Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2

Dr. STEFAN BAN ACH

PROFESOR* UNIWERSYTETU J. K.

K S I Ą . Ż N I C A - A T L A S

S. A. ZJEDNOCZ. ZAKŁADY KARTOGR. I WYDAWN. T. N. S. W.

LWÓW — WARSZAWA

K S I Ą Ż N I C A -' AT. L A S s- A-

Lwów, Czarnieckiego 12 — Warszawa, Nowy Świat 59 poleca:

S t . B a n a c h

RACHUNEK RÓŻNICZKOW Y I CAŁKOW Y T. I. — Cena zł 8,—..

K. B a r t e 1 RZUTY CECHOWANE Wydanie II. — Cena zł 12,—.

O. N i k o d y m

DYDAKTYKA MATEMATYKI CZYSTEJ W ZA KRESIE GIM NAZJUM WYŻSZEGO

Część I. Liczby naturalne.

Biblj. Pedagog.-Dydaktyczna. T. III. — Cena zł 16,80.

W. S i e r p i ń s k i WSTĘP DO T EO RJI

FUNKCJI ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ Cena zł 4,80.

W. S i e r p i ń s k i WSTĘP DO T E O R JI LICZB

Cena zł 4,—.

Dr. S T E E A N B A N A C H PROFESOR UNIW. J. K.

RACHUNEK

RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

T O M II

W

K S 1 4 ż N 1 C A - A T L A S

S, A. ZJEDNOCZ. ZAKŁADY KARTOGR. I WYDAW S. T. N. S. W.

LWÓW — WARSZAWA

2273

Zakłady Graficzne Ski Akc. Książnica-Atlas we Lwowie.

D III

C a łk a n ie o k r e ś lo n a . M e t o d y c a łk o w a n ia .

§ 1. F u n k c ja pierw otna. Powiadamy, że funkcja F(x) jest funkcją p i e r w o t n ą funkcji /(.v), w pewnym przedziale (skończonym lub nieskończonym), jeżeli w każ­

dym punkcie tego przedziału:

... U) a x

P r z y k ł a d y :

1. Funkcja y — sin .y jest funkcją pierwotną funkcji y — cos .v w przedziale (— co, gdyż:

d sin x

— :-- = cos x.

d x

2. Funkcja y = ] / 1 — a-2 jest funkcją pierwotną funk- cji y — — - p = = w przedziale (— 1 <C x <C -f- 1), gdyż:X

y i —x'2

— 1 < j r < l .

d x \/l — x2

Funkcję pierwotną nazywamy również c a ł k ą n i e ­ o k r e ś l o n ą i oznaczamy symbolem:

i m dx.

Na mocy (1), jeżeli c oznacza dowolną liczbę, to d [F(jtr) + c] = ^

d x

R o z d z i a ł I.

Zatem F (x) -f- c jest również całką nieokreśloną funkcji f (.y). Możemy więc napisać:

5 f(x) dx — F(x) + c.

Naodwrót, jeżeli przyjmiemy, że funkcje F± (x) i F2 (.v) są całkami nieokreślonemi funkcji f(x) w przedziale (a, b), to

= f (x) _ f (j.).-= o.

Wynika stąd na podstawie twierdzenia, o wartości średniej (T. I str. 161), że

F1 (x) — Fo (x) — constans.

Znając więc jedną funkcję pierwotną, otrzymamy wszystkie inne, dodając do niej dowolną stalą. Powstaje pytanie, jakie funkcje posiadają całkę nieokreśloną. Otóż udowodnimy później, że każda funkcja ciągła posiada całkę nieokreśloną.

Uwaga.

Jeżeli mówimy, że F (x) jest całką nieokreśloną funk­

cji /(.y) i nie podajemy przytem w jakim przedziale, to rozumiemy zazwyczaj, że przedziałem tym jest dowolny przedział, w którym funkcja / (x) jest określona.

§ 2. Zasadnicze wzory. Zamiast pisać j 1 dx pi­

szemy J d.r. Zatem

1. i dx — x -j- C, (C oznacza dowolną stałą), d(x + C)

2.

gdyi rf.v

.r" r/.r - , . .vn~: • • C. n-\- — 1,

" + 1

gdyż pochodną funkcji — —t xn 1 jest xn.

Tl —p 1

\ d 'r

= log .y + c,

> o,

\ ~ — log (— -y) + C, X < 0.

Oba te wzory sprawdzamy przez różniczkowanie. Mo- żeniy je zastąpić jednym wzorem:

3. J x-1 dx = ^ — = log | x | C.

Podobnie różniczkowaniem sprawdzamy następujące wzory:

4. i ax dx = ----- I-C, a > 0, a g}= 1;

log a 5. J ex dx = ex -f- C;

6. j sin x dx = — cos x C;

7. f cos xd x = sin x -(- C ; dx

V l

arc sin a- -f- C = — arc cos x -f- C' ;

9. ^ j —j— g = arc tg* -f- C = — arc cot x 4- C'.

§ 3. N ie które w łasności c a łk i nieokreślonej.

Niechaj w przedziale (a, b)

J f(x )d x = F(x), i (p (x) d x — & (x).

n . . d [F(x) ± 0 (*)] ,, . , . , Ponieważ --- --- — f{x) ± (p Cr)

cl x

więc | [/(a-) ± (p (at)] dx = F (x) ± (P (x) czyli i [ f (x) ± (p (.*)] d x — \f (.v) dx ±\cp (x) dx.

A zatem: C a ł k a s u my r ó w n a się s u m i e ca­

łek p o s z c z e g ó l n y c h s k ł a d n i k ó w (jeśli istnieją całki składników).

.leżeli c oznacza dowolną liczbę,

d[cF (.r)] dF(x) . . wówczas --- --- = c — — = cf{x),

dx dx

zatem j c f (a-) dx = c F Cr), czyli j c f ( x ) d x — c\f (x) d x.

A więc: C z y n n i k s t ał y m o ż e m y w y j ą ć przed z n a k cał ki .

P r z y k ł a d y :

1. ! (3 x2— 2 .v —¡— 7) dx — j 3 x'2dx — j 2 xdx -j- i 7 dx —

= 3 i „r* dx — 2 5 X dx -f 7 J dx = 3 . {■ xs — 2 . i- x2 + + 7 . ,v + C — .v8 — .y2 —j— 7 .v + C;

1 « ' » - i * - « * -

+ g = T a —

i x ' 2r f x - j - 5 -Y “ rf.Y — ~ l X - — Z l-Y 1 ~ ^ .Y 4 - j -

2j2+ 4xs — 1 4 .V1

3. | ^5 | /.y— 3 j/.v 3 — dx = 5 \ x~ dx — 3 i .y5 dx —

~ 2 ■ z z p j T i *~i + 1 + ¥ 1 / ^ - ¥ p - - 4]/.y + ć7;

"" ± j_j_i

4. ( x ]/ -y d x = j x . xm dx — i xm dx — rn ■x2]/x + C;

2m + l ' dx , -■ ,

7

§ 4. C ałk ow anie przez podstaw ienie. Istnieją pewne metody wyznaczania funkcji pierwotnej. Jedną z takich metod jest t. zw. m e t o d a c a ł k o w a n i a pr z ez p o d s t a w i e n i e .

Załóżmy, że w przedziale (a b)

\f(x)dx — F ( x ) ...(1) Przypuśćmy, że funkcja x = cp (t) jest ciągłą wraz z pierwszą pochodną w przedziale a t i niechaj a ¿C <p (t) b dla wszystkich punktów t przedziału (a, b).

Przy tych założeniach, jak wiemy, funkcja złożona F Up (¿)1 jest określoną dla i

Ponieważ F' (x) — f(x),

więc d-M = /[y (t)} cp' (t),

stąd j / [cp (i)] <p’ (t)d t — F[cp (i)] . . . (2) Jeżeli więc nie możemy bezpośrednio obliczyć całki (1),

to jednak czasem będziemy mogli obliczyć całkę (2), czyli wyznaczyć funkcję F[cp{t)]. Znając tę funkcję łatwo otrzymujemy funkcję pierwotną F(t) dla tych wartości na x, które przyjmuje funkcja x — cp(t) w prze­

dziale a t /?.

Zauważmy jeszcze, że na mocy (1) i (2)

j / (x) dx — J / [cp (i)] cp' (t) d t, dla x = cp (t) . (3) Wzór ten otrzymujemy formalnie podstawiając

x — cp (t), dx = cp' (/) d t.

P r z y k ł a d y :

1. 5 (a 4~ b x)n d x, n 4= — 1, b =f= 0.

i t — a

Połóżmy a-\-bx = t, czyli x — — •

Podstawienie to samo eo poprzednio.

Połóżmy .r = ]la t, dx — \fa dt, więc

i

^a

^x2

^a

^at2

^]/1

^/2

= arc sin t,

U w a g a .

Zamieniając litery .v i t ze sobą we wzorze (3) otrzymujemy:

! / [(P W] V (x) dx = j / ( t) dt, dla t — (f (.t).

Formalnie wzór powyższy otrzymujemy kładąc:

Z całką powyżej podanego kształtu spotykamy się bardzo często, nie zawsze jednak łatwo to zauważyć.

P r z y k ł a d y :

Połóżmy x2 -(- x -j- 1 = t, (2 x -f- 1) dx — dt.

zaś

<p (x) — t,

<p (.r) dx — dt.

Zatem / = \ ~y — '°g U I ~f~ ^ więc / — log | .v2 —}— ,v —}— 1 j —{— C.

5. I= \ (a + b x Y xdx, (6=1=0, n=j= — 1).

Połóżmy a -j- b.r2 == 2 bx dx = dt,

a więc xd x — d t.

a

1 (a -f- 6 jr2)n+1

więc / =

6

. / =

26 /i + 1 d.v

Połóżmy ]/x2 -)-a c — i,

I 1»“ W + i + 1) d x ~ d t '

]l

a więc — ■ . ■—— dx = d t, ]/-v2 + a

zatem / — ^ — — log | 11 = log | ]/.v2 -j- a + -v I 7. / — ] sin" x cos -v dx.

Połóżmy i = sinx, d t — cos x dx, zatem / t n+i sin.v'l"t"1 , 1 więc / = — j— = — -j—¡- » gdy n =t= — 1,

n -j- 1 n 1

zaś I — log | t \ = log | cos x \, gdy n — — 1

8- » * > •

Połóżmy x2 -j- 1 = t, 2 x dx — dt.

Zatem

2 (n — 1) (** + 1)"-'*

1 1

Podobnie otrzymamy J - - £ log (.r2 -f D-

§ 5. C ałk ow anie przez części. Załóżmy, że u, v są funkcjami zmiennej ■ x, ciągłemi i posiadającemi po­

chodne w przedziale (a, b).

Mamy wówczas

Biorąc całkę nieoznaczoną obu stron i uwzględnia­

jąc, że , ,

) (u u) d x = u v , otrzymujemy j (u u') — u v — \ (v u) dx, o ile obie całki istnieją.

Używając różniczek, możemy wzór ten napisać w for­

mie następującej:

Formuła (2) pozwala nam obliczanie całki i udu sprowadzić do obliczenia całki ¡ u d u , która może być łatwiejszą do wyznaczenia.

Metoda ta nosi nazwę c a ł k o w a n i a przez części . czyli

(u u)' — u u -j- u u', u u' = (u u)'— u u.

i ud u — u u — ) u du _{. (2)}

P r z y k ł a d y :

Połóżmy u — x du — dx

dv — ex dx v = j ex dx — ex.

1.

11 2. |logxdx.

Połóżmy u — log x du = —d x du — dx u = j dx — x.

Zatem 1 — x log x — j dx — x log x — x.

3. I — J x" log x d x , n =j= — 1-

Połóżmy u — log x du — —dx

du — x" dx

n + ₁ Zatem

, * " +1 lo g * _____1 ( v, f v r - * " +1l og* . n -j- 1 n -f- 1 ' n -f- 1 (n 1 ) 2

§ 6. C a ik i fu nk cy j elem entarnych.

■u/l ”i"l

1. 5 .vn dx = — T—- + C, n =j= — 1 n -f- 1

\ ^ = log|.r| + C .

2. i a* dx = 4 — h C, i ex dx = ex + C.

log a

3. J log .v dx — x (log .v — 1) + C,' (§ 5, przykład 2) 4. J sin x d x = — cos x -f- C,

j cos .v dx — sin x C.

5. f tg x dx — — log | cos x | -f- C.

Połóżmy cos .v = t, — sin x dx — dt.

\ sin x i - ^ f _ Zatem \ tg x dx = \--- dx = \ —---

' ° J cos x J t

— — log 11 j = — log | COS X I .

6. S cot x dx — log | sin x | -(- C.

Używamy podstawienia sin x = t.

Połóżmy

x , dx

tg 2 ~ ł ’ “ ^dt.

COS"

\ d t

Zatem j cosec x dx — \ — == log | t log , * i tg * 8. i sec x dx = log cot£ n

+ a Połóżmy x = — — t, dx — — dt,n

u

więc ) sec.v dx — — zatem:

i sec x dx = — log ■ tg

sec l~ — i) d t = — j cosec td t,

= log

9. j arc sin x dx — x arc sin x -f- ]/1 — .v2 -f- C.

Całkujemy przez części kładąc u — arc sin x d u ­ du — dx

więc: j arc sin x dx — x arc sin .r

cat| == log Icot $ (£ — *)!.

dx

V = X ,

f x d x V T = ? Celem wyznaczenia ostatniej całki, połóżmy:

1 — .v2 = t , — 2 x dx = dt, więc .v dx = — £ dt,

2atem JfT??'= _łi# =^ 7-_,/T=7i-

10. 5 arc cos .v dx — x arc cos x — ]/ 1 — .v2 -f- C.

Postępujemy podobnie jak poprzednio, lub opieramy

i n

się na wzorze arc sin x -j-arc cosx = —•

11. i arc tg x dx — x arc tg x — -J- log (1 -)- .v2).

Połóżmy u — arc tg x du = ■dx , a I —j~ .V

dv — d .v u — x,

- r , . f x dx

więc j arc tg x dx — x arc tg .v — \ ^ ^ ■ Celem wyznaczenia ostatniej całki, połóżmy

1 -f~ x2 — t, 2 x dx — dt, x dx — h d t , więc \ = \ = # '°g 11 l;fT ł lo£ ^ + x‘2)- 12. J arc cot .r dx — .v arc cot x -)- £ log (1 -f~ x~).

Postępujemy podobnie jak poprzednio lub opieramy

się na wzorze n

arc tg x -f- arc cot x = — •

13. J arc sec x dx — x arc sec x — log (]' .v2 — 1 —j— | -v j).

Połóżmy u — arc sec .v du — ,— ——--- —,dx

| x \ V-r2 — 1

dv — dx v — x,

.v dx 18

zatem \ arc sec -y dx — x arc sec x — ■ , , ---

p . • J ar V ^*2 — ¹

Ponieważ

dx ; log i]/.v2 — 1 -j- .y| (§4 przykład 6),

zatem dla ,v > 1, i ■— -^ -- 4 = log (]/v2 — 1 + x),

J I .V I I/ .V2 — 1

zaś f ______

dla x < — 1 , l y .../V . = — log | ]/a-2 — 1 + . v! = J I X I [/ X — 1

= l0g(j/.Y2— 1 — x), w obu więc wypadkach możemy napisać

X dX log(l/.Y2— 1 + j x |).

14

] / ^ l

14. j arc cosec x dx — .v arc cosec x -{- log (j/x2 — 1 -f- | x |).

Postępujemy jak poprzednio lub opieramy się na

wzorze: _

arc sec x i arc cosec x — — ■

§ 7. W zory redukcyjne.

1. Wyznaczyć całkę: /„ = J sin" x dx (n całkowite).

Przyjmijmy na razie, że n — 1 i n =)= 0. Ponie­

waż sin"x = sin" -2x sin2* = sin"-2 x — śin"~2x cos2 a-, więc / „ = / „ _ 2— 5 sinn“2.v cos2 .v dx . . (1)

Połóżmy

u — cos.y du — — sin a-e? a- .

■ n - o , r . m - .i , Sin .V*\

av = sin -.vcosxa.v, i> = jsin 2.veosx d x = ---- />

wi§c • „ n

, . „ 2 COSA- sin" 1X . i sin x

\ sin ‘ X cos2.v dx = --- ---\- \--- - dx = n — 1 J n — 1

1 /„•

71 - 1 ' 72 — 1

Wstawiając otrzymany wynik w związek (1) mamy __ cos x sin"“1 a: 1 T

*) § 4 p r z y k ła d 7.

, , T cosx sin"-1 x . n — 1 , ....

stąd / „ = --- r--- --- (1*)

n n

Zauważmy, że ostatnia formuła jest ważna dla wszyst­

kich n 4= 0, a więc

. „ , cos x sin"-1 x . n — 1 f .

I sin" .y dx — --- — + ---- \ sm" - x dx

n n J

(n 4= 0 ) ... (2) Formułę powyższą stosować możemy z korzyścią gdy n > 0.

P r z y k ł a d :

. . „ , cos* sin5 x . . , . . ' j sin6 x dx = --- --- j- -g-) sin4 .v dx,

. . , cos .y sin3 x , „ f . „ ] sin4 x dx = --- ---[- f ) sur x dx.

f . o . cos .y sin x . ,

j sin2 .y dx — ----— --- -f-1 x, zatem i sinc .y dx — — } cos .y sin6 x

15

6. 4 5 .3 . , 5 .3

- .y sin x tś—:—x x- 6 . 4 . 2 1 6 . 4 . 2

Aby otrzymać wzór redukcyjny dla n < 0 , napiszmy formułę (1*) w następujący sposób:

" ■/» .+ !

n-2 n — l ‘ n 1 n 1

Kładąc n — 2 — — K

cos x sin-ir+l x . K — 2 mamy 1_K = ---j — \--- W1§c

\' dx ___ cos x _____ , K — 2 f . K_2 J sinK x (K — 1) sin*-1 x K — 1 .

( A T > 1 ) ... (3)

16

Dla K — 1 mamy:

dx ■ loff

i

1

sin x P r z y k ł a d :

f d x __ _ cos x i x f dx

c í n ^ v O c i n ^ v “ 1

(§ 6 przykład 7).

cos x , 2 sin2 x 1 sin” x 2 sin2 x ' “ J sm x

+ i log| t g f |.

2. Podobnie postępując, otrzymujemy:

sin a: cos'1-1 x , n — 1-

\ cos x d x = --- ---t cos - x dx

n n

«4= 0 ... (4)

t' dx _ sin x , K — 2 1' dx

. cosK .y (K — 1) cosK~' x K — 1) aosK~2 x K =ł= 1 .

dx

(5) 3. Wyznaczyć całkę: i„ = ^ ’ (n całkowite do­

datnie), Mamy: Ix — arc tg x. Przyjmijmy teraz, że n > 1. Zastępując w liczniku czynnik 1 przez różnicę (.r2 1) — .t2, otrzymujemy :

_ f d x r x2 d a:

~ ! ^(*2 + D ^"“1 _ J (.y ² +

‘

Połóżmy w drugiej całce

u = x du — dx

dv x dx

(•v2 + l) (• x2 dx zatem: \~2---

x dx

(*2 + l)n (2n — 2)(.y2 + 1)í x

J(* 2+ l ) n

+ S

(2 n — 2) (x2 -j-1)

dx >

J (2n — 2) (x2+ l ) n-1

*) § 4 p r z y k ła d 8.

czyli: /„ —

1 (2 n — 2) (x2-(-1)"-1 2/2 — 2'

2 n — 3

17 a więc: 7n = 7 „ - 1 + ,0 .. ax

(2 n — 2) (.v2 -j- l ) n_1 2 72 — 2 n _ 1 '

Otrzymaliśmy więc wzór redukcyjny:

dx x , 2 n — 3f dx

J(x8-j-l)n (2/2 — 2) (x2 + l ) n-1 1 2 n — 2

( n > l ) ... (6) P r z y k ł a d :

dx x , „ f dx

i dx _ x . 3 r dx J (x2 + l ) s “ 4 (x2 + l) 2 + i \ (x2 + l ) 2’

i' dx x . , f dx

) (x2 + l j * ~ 2 (x2+ 1) + ł i i * + T f dx

) = arc tg X, zatem:

i d x __ x . 3 x . 3

J (x2+ l ) « ~ 4 (x2-f l)5 ' 274 x2 —{—T ' 2T4 ai’C

g X'

Z a d a n i a :

Wyznaczyć następujące całki:

o mx

1) j a mxdx — —--- I-(7, m log a

p a x + b

2) 5 e**+i>dx = :--- \-C, - = -log |a + bx\ + C, 3) J

4) j (a -f bx)ndx = -||

c,

5) A d f Ł i ^ + c ,

Ja-f-bx" nb

Rachunek różniczkowy i całkowy.

8⁾

J a 2 + ft2.Y2'

• + 5 dx — log I .y2 — X -f- 5 I -j- C,

9) S dX = l0g 1X3 “ 3 ** + -V~ 1¡ + C>

10) Í n § d*v = logi/(A:)l + c ’ cos (a .y + b) f(x)

11) j sin (a .y -j- b) dx

12) í .y sin ( y 2 -]- 1) dx ■- cos (.y2 -f- 1 )

+ 0,

13) L (lo g i)" <n - 1) (logl)— + C' 'I=l=1, j [te * + 8 t f x + 5 l £ x ¡ dx = u x +

J COSà X - n o

+ l l g i x + C , sin,:_v

15) J [ s i n : , .Y — 5 s i n3 x -f- s i n .y] c o s xdx = — ---

— ■§■ sin4 x -f- if sin2 x -f- C,

16) f ~ = = J ^ -— r = A [{x + a)j - Ą + C, J j/ a- -j- a -f- I -y 3a

17) J sin a.y cos bx — — 18) î sin a x sin bxdx = — \ 19) J cos a.Y cos bxdx = k

f dx

cos (a -f- b) x , cos (a — b) x a -\- b 1 a — b sin (a -j- b) x sin (a — b) x

a-\-b a — b

sin (a -f- b) x , sin (a — b) x

a -f- b a — b

+C,

~\~c, + c,

19 21) ix }/T + x dx = |(1 + xV - 1 (1 + xY + C,

22) \ aW . v + S»Sm>.t = ł i ,rc lg ( 1 15 -V) + C' 23) 1;^ , » ? + U + > >g‘ j: I + C, o n i /. V e"X (sin x + a cos x)

24) | e" cos x dx = --- — ---- i

1 -\-a-

25) =

26) ( ^ + ^ i n ^ + c c o s . v = a

J sin 2 x 2 a 1 b 11

+ f log I tg ( ł -V + i II) | + | log I tg I A-1, 27) jj rf.v = i (arc tg x)a,

f* *

28) l -— dx = — :j Cv —j— 1) ' — -£ (x -j-l)'' — J ] / * +₁ -]/-v + l

- (-Y+ 1) - (.V + 1) 4 - f (.V -f 1) ■' - f (.V + 1) ! W s k a z ó w k i :

1) mx = i, 2) ax -f 6 = i, 3), 4) a + 6x = t, 5) a + ¿,.v« = t, 6), 7) ^ = /> 8) .v2- .v + 5 - / , 9) .v3 — 3 x2 —|—x — 1 = t, 1 0 ) / (x) = t,

11) ax -f- b = t, 12) x2 -j- 1 — t, 13) log x = t, 14) tgx = /, 15) sin x = /, 16) Pomnożyć licznik i mia­

nownik przez ]/x-f-a — ]/x, 17), 18), 19) Iloczyn za­

mienić na sumę np. sin ax cos bx = -l- [sin (a —(— ¿) x -(- f sin (a — 6) x], 20) tg x = /, 21) ]!\ + x = t, 22), 23) tg x = t. 24), 25) Zastosować do obu całek cał­

kowanie przez części, a następnie rozwiązać otrzymany układ równań. 26) Zastąpić sin 2 x przez 2 sin x cos x.

27) arc tg x = ł. 28) x + 1 = t6.

2*

C a łk o w a n ie f u n k c y j w y m ie r n y c h .

§ 1. R o z k ła d w ie lo m ia n u n a czynniki. W alge­

brze*) udowadnia się, że każdy wielomian Q(x) da się przedstawić w postaci iloczynu:

Q (x) = A (x — a) (x — /?) ... {x — ₇) . . (1) gdzie A jest współczynnikiem, stojącym przy najwyższej potędze, zaś a, fi, y są pierwiastkami równanie 'Q(x) = 0. Czynniki powyższego iloczynu: x — et, x — ,3, ... x — 7 nazywamy czynnikami pierwiastkowemi. Jeżeli niektóre czynniki pierwiastkowe wielomianu Q (.v) są równe, to zbierając je razem otrzymamy przedstawienia:

Q (x) = A (x — aY (x — /?)* ■ • • Cv — 7)' • (2) gdzie r, s . . . t są liczbami naturalnemi, przyczem /- —}— s —)— ... — i == /z [/z oznacza stopień wielomianu Q (*)].

P r z y k ł a d y :

1. Wielomian 3 x~ -j- 3 x — 6 ma pierwiastki a = 1,

— 2,

zatem 3 xi -¡— 3 jc — 6 = 3 (.v — 1) (,r -f- 2).

2. Wielomian x‘l — 1 ma pierwiastki a = l, /9 = — 1, y = i, d = — i, ( / = ]/— l),

więc X4, — 1 = (,v — 1) (.v -f-1) (.y — i) (x i) 3. Wielomian .y3 — 2 x2 -j- x — x (x — l) 2.

*) Dowody twierdzeń § 1 i § 2 znajdzie czytelnik w książce dr. S. Ruziewicza i E. Żylińskiego, Wstęp do matematyki I.

(Lwów, 1927) str. 263-69 i 183-87.

R o z d z ia ł II.

21 Jeżeli czynnik pierwiastkowy x — a występuje W przedstawieniu (2) w potędze r, wówczas a nazy­

wamy pierwiastkiem /-krotnym.

Pierwiastki a, /? ... y mogą być zespolone. Ważnem dla nas będzie następujące twierdzenie z algebry: jeżeli wielomian Q (,r) o współczynnikach rzeczywistych po­

siada r-krotny pierwiastek zespolony a-\- b i, wówczas posiada również /-krotny pierwiastek z nim sprzężony a — b i.

Jeżeli więc Q (x) jest wielomianem o współczynni­

kach rzeczywistych, to jeśli w rozwinięciu (2) występuje czynnik [x— (a -\- bi)]r, to występuje również czynnik [x — (a — b /)]''.

Łącząc te oba czynniki razem otrzymamy:

[,v — (a -\- bi)Y [.v — (a — bi)}r =

= [(-v — a) — b i]r [(.v — a) + bz]r = [(.v — a)2 + b2]r =

= (x2 + + q)'\

gdzie p = — 2 a, q = a* + b~.

Wielomian .v2 -j- p x -f- q ma pierwiastki a -{- bi, i a — b i i nie da się przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego, o współczynnikach rze­

czywistych. Postępując podobnie z pozostałemi pierwiast­

kami zespolonemi, dojdziemy wkońcu do przedstawienia wielomianu Q (x) w postaci:

Q W = (,v - a)r (|- fiy... (ax2+ bx+ c)‘. (dx- + ex+f)“... (3) W rozwinięciu powyższem liczby a, .. . a, b, c,

są rzeczywiste, wielomiany zaś ax*-\-bx-\-c, tf*2 -j- ex ~\~ f, ■ ■■ n>e dadzą się już przedstawić w po­

staci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego o współ­

czynnikach rzeczywistych.

P r z y k ł a d y :

1) .v3 -j- 1 = — .v + 1) (.v + l), 2) .v3- l = (.r2 + .v + l) (>v— 1),

3

4

1

4

1

1

4) .V1 - 1 = (x- + 1) (x - 1) (x + 1),

5) Rozłożyć na czynniki następujące wielomiany:

a) .v2 — 5 .v -)- 6, b) xs 4 “ 3 x2 — 6 x, c) .vG — 1, d) x^ — 1, e) xs (.v2 — 3 .v + 2)2 (,v3 4- 1)2.

§ 2. R o z k ła d fu n k c ji w y m ierne j na u ła m k i proste. Funkcją wymierną nazywamy funkcję określoną jako iloraz dwu wielomianów^ w tych punktach, w któ­

rych dzielnik się nie zeruje. A więc funkcja wymierna P (a-)

da się przedstawić w postaci ułamka gdzie P(x) i Q (a-) są wielomianami. ^

Jeżeli licznik jest stopnia równego lub wyższego niż mianownik, wówczas, wykonując dzielenie, otrzymamy

P{x) s , B(x)

—— = wr(.v) 4 tttv

Q (x) Q (a-)

gdzie W (a-) jest pewnym wielomianem, zaś R (x) jest wielomianem stopnia niższego niż Q (x).

P r z y k ł a d y :

i. + 1

22

A" 4 " 1 ' .V2 + l

O A'5 - f A'3 — A'2 + A’ 4 - 3 . , 3X + 2 ■ .r s + 2 * - 1 a 3 4 - 2 A- — 1

Przypuśćmy, że mamy daną funkcję wymierną —-^ >P(x) gdzie P(x) i Q (x) są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych. Załóżmy jeszcze, że wielomian Q(a-) przed­

stawiony jest w postaci (3) str. 21.

Twi er dzeni e. J e ż e l i l i c z n i k f u n k c j i wy-

P (a-) . . . .

mi er nej -r jest ni ż s z e go s t o p n i a n i z lina-

J Q(x) 1 ° v

nowni l c, wó wc z a s funkcj ę tę m o ż e m y przed­

s t a wi ć w post aci :

23

P(x) A B , C . D

Q (x) (x — ay~r (x — a)r-'~r " ' x — a ' ~( x — ßy~Ji

! E | f | , (?x + // .

(.v — ß)“ ' x — ß 1 ’ " (ax2 -j~ ¿»x -j- c)‘

, Ix + K , L x + M ,

I I A „ _L „ ~T (a x2 —j— b -V —)— c)f 1 a x2 -f- b x c ,_____N x + P ,______Qx + R

(clx2 -(- ex -f- / ) “ (dx~ -f- ex -(- + — 5£_+ _T

+ '•■<i.v! + e.v + /’ T ...l ' W rozwinięciu powyższein A, B, C, ... są liczbami stałemi. Rozwinięcie powyższe nosi nazwę r o z k ł a d u f u n k c j i w y m i e r n e j na u ł a m k i proste.

U w a g a 1.

Równość (2) zachodzi dla wszystkich x rzeczywi­

stych, z wyjątkiem liczb a, ß, • / . . . , t. j. pierwiastków rzeczywistych równania Q (x) = 0.

Każdy czynnik wielomianu Q (x) występuje jako mianownik w rozwinięciu (2) we wszystkich potęgach począwszy od potęgi, którą ma w rozwinięciu (1), a skoń­

czywszy na potędze pierwszej.

Liczniki ułamków wchodzących w skład rozwi­

nięcia (2) są albo liczbami stałemi albo wielomianami stopnia pierwszego, zależnie od tego, czy mianownikiem jest wielomian stopnia pierwszego podniesiony do po­

tęgi, czy wielomian stopnia drugiego podniesiony do potęgi.

Chcąc wyznaczyć liczby A, B, C mnożymy obie strony związku (2) przez Q (x). Uwolniwszy się w ten sposób od mianowników, porządkujemy wedle potęg zmiennej x wielomian otrzymany po prawej stronie.

Ponieważ równość pomiędzy wielomianem P(x) a wie­

lomianem będącym po prawej stronie zachodzi dla wszyst­

kich wartości na .y*), więc współczynniki stojące przy równych potęgach zmiennej .y są równe. Otrzymujemy w ten sposób szereg równań, z których wyznaczamy niewiadome A, B, C ...

U w a g a 2.

Przed rozkładem danej funkcji wymiernej na ułamki proste należy zawsze sprawdzić:

1° Czy stopień licznika jest niższy od stopnia mia­

nownika,

2° czy licznik i mianownik są względnie pierwsze.

P r z y k ł a d y :

Następujące funkcje wymierne rozłożyć na ułamki proste:

2 x — 1 .y2 — 5 x + 6

Ponieważ .y2 — 5 x -(- 6 = (x — 3). (.v — 2), więc po­

łóżmy 2 .y— 1 _ A . B

.Y2 — 5 x -f- 6 x — 3 .y — 2

stąd mnożąc obie strony przez a:2 — 5x-f- 6 otrzymujemy 2 x — 1 = A (x — 2) 4- B ix — 3),

zatem 2 .v — 1 = x {A -j- B) — 2 A — 3 5, A -j- B = 2 , , . K R O WięC 2 4 + 3 5 = 1 ’ Skąd ^ = 5’ B = - 3'

. 2 x — 1 5 3

A zatem 2 ... --- o -o '

•Y — 5 AT -j— 6 x — 3 .Y — 2 3 J 2 -{- 3 .t -(- 12

• (.y- 1 ) (x + 2).y'

*) Równość zachodzi dla wszystkich .* różnych od a, ;3, y • • • wedle założenia. Dla .v = a, ¡3, y ... równość zachodzi na mocy ciągłości.

24

Użyjemy tutaj innej metody, która prowadzi do celu w wypadku, gdy mianownik posiada tylko pierwiastki rzeczywiste jednokrotne.

„ t .. 3 + 8 x + 12 A . B , C Po!0Zray ( , - „ i , - 2 ) . v “ F = 1 + i + 2 + i ''

stąd 3 x2 + 3 x + 12 =

= A (x 4~ 2) x 4" B (x — 1) x 4" C (x — 1) (.v 4* 2).

Kładąc pokolei x — 0, 1, — 2 otrzymujemy:

12 = — 2 C, 18 = 3 A, 18 = 6 B, a zatem A = 6, B = 3, C = — 6,

3 ** 4- 3 x 4- 12 6 , 3 6

25

w i ę c

3.

(x — 1) (x 4 2) x x — 1 x 4" 2 x P(x)

(x — a) (x — /?) (x — y)

gdzie P (x) jest wielomianem stopnia niższego niż

«, ¡3, y są między sobą różne.

Połóżmy:

P(x) A , B , C

,;4--

(x — a) (x — fi) {x — y) x — a x — ,9 .v — y stąd P (x) — A (.v — fi) (x — y) -j-

4 B (x — a) (x - y ) + C (x — a) (x — ¡3).

Kładąc pokolei x — a, /?, y otrzymujemy:

P W ...b Ł _________Ł ® ■ ( a - ;? ) ( a - • / ) ’ (j9 — 0 ) ^ - 7 ) ’

____P (r) (Y — a) (7 — P)

f 3 x 2 + x4 - 2 A . B . C

‘ (x +1 ) (* - l ) 2— jc 4- 1 <* — l) 2 + -v — 1 ’ Wię°

3-t24 x + 2 = 4(x— l) 2+ B (*+ 1) + C(x_{4 1})(x— 1) (1)

zatem

3 x 2+ x + 2 = x 2U + C )- f x ( - 2 A + B)Ą-AĄ-B — C, a więc ¿ + <7=3, — 2 A + B = 1 , A + B — C = 2, zatem A = 1, B — 3, (7 = 2 .

Możemy też w inny sposób wyznaczyć współczyn­

niki A,B,C. Kładąc w (1) pokolei x = — 1, -(-1, otrzymamy 4 = 4.4, 6 = 2 5 , więc . 4 = 1 , B = 3.

Celem wyznaczenia współczynnika C zróżniczkujmy (1) obustronnie: 6 x -f-1 = 2 A (x — 1) -(- B -f- <7. 2 .v.

Kładąc teraz x = 1, mamy

7 = B -f- 2 (7 więc ( 7 = 2 .

Metody tej możemy używać z korzyścią, w wypadku gdy mianownik funkcji wymiernej posiada pierwiastki rzeczywiste wielokrotne.

5 __________ = ' x2( x - l ) ( x + l ) 2

A . B . C . D . E

~~ X X 2 .r — 1 (x - )-1)2 x - j-1'

więc x4 -f-1 = A x (x — 1) (x-j-1)2 -f-5(x— 1) (x -j- l ) 2 -J-

■f <7x2 (x + l) 2 + D x2 (x — 1) + E x2 (x - 1) (x + 1).

Kładąc pokolei x = 0, 1, — 1, dostajemy

1 = — B-, 2 = 4 ( 7 ; 2 = — 2 D, a więc B — — 1, (7 = D = — 1.

Otrzymujemy więc:

X1 -j- 1 = A x (x — 1) (x + l)2 — (x — 1) (x + l) 2 + -f 4 x2 (x + l) 2 — x2 (x — 1) + E x2 (x — 1) (x + 1).

Różniczkując obustronnie otrzymujemy:

4 xs — A [(x — 1) (x -j- l ) 2 4 “ x (-v + l ) 2 +

+ 2 x (x — 1) (x + 1)] - (x + l ) 2 — 2 (x— 1) (x + 1) + + x (x + l ) 2 -f- X 2 (x -j- 1) — 2 x (x — 1) — X 2 + + E [ 2 x (x - 1) (x + 1) + x2 (x + 1) + x2 (x - 1)].

26

O = — A + 1; — 4 = — 5 - # E,

zatem A = 1, E = —

x2 2 x — 1 A i B x -{- C

(.V — 1) ( * 2 + 1) ~ ' X 2 + 1 ’

więc x2 + 2 x — 1 = A (.v2 -f 1) -f (B x + C) (x — 1).

Kładąc x = 1, mamy 2 = 2 4, zatem A — 1.

Wymnażając i porównując współczynniki mamy 1 = A + B, 2 = — B + C, — 1 = A — C,

więc B = 0, C = 2.

3 r + l A B x Ą - C , Dx-\-E

‘ (x + 1) (*2 + l ) 2 — .v + 1 1 (x2 -f l ) 2 + x2 -f 1 ' Uwalniając od mianowników i porównując współczyn­

niki otrzymujemy:

A + D = 0, E + D = 0, 2 A + B Jr E + D = 3, B + C + E Ą - D = 0, A + C + E = l ,

a zatem A = 1, B = l , ( 7 = — 1, D = — 1, E — 1.

8. Rozwinąć na ułamki proste funkcje wymierne sto­

jące pod znakiem całki w zadaniach podanych na końcu tego rozdziału.

§ 3. C a łk a funkcyj w ym iernych. Rozbijając funk­

cję wymierną na ułamki proste sprowadzamy całkę funkcji wymiernej do całek typu:

f A dx

Kładąc teraz .v = 0 , — 1, mamy

[przyczem wielomian a x2 -j- b x -|- c nie posiada pier­

wiastków rzeczywistych, a zatem b% — 4 a c < ] 0 ] . Aby wyznaczyć całkę typu c), zauważmy, że:

a.r2 b x-)- c = ai.v2-f- - x -f- -•'] = 28

a zatem

a a

b\2 b2 , c 2 a) 4 a2 a

, , , , / , b \% , 4 a c — b2

„ . + 6.V + C = ^.V + ~ j + — — . (1) Wprowadźmy nową zmienną z określoną związkiem

, b V 4=ac— lr

x ~— ==-- ---- z- . . . (2) 2 a j 4 a

b , }/ 4 ac — b2

a|v,tc _ -- --- * . . . . (3)

Z uwagi na (1), (2) mamy 4 a/1 -

ax2 bx -f~ c = -₇“ — (z2 -f~ 1).

4 a

Używając więc podstawienia (3) otrzymamy:

f AX + B H v - f ^ + ^ .

' (axa + -f- c)r ’ ] (z--j~ l ) r M, Ar oznaczają pewne liczby stałe.

. r M z -\-N , Ć zdz . f dz

3 {z2 + 1 y 3 (z2 + i r + 3 (*| + 1)/

Do całki drugiej stosujemy wzór redukcyjny [str. 17, wzór (6)]; kładąc zaś w pierwszej całce z'2 -f-1 = t (str. 9, przykł. 5), otrzymamy

f z d z ______ 1 ____ 1 , _i_ h \ 3(*2 + 1 ) r — 2 (r — 1) (22 + l)'- ‘ (r >;

\ ~ i loS + !)•

29

2 A-8— 4 x + 1*0 = 2 (x2 — 2 x + 5) = 2 [(x — l ) 2 + 4] =

= 2 (x — l) 2 + 8.

Połóżmy 2 (x — l ) 2 = 8 z2 więc x = 1 -f- 2 z, zatem 2 x2 — 4 x + 1 0 = 8 (z2 + 1); d x = 2 dz, w ięc:

r 5 x + 3 _ r 10z + 8 n J (2x2 — 4 x + 10)2 j 82 (z2 + l ) 2

= A zdz , , f dz

T5' (|§+ 1>2 * * \ P T T ) 2'

L8CZ Su2+1)2_ 422+i;

\ fc» Ą. 1 ) 2 = 2 (z *+ {j + ł . arc tg*. (P°r- sh‘- 17> 6-)>

f 5 x -j- 3 , , 1 ,

* » * » " i (2;t . - 4 .v + ioT! d x = - * ? + T + + i + 4 aro tg * = + i “re '= *

Kładąc zpowrotem z = Q mamy

¿i

f 5 x + 3 2 x — 7 ,

] (2 x2 — 4 x + 10)2 'Y ~ 4 (2 x2 — 4 x + 10) ' + i arc tg X~ ~ + C.

Z a d a n i a :

Wyznaczyć następujące całki:

5 x3 + 1

M

•• i -V2 — V- X + 4 log I x + 1 (+ f log 12 X + 1 1,

30

2) x*dx

\ (x — l) 2 (x - j- l) 2 ‘V 2 X 2 — 1 ■ | log ^{X — 1} x + 1

3) : =

J (a- - D-'1

4) x d x

(x - l)2

3 x + 3'

)<x |- 2){.t-j- 3)> .v + 3 1 l0gU + 2

dx ₂ . 2 x 1

arc ts:

J x 2 + x + 1 ]/s

6) \( y -2 _ l “ 3

arc J

■7M ;

3 (x2 + 1) (x2 + 4) 3 x₂ — 5 x + 2

1/3

X

2 2 x2 + 3 x — ₆ dx

1/3,

8⁾

— f log I x — 2 ! 4- fl- log (x₂4- 3) — arc tg »

x - f l . 1 1

;-* — 3 xs -f 3 x₂ - x x — 1

dx 4 -log

9) a ‘ — x4 x

4 a: log a 4“ x a — x

X — 1 ( X — l ) 2

1

+ 27sarc tgä ; a > 0 ;

10) dx

.U 8- M

+ P aro tg “ W ~ ’ dx

k !og I x 4-11 — i l ° g (-V2 — X 4-1) 4-

2 x — 1

11) \ f= lo" I -v — 1 1 — r. log (x2 + x -f 1)

1 2 x 4 * 1

'77= arc t g -- 7=— '

1/3 ° 1/3

12)

dx 1 log l ± £ j ^ ± £ + I x4 4- 1 4]/2 “ 1 — x p 4-x2 , 1 » -v 1/2

-7= arc tg — ---- >

2 1/2 8 1 — x2

31 13)

14) 15) 16)

18) \ dx

1 : ł log arc tg

(x --1) ]/.v2 — x + 1 ( x + 1) l/.v H - - v + l x|/~3

2 V3 “ 1 — x~

-vr’ 4 + 3 , , ,/—5—TT (x2 -j-l)3 4 Cr2 -j- l ) 2 A ’

xc>

x2 d x

dx = i log ^{|*S+ 1}

\x6 — .10.v3 + 9 6 xr'

| ,v:i — 1

h log x3 — 9 j

(5 — 7 x3)3 12 x15

dx ,dx

5 (5 — 7 x3)2

3 x4 (x8 — 3 X4 + 4) + 30

2 (x4 + 1) ⁺

(x4 + l ) 2 + lo g (x 4 + l ) 8,

19) S a 4 ^ ; kładąc r - “ = ^ namy

(i — zY

dz.

(x — «) (x — (}) = (a — /9)2

(1 - z? zatem

dx ________ f

i — S ) 2 " - 1 \

( l - * ) 2 dz.

dx ] [ (x - « )(x -/?)]" ifi- P )

Wyznaczyć tą metodą całki:

3)

’ b)

’

S

ay

W s k a z ó w k i :

1), 2) wydzielamy część całkowitą, pozostałą funkcję wymierną rozbijamy na ułamki proste. 3), 4), 5), ... 13) rozbić na ułamki proste. 14) x2 = t, 15), 16), 17) xs = t, 18) x4 = t.

C a łk o w a n ie f u n k c y j a lg e b r a ic z n y c h .

§ 1. Jeżeli pod całką występuje zmienna x w roz­

maitych potęgach ułamkowych, to oznaczając przez p najmniejszy wspólny mianownik wykładników, przez pod­

stawienie x = zp uwalniamy się od potęg ułamkowych.

P r z y k ł a d y :

1. / =

i

i

J(1 +l/x)l/I- J (l + .vł )x- dx = 6 z5 dz, mamy

f 6 z°dz C z2 dz

/ = ) ( T T ^ F ? ” 6 \ T T ? = 6 a r c l6 "’

6 6 _

I — 6 ]/.v — 6 arc tg ]/x.

2. / = f —K i— dx; kładąc x — zi , dx = 4 zs dz mamy J i +

I=[^Uz>dz = J z6dZ

R o z d z i a ł III.

l + z J 1+ 2

/ Z** z^ z^ z* \

^ 4 ^— — — + — — — + z j — 4 log | z - j - l 1, zatem

/ = | — * -f $|/*s — 2 Y i + 4 ]/X-— 4 lo g (fc + 0 - U w a g a 1.

Podobnie postępujemy, jeżeli pod całką występuje dwumian ax b w rozmaitych potęgach ułamkowych.

33 Podstawieniem a.v-f~ b — z " (p jak poprzednio) uwal­

niamy się ód potęg ułamkowych.

P r z y k ł a d :

--- . X -J- 1 = = Z 2, d x = 2 z d z , X ] / x + 1 ’

2 z d z d z

:)og ^{z — 1} z + . l

y x ~ł~ i

V*+i + i

i

zatem / = log

U w a g a 2.

Jeżeli pod całką występuje wyrażenie ~j~ w roz­

maitych potęgach ułamkowych, wówczas podstawieniem

~— i— = z” (p jak poprzednio) uwalniamy się od po-

d X o

tęg ułamkowych.

P r z y k ł a d :

1 1 / l + x t-\- -V

dx

x 2 zdz

z- — ! ’

więc { z * - \ ) . z .

(z2- l ) 2

— 2 zdz (z2 — l ) 2

z — 1

dz

• 2 z — log z + 1 zatem / = — 2 /1 + * ,

/ — 1---- log 4 1

/1 -f- x

) x \1 X 11

Rachunek różniczkowy i całkowy.

i .y"' (axn -f b)" dx,

gdzie m, n, p są liczbami wymiernemi nazywamy cał­

kami d w u m i e n n e m i .

Jeżeli p jest liczbą całkowitą, wówczas wyznaczamy całkę metodą podaną w § 1.

Przypuśćmy teraz, że p nie jest liczbą całkowitą.

Podstawmy:

_l i J-_,

x = z ", dx = — z " dz.

n Jeżeli z 0, wówczas:

1 f Ot+ł-j

J x"‘ (axn -j- b)" dx = — \ z n (az-\-b)" dz = i f J ^ + p - i

(aż+ bYdz

34

§ 2. Catki dwumienne. Całki typu:

Widzimy zatem, że, jeżeli jest liczbą całko­

witą, wówczas całkę dwumienną przekształcimy na całkę funkcji wymiernej podstawieniem:

az-\-b = t a (•« jest mianownikiem liczby p).

Jeżeli zaś — ¿ — -j- p jest liczbą całkowitą, wówczas n

dojdziemy do funkcji wymiernej podstawieniem az -f- b

z ■ t'1 (« jak wyżej).

A w i ę c c a ł k ę d w u m i e n n ą m o ż n a s p r o w a ­ d z i ć d o c a ł k i f u n k c j i w y m i e r n e j , j e ż e l i j e d n a z l i c z b

m -j- ₁ m -4- ₁ . j e s t l i c z b ą c a ł k o w i t ą .

P r z y k ł a d :

5 ^ 8 (1 — * 2 )- } dx

mamy tu /n = 3, n = 2, p = — f. Ponieważ = 2, n

więc całkę powyższą sprowadzimy do całki funkcji wymiernej.

Połóżmy: x? = z,

x d x — b dz, zatem 1 = Ą \ z (1 — z)~ * dz.

Połóżmy teraz 1 — z = ł~, (t^> 0), d z — — 2 tdt,

zatem / = - ^ -f- |/l — ,v2 = 2 _ 'V"

35

-x

§ 3. C ałk o w anie funkeyj w y m ie rny ch R (x, y)*), (y = ]/ax2 -f- bx -j- c). Całkowanie funkcji wymiernej R(x,y),(y — ]/ax--\-bx-^-c) sprowadzamy do całkizfunk- cji wymiernej jednem z następujących trzech podstawień:

1) a > O.

Połóżmy ]/aj:2 — ¿»o: —J— c — x \>a — t . . . . (1) stąd ax2-f- bx-\-c = axi -\-2 x\jat -f-1~,

więc bx + c = 2 x 1i i ł -f t~.

Zatem podstawiając: x==----t2 77= ^’

b — 2 ]l a t

*) Funkcją wymierną R (.v, ij) dwu zmiennych nazywamy funkcję, określoną jako iloraz dwu wielomianów zmiennych (x,y), punktach, w których mianownik jest różny od zera. Przyj­

mujemy zawsze milcząco, że współczynniki wielomianów są rzeczywiste i że wielomiany te są względnie pierwsze.

3*

— ]/ a t2-\-bt— 1la c otrzymujemy: dx = 2 ----¡=---d t,

y y (b — 2 / a i)

—s—:----1— ,i— , —V a t2-\-bt — ]/ac

— :

Przy powyższem więc podstawieniu wyrażamy

•y, ]/a.Y3-|- ¿».Y-J-c, d.Y

wymiernie zapomocą zmiennej t, zatem $ R (x,y) dx przej­

dzie w całkę funkcji wymiernej zmiennej t.

P r z y k ł a d : . ^ 36

,y.vź + 6.Y + 5

Ponieważ a = 1 0,

więc kładziemy: |/a*2-J— 6 .y-f-5— x = t, t2— 5

stąd x = 6 = 2 t '

« — *2+ 6 t — 5 X ~ (6 — 2 t)2 ’

-¿2 + 6 t — 5 6 — 2 t

a więc = — log| 3 — 1\,

zatem I — — log|3-)-.Y— |/.y2-f- 6x-f- 5|.

2) c > 0 .

Połóżmy ]/a .y2 — 6 _v —{— c = .y ł -(- ]/ c , stąd a.Y2-j- b x-f- c = .y2 t2 -f- 2 .y t ]fc -J- c ,

a.Y-(-6 = .Yi2-f-2 t]/c.

2 tV c — b Zatem podstawiając: .y= --- -s— >

„ V~c ł'ż — b t - f - a ] / c

otrzymujemy: dx = 2- ^ _ ^y2-- - i,

1/— 2l/ax2 i—i:— i— + 6.v+c = . vi +[/ c= t i i/- 1' °t~ — bt-f-a]lc*---- — —2---Ł—

¿ł Ł

A więc i teraz po podstawieniu, $ R (.v,y) dx prze­

chodzi na całkę funkcji wymiernej.

P r z y k ł a d : r __ f dx

'J |/ — x3 —3:e-£|4' 4 > ° -

37

Połóżmy: ]/— x2— 3 x-j- 4 = xt-\-2,

; ¿2 + 3 t- U2 + 1);

2 ¿2 + 3 i — 2 4 i-j-3. , 2 i 2 — 3 / — 2 stąd x = - — - - d x = j2 ( f g + i -5- rf f,

y ~ * 2— 3 . t + 4 —

C o

więc j = — 2arctgi,

zatem / = — 2 arc tg 3 * + 4..— 2 • 3) 62 — 4 a c ^ > O.

Oznaczając przez a, /?, pierwiastki równania

a -i2 -f- 6 x -j- c = 0, mamy a o:2 b x -f-1ć — a (x — a) (x— (i).

Połóżmy

\!a .v2

-j-

a (x — /?) = t~ (x — a),

, , aft — a ł 2

zatem podstawiając: x = — — yg— ».

38

otrzymujemy:

2 a(fl — a)t v — ■r T -T— r - a(fi — a)t Vax + 6j' + c==

A więc przy powyższem podstawieniu, i R (.r, y) d x przechodzi znowu w całkę funkcji wymiernej.

P r z y k ł a d : r

/= ( rf*

V— .v₂-f-4x— 3

Mamy: b3— 4 a c = 4 2— 4 . 1 . 3 = 4 > 0 ; ponieważ — x3 -(- 4 x — 3 = — (.v — 1) (x — 3), więc połóżmy: [/—(x— l)(.v— 3) = (x—1)t.

Stąd:

*s + 3 . 4 td t . —₅—:—r-t— ₂t dx ~ (7®"+l)®’ Va j r + * * + <> — ^5- p *

a więc ' ---

1=—S = “ 2 arc ł = ~ 2 arc ]/^r y

Uwa g a .

Jeżeli a<|0 i e <C 0, wówczas zawodzą dwa pierw­

sze podstawienia. W tym wypadku możemy zawsze użyć podstawienia trzeciego. Gdyby bowiem było a < 0 , c<C0 i b~— 4 a c 0 wówczas wielomian ax~ -f- bx -f- c byłby stale ujemny, zatem ]/ax2-|- b„v -f- c byłby dla każdego x liczbą zespoloną.

§ 4. N ie które szczególne p rzy p a d k i c a łek funk- cyj w y m ie rny ch R (x, y) [// = \!a x2 + bx

1 -f

1) Całkę kształtu:

/ — f .___ _'V..., a < ₀, _¿>3 — 4 a c > 0 , ) \ a ć + b x + c

możemy obliczyć również w następujący sposób:

Mamy

o i , i / ,,— b Y , b2— 4 a c a,- + i,.v+ c — ( . y p n - g j j , ) + - j p | "

Połóżmy

6 . I V/2 — 4 ac czyli X = TH r + 2-—i i Z.

2 | a | 2 | a | Zatem:

— 4 ac , , , b~ — 4 ac „

dX = ~ 2 1 7 P ^ « * + 6* + c =

1 f dz 1

więc I — = 1 -i= ^ = — -7= arc sin z, V[a|

, . 1 . 2ax-)-6

zatem l — = = = — -== arc s in --- 39

,--- --- ,--- O l l l , .---

|/a.v2-j- bx -f* c l/|a l 1/^ — 4 P r z y k ł a d :

ac

1 = dx

15 x — 6 .v2 — 1

Połóżmy: |.v ]/6 — ~p=

j

,

więc podstawiamy .r = Ą -j- tV 2? d x ~ TV dz;

5 .r — 6 x2 — 1 == 5V (1 — 22), a zatem

\ d'X — i ___ — -4= arc sin z,

J_1/5 a— 6 .v2 _{- 1 1 1} ]/rz_v2 1? 6 J 2 y 6

2) 7 = ________dx

J (x — a) ]/ax₂-j-&x + c

Połóżmy x — a = — > czyli x = a --

z z

Jeżeli .r a, wówczas z^> G, zatem dla .v a otrzy­

mamy :

l/ax2 + 6x + c = j / £ *8 + -Mg ± g = i ]/Lz2 + Mz+ N (Z!< •= ¿2 et2 —|— 6 ft —[— c, M == 2 8. o —|— b, N — a).

_ . , dz

Ponieważ dx = --- r>

2“

więc / = — 1; .— a'Z ( x > a ).

)]/Lz2 + Mz-}-N Podobnie postępując otrzymamy:

I = i - d Z (.V < G).

J ]/£z2 + M z + N P r z y k ł a d :

/ = dz

(x— 1)]/V + 1 Połóżmy x — 1 = —,

i i i I ₁ r dz ₁/-=—₁—T l /₂i₂ + ₂ z + I

s t ą d x — 1 + - > dx = — , y x + 1 = | / ---p

zatem dla x > 1, z]> 0, więc ]/x2 + 1 = — ]/2xra -f— 2 ^ —}— 1 ?

l]/2z2 + 2 z + l Stosując do ostatniej całki podstawienie

(sfr 3g)_

otrzymamy J= - y = lo g (4z-j-2— 2]/2 |/2 z2 + 2 z-\-1).

2 ^

Kładąc wreszcie z — --- -> otrzymamy dla .v^> 1

dx 1

- log

(x—

2 ,v -f- 2 — 2 ]/ 2 |/x2 -f- 1

•v— 1

Można łatwo sprawdzić, że powyższy wzór zachodzi również dla x <C 1-

« M — * xj x

J (a.v2—)- y) ]fax2 -(- c

Całkę powyższą obliczamy podstawiając ]/a.v2-j-c = ł.

¿a — c 1

Mamy: a.v--}-c —i2, x2 = ---- > xdx = — tdt.

a a.

Zatem A d t

\ t2 -f- (a y — a c)

Całkę ostatnią obliczamy w sposób poznany w rozdz. _{1 1}. P r z y k ł a d :

1 xdx

(2 x~ -(-1) ]/.v2 -f- 4

Połóżmy |/.v" -j- 4 = t .

dt 1 J/|I

42

i , y.v2+ 4 - ] / |

więc / = , log

4) / =

2|/14 & l/^24-4 + l/|

A dx

(ax~ -|- y) ]Jax~-\-c Podstawimy: |/ax₂ -j- e = xt,

c ctdi

stąd x * = —---? zatem xdx = — —=-- rz

r — a (t —a)“

dx dx x d x dt

l/a .i-2-f-c xt xH ^{— a}

a więc A d t

}yt- + (ac — ya) P r z y k ł a d :

1= ' dx

(2 A-2 + 1 ) ]/a2 -j- 4

Kładąc |/a2 + 4 = x/, otrzymujemy, jak poprzednio

4 dx d t

— \ j / ^ T f - ! - / 2’

\ dt 1 L t

zatem / = - j — ^ = “ y y arc tg •••-• •

Ponieważ i= = | f e d li, wjęc / = = _ _ L arc tg ^-¡7^ '

a ]/ 7 a ]/7

U w a g a.

Całkę typu: i ----—^ ^7-^-:—-- dx J (OA2 + y)yaA2 + C

wyznaczamy, rozbijajac ją na sumę dwóch całek typów 3) i 4).

Całkę powyższą staramy się sprowadzić do całki typu

' ...( 1 )

(ax2-\-y)]/ax2-{-c

a) Jeżeli a-.a— ft-.b, wówczas podstawieniem b _ l

•V = --- ---h Z

2 a r sprowadzamy naszą całkę do typu (1).

b) Jeżeli a, ¡3 nie są proporcjonalne do liczb a, b czyli, jeżeli n b — a ¡ 3 ^ 0, wówczas podstawiamy:

... ® z-f- 1

Liczby p i q tak dobieramy, by naszą całkę spro­

wadzić do całki typu (1).

Przy powyższem podstawieniu otrzymamy:

I = + \_________ (■Lz + M ) d z

J («i *₂+ & * + ‘/i) l^ i z2-\-bxz -j- Ci

(znak zależy od tego, czy z ^ > — ₁, czy też z < — ₁), gdzie L — {Ap-\-B) (p — q), M = {Aq-\-B){p — q), 0-i ~ (ip" -j-¡3p -[- y, ć₂j = ap1 -f- bp -J- c,

fti=2apq-\r f}(p-\-q)-\-2y, bi -2apq-\-b(p-\-q)-{-2c>

?i — a q2 Pq-\~Y, ci — a q “J\-bqĄ-c.

Wyznaczamy więc p, q tak, by == 0 i b1 — ₀. Należy w tym celu rozwiązać układ równań

2 apq + P (p + <₇) -f ₂ y = ₀ 2 ap q -¡- b(p-\- q)-j-2c= 0

Można wykazać, że równania (3) mają rozwiązania rzeczywiste, jeżeli ab — a ¡3^=0 i /32 — 4a'/<^0.

(/?2 — 4 a y < 0 , a 4 = 0 ) .

P r z y k ł a d y :

a) I = [ _________ ( 2 * + l ) d £

J (,v2 + 2 x + 6) ]/2 x2 + 4 x — 1

Ponieważ współczynniki wielomianów x2 -j- 2 x, 2 x2 -)- 4 x są proporcjonalne, więc podstawiamy

Przy tem podstawieniu otrzymamy (2 z — ₁)dz 44

/==

b) I

r

-

J (z2 + 5)l/2 22 — 3 (2 x — 5) dx

(3 x* — 10 x + 9) 1/5 x*- 1 2 x 4 - 8 pz-\-q

Użyjemy podstawienia x —

Liczby p i q wyznaczymy z równań (3) [str. 43].

Q p q— 1 0 {p -f- q) 4-18 = 0, 1 0 p q_{— 1 2} (p 4-<7)4-16 = 0,

stąd pq — 2,p-\-q— S, więc p — 1, <7 = 2.

z 4-2 1

Podstawiając więc x = — ¡-r = 1 -|---r—r

z -j- 1 z 1

otrzymamy dla z > — 1, t. j. x ]> 1 j _ \ { Z z - \ - l ) d z _____ 0 [ z d z

(2 z2 4" i) V* 4“ 4 ) (2 z2 4" i) V2 '2 4” 4

J ( 2 z > + l ) l / i * + 4

Całki ostatnie obliczyliśmy w przykładach do ty­

pów 3) i 4), (str. 41, 42).

Zatem:

3 , l / ? + 4 — VI 1 Ł l/^* + 4 / = --■==. log M — ₇₇= arc tg ■

2 ]/14 l/z2+ 4 + V I ]/7 z ^ 7

•V—2 ^{. -,/} ]/5x2— 12x-(-8 ponieważ z = — -— — i \z -j- 4 = ... — —--- -— ’

. r 3 ^, ]/5 xs — 12 x +• 8 — (x — 1) V I , więc I = — log , . - -.. .... ... ...rr= -+-

2]/l4 ]/5 x2 — 12 x + 8 + (x — 1)

U

, 1 Ł 1/ 5 x2 — 12 x -(- 8

-f- -7= arc tg ---77=- . . . (1)

r V7 ^(x— 2)1/7

Formuła powyższa ważną jest dla x^> 1.

z -f- 2 Przyjmując teraz, że w podstawieniu x = z<^ —1, a zatem x<0 , otrzymujemy

r_ 3 , y ? + 4 — y i , i t

]/^+i

2i / i i g y ? + 4 + y i + y₇ aic g z ] /i ' Ponieważ z = j / ^ + 4 = - ^ 5 ?- J l JJL £ + g ,

X — 1 X — 1

3 , ^{y5 X}2— ^12“x + 8 — (x— 1> V¥ i

Więc I = --= log ...— ...---77= + 2 J/li l/5x2— 1 2 x + 8 + ( x — l)Vf

. 1 1/5 x2 — 1 2 x -j- 8 _₁_ _ _ arc tg i--- ---

^ 1 / 7 (x — 2) 1/7

Widzimy więc, że formuła (1) jest prawdziwa dla wszystkich wartości zmiennej x. (Dla x = l ważna z powodu ciągłości pochodnej i funkcji podcałkowej).

§ 5. U w agi tyczące się przekształce nia c a łk i )R(x,y)dx. Jakkolwiek podstawienia podane w § 3 ^spro­

wadzają całkę \R{x,g)dx do całki funkcji wymiernej, 45

46

to jednak częstokroć celem uniknięcia żmudnych rachun­

ków, dogodną jest rzeczą funkcję R (x, y) odpowiednio przekształcić.

Zauważmy, że jeżeli n jest liczbą naturalną, zaś y = V a x₂ -(- b x -j- c , wówczas

y*-=(ajr* + 6jc-+c)-, y-n+'^ y - n . y = ( a x 2+ b x + c ) ny.

Widzimy stąd, że wszelki wielomian H(x, y) zmien­

nych x, y da się przedstawić w postaci H(x, y) = lV1(x)-\-UWs(x),

gdzie Wr (x) i Wo (x) są wielomianami zmiennej x. A za­

tem funkcja wymierna R(x,y), jako iloraz dwóch wie­

lomianów, da się przedstawić w postaci:

( , y ) W z M + y W ^ y gdzie W1,Wę! ,W 3,W Ą są pewneini wielomianami.

Mnożąc licznik i mianownik przez W3 (.t)— y z uwagi na to, że [W3 (x) — y Wt (.v)] [Ws (x) -f- y W4 (.v)] =

— Wl (x)— yl W'\ (x) = Pt (,v), (gdzie P, (x) jest wielomia­

nem), otrzymamy

P (y _ Ą W + g Ą W _ W } . _J_ ^ „ _

p m p± w P i w J

_ P₂(x) , P3U )y2 P,(x) 1 Px(x)y

Kładąc więc — T(x), = S(x) mamy R(x,y)==T{x) + ^ - . . . . (1) W i d z i m y stąd, że f u n k c j ę w y m i e r n ą R(x,y) {y .= | a x2 b,v-j-c) m o ż e m y z a w s z e s p r o w a d z i ć do p o s t a c i (1), g d z i e T(x) i S (x) są f u n k c j a m i w y m i e r n e m i.