR DFR DFRA NWU IMRL NWUC NWUE HNWUE L NWUFR NWUFRA UBT DIMRL NBWUE DRFR

splot N N N N N N N N N N N N N N T

mix T T T N T N N T T N T N N N N

(48)

Bibliografia I

A. M. Abouammoh and A. N. Ahmed, The new better than used failure rate class of life distribution, Adv. Appl. Prob. 20 (1988), 237–240.

R. E. Barlow and F. Proschan, Statistical Theory of Reliability and Life Testing: Probability Models, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1975.

M. Brown, Further monotonicity properties for specialized renewal processes, Ann. Probability 9 (1981), 891–895.

A. M. Br¨ uckner and E. Ostrow, Some function classes related to the class of convex functions, Pacific J. Math. 12 (1962), 1203–1215.

J. Cai and Y. Wu, A note on the preservation of the NBUC class

under formation of parallel systems with dissimilar components,

Microelectron. Reliab. 37 (1997), 359–360.

(49)

Bibliografia II

M. Franco, J. M. Ruiz and M. C. Ruiz, On closure of the IFR(2) and NBU(2) classes, J. Appl. Prob. 38 (2001), 235–241.

M. Franco, M. C. Ruiz and J. M. Ruiz, A note on closure of the ILR and DLR classes under formation of coherent systems, Statistical Papers 44 (2003), 279–288.

B. Klefsj¨ o, Some Properties of the HNBUE and HNWUE Classes of Life Distributions, Report 1980-8 (1980), Univ. Ume˚ a.

B. Klefsj¨ o, A useful ageing property based on the Laplace transform, J. Appl. Prob. 20 (1983), 615–626.

B. Kopociński, Zarys teorii odnowy i niezawodności, PWN, Warszawa 1973.

C.-D. Lai and M. Xie, Stochastic Ageing and Dependence for

Reliability, Springer, New York 2006.

(50)

Bibliografia III

W.-Y. Loh, A new generalization of the class of NBU distributions, IEEE Trans. Rel. 33 (1984), 419–422.

A. W. Marshall and I. Olkin, Life Distributions, Springer, New York, 2007.

P. Miziuła, Stochastic orders and ageing classes, Math. Appl. 40 (2012), 105–125.

M. Shaked and J. G. Shantikumar, Stochastic Orders, Springer, New

York, 2007.

(51)

Dziękuję za uwagę!

Domkniętość klas rozkładów czasu życia ze względu na tworzenie systemów szeregowych i równoległych