• Nie Znaleziono Wyników

CAŁKI PODWÓJNE

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "CAŁKI PODWÓJNE"

Copied!
41
0
0

Pełen tekst

(1)

CAŁKI PODWÓJNE

JJ, IMiF UTP

19a

(2)

CAŁKI

PODWÓJNE DEFINICJA. Obszar normalny względem osi 0x , to zbiór Dx = {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, g (x ) ¬ y ¬ h(x )}, gdzie a < b oraz funkcje g (x ) i h(x ) są ciągłe w przedziale [a, b] i spełniają w nim warunek g (x ) ¬ h(x ).

x y

y = h(x )

y = g (x )

a b

Dx

(3)

PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1A.

D = {(x , y ) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2}.

1

1 x

y

2 2

0

D

(4)

CAŁKI PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1A.

D = {(x , y ) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2}.

1

1 x

y

2 2

0

D

(5)

PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1B.

D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ x }.

1

1 2

0 x

y

D

(6)

CAŁKI PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1B.

0 ¬ x ¬ 2

1

1 2

0 x

y

D

(7)

PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1B.

D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ x }.

1

1 2

0 x

y

D y =x

(8)

CAŁKI PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1B.

D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 0¬ y ¬x}.

1

1 2

0 x

y

D

y =0 y =x

(9)

PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1C.

D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 1

2x ¬ y ¬ x }.

1

1 2

0 x

y

D

(10)

CAŁKI PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1C.

0 ¬ x ¬ 2

1

1 2

0 x

y

D

(11)

PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1C.

D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 1

2x¬ y ¬x}.

1

1 2

0 x

y

D y =x

y = 12x

(12)

CAŁKI PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1D.

D = {(x , y ) : −4 ¬ x ¬ 4, 1

4x2 ¬ y ¬ 4}

x y

0 1 2 3 4

−4

4

D

y = 14x2 y = 4

(13)

PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1E.

D = {(x , y ) : −1 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬p1 − x2}.

D

1

−1 0 1 x

y

y = 1 − x2

D

(14)

CAŁKI

PODWÓJNE DEFINICJA. Obszar normalny względem osi 0y , to zbiór Dy = {(x , y ) : c ¬ y ¬ d , p(y ) ¬ x ¬ q(y )}, gdzie c < d oraz funkcje p(y ) i q(y ) są ciągłe w przedziale [c, d ] i spełniają w nim warunek p(y ) ¬ q(y ).

x y

x = q(y ) x = p(y )

c d

Dy

(15)

PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1F.

D = {(x , y ) : 0 ¬ y ¬ 2, 1

2y ¬ x ¬ y }.

1 2

1 2

0 x

y

D

(16)

CAŁKI PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1F.

D = {(x , y ) : 0 ¬ y ¬ 2,

1 2

1 2

0 x

y

D

(17)

PODWÓJNE

PRZYKŁAD 1F.

D = {(x , y ) : 0 ¬ y ¬ 2, 1

2y ¬ x ¬y}.

1 2

1 2

0 x

y

D y = x x = y y = 2x x = 12y

(18)

CAŁKI

PODWÓJNE PRZYKŁAD 1G.

D = {(x , y ) : −1 ¬ y ¬ 1, |y | − 1 ¬ x ¬ |y |}.

1

−1 1 2 x

y

D

DEFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych.

(19)

PODWÓJNE PRZYKŁAD 1G.

D = {(x , y ) : −1 ¬ y ¬ 1, |y | − 1 ¬ x ¬ |y |}.

1

−1 1 2 x

y

D

DEFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych.

(20)

CAŁKI

PODWÓJNE PRZYKŁAD 1G.

D = {(x , y ) : −1 ¬ y ¬ 1, |y | − 1¬ x ¬|y |}.

1

−1 1 2 x

y

D x = |y | x = |y | − 1

DEFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych.

(21)

Załóżmy, że funkcja f (x , y ) jest ograniczona w obszarze regularnym D. Dzielimy zbiór D na n dowolnych obszarów regularnych

D1, . . . , Dn o parami rozłącznych wnętrzach. Niech ∆i, dla i = 1, 2, . . . n, oznacza pole obszaru Di. Największą ze średnic zbiorów D1, . . . , Dn oznaczamy przez δn i nazywamy normą podziału. W każdym zbiorze Di wybieramy dowolnie punkt (xi, yi).

Tworzymy sumę całkową

σn= f (x1, y1)∆1+ f (x2, y2)∆2+ · · · + f (xn, yn)∆n.

Tak postępujemy dla n = 2, 3, . . . otrzymując pewien ciąg podziałów zbioru D. Ciąg ten nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli limn→∞δn= 0.

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów zbioru D istnieje skończona granica limn→∞σn (taka sama bez względu na wybór zbiorów Di oraz punktów (xi, yi)), to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f (x , y ) w zbiorze D.

(22)

CAŁKI PODWÓJNE

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA.

Jeżeli funkcja f jest całkowalna i nieujemna w D, to objętość bryły B = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ f (x , y ), (x , y ) ∈ D} jest równa RRDf (x , y )dx dy .

TWIERDZENIE.

Funkcja ciągła w obszarze regularnym jest w nim całkowalna.

(23)

CAŁKI PODWÓJNE

1 RR

D

f (x , y ) ± g (x , y )dx dy = RR

Df (x , y )dx dy ±RRDg (x , y )dx dy

2 RR

Dλf (x , y )dx dy = λRRDf (x , y )dx dy

3 Gdy D jest sumą obszarów regularnych D1 i D2 o rozłącznych wnętrzach, to

Z Z

D

f (x , y )dx dy = Z Z

D1

f (x , y )dx dy + Z Z

D2

f (x , y )dx dy

(24)

CAŁKI PODWÓJNE

TWIERDZENIE. Gdy f jest ciągła w obszarze normalnym Dx, to

Z Z

Dx

f (x , y )dx dy = Z b

a

 Z h(x )

g (x )

f (x , y )dydx .

TWIERDZENIE. Gdy f jest ciągła w obszarze normalnym Dy, to

Z Z

Dy

f (x , y )dx dy = Z d

c

 Z q(y )

p(y )

f (x , y )dxdy .

(25)

CAŁKI PODWÓJNE

PRZYKŁAD C1.

Oblicz

Z Z

D

2xy dx dy ,

gdy D to obszar ograniczony krzywymi: y = x2, x = y2.

x

x = y2

y = x y = x

y = − x

0 1

D :0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬√ x.

(26)

CAŁKI

PODWÓJNE Oblicz

Z Z

D

2xy dx dy ,

gdy D to obszar ograniczony krzywymi: y = x2, x = y2.

x y

x = y2

x = y2 y = x2 y = x2

y = x

y = − x

0 1

D :0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬√ x.

(27)

PODWÓJNE

Obszar mamy opisany:

D :0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬√ x,

za chwilę zamienimy całkę podwójną na dwie całki pojedyncze, przy liczeniu których będziemy zwracać uwagę na to, co jest zmienną, a co traktujemy jak stałą (podobnie jak przy liczeniu pochodnych cząstkowych).

Na przykład przy liczeniu całki względem y , zmienną jest tylko y , a x traktujemy jak stałą (tak jak 2):

Z

2xydy= 2x ·1

2· y2= xy2

(tu powinno być jeszcze +C , ale stałą pominiemy, gdyż będziemy liczyć całkę oznaczoną).

(28)

CAŁKI PODWÓJNE

Obszar mamy opisany:

D :0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬√ x,

więc zamieniamy całkę podwójną na dwie całki pojedyncze:

Z Z

D

2xy dx dy = Z 1

0

 Z

x

x2

2xy dydx= Z 1

0

xy2y =

x y =x2 dx

= Z 1

0

x(

x )2− x(x2)2dx= Z 1

0

x2− x5dx

=h1 3x3 1

6x6i1

0= 1 6.

(29)

CAŁKI PODWÓJNE

PRZYKŁAD C2.

Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

x = −1, x = 1, y = −1, y = 1, z = 0, z = 2 − x2− y2.

−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1 0 0.5 1

x y

z

(30)

CAŁKI

PODWÓJNE Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

x = −1, x = 1, y = −1, y = 1, z = 0, z = 2 − x2− y2.

−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2

x y

z

(31)

CAŁKI PODWÓJNE

−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2

x y

z

(32)

CAŁKI PODWÓJNE

V = Z 1

−1

hZ 1

−1

(2 − x2− y2)dyidx

= Z 1

−1

h2y − x2y − 13y3iy =1

y =−1dx

= Z 1

−1

h 2 − x2· 1 −13 · 13− −2 − x2· (−1) − 13· (−1)3idx

= Z 1

−1

4 − 2x223)dx = Z 1

−1 10

3 − 2x2dx

=h103x − 2 · 13x3ix =1

x =−1

= 103 · 1 −23 · 13− [103 · (−1) − 23(−1)3]

= 203 43 = 163

(33)

PODWÓJNE

V = 4V1 = Z Z

D1

(2 − x2− y2)dx dy , gdzie

D1 = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1}.

V = 4 Z 1

0

hZ 1 0

(2 − x2− y2)dyidx

= 4 Z 1

0

h2y − x2y −13y3iy =1

y =0

dx

= 4 Z 1

0

2 − x2· 1 −13 · 13dx = 4 Z 1

0 5

3 − x2dx

= 4h53x − 13x3ix =1

x =0= 4 53 13= 163

(34)

CAŁKI PODWÓJNE

PRZYKŁAD C3. Oblicz objętość bryły

ograniczonej powierzchniami x = −1, x = 1, y = −1 y = 1, z = x2+ y2− 2, z = 2 − x2− y2.

−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1

−2

−1 0

x y

z

(35)

PODWÓJNE

ograniczonej powierzchniami x = −1, x = 1, y = −1 y = 1, z = x2+ y2− 2, z = 2 − x2− y2.

−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1

−2

−1 0 1 2

x y

z

(36)

CAŁKI PODWÓJNE

V = Z Z

D

h(2 − x2− y2) − (x2+ y2− 2)idx dy ,

= 2 Z Z

D

(2 − x2− y2)dx dy = 2 · 163 = 323.

−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1

−2

−1 0 1 2

x y

z

(37)

PODWÓJNE

Masa obszaru D:

m = Z Z

D

%(x , y )dx dy ,

współrzędne środka masy:

xs = 1 m

Z Z

D

x %(x , y )dx dy ,

ys = 1 m

Z Z

D

y %(x , y )dx dy ,

gdzie %(x , y ) to gęstość (powierzchniowa masy) w punkcie (x , y ).

(38)

CAŁKI PODWÓJNE

Znajdź położenie środka masy obszaru D ograniczonego krzywymi: y = x2, y = x3, gdy gęstość %(x , y ) = xy .

x y

y = x3 y = x2

0 1

D : 0 ¬ x ¬ 1, x3 ¬ y ¬x2.

(39)

PODWÓJNE

Masa obszaru D:

m = Z Z

D

%(x , y )dx dy = Z Z

D

xy dx dy

= Z 1

0

Z x2 x3

xy dydx = Z 1

0

1

2xy2y =xy =x23dx

= Z 1

0

1

2x · (x2)212x · (x3)2dx

= 12 Z 1

0

(x5− x7)dx

= 1216x618x810 = 12 16 18= 12·241 = 481

(40)

CAŁKI PODWÓJNE

Odcięta środka masy:

xs = 1 m

Z Z

D

x %(x , y )dx dy = 11

48

Z Z

D

x · xy dx dy

= 48 Z 1

0

Z x2 x3

x2y dydx = 48 Z 1

0

1

2x2y2y =xy =x23dx

= 48 ·12 Z 1

0

x2· (x2)2− x2· (x3)2dx = 24 Z 1

0

x6− x8dx

= 24 ·17x719x901 = 24 · 17 19= 24 · 632 = 1621

(41)

PODWÓJNE

Rzędna środka masy:

ys = 1 m

Z Z

D

y %(x , y )dx dy = 11

48

Z Z

D

y · xy dx dy

= 48 Z 1

0

Z x2 x3

xy2dydx = 48 Z 1

0

1

3xy3y =xy =x23dx

= 48 · 13 Z 1

0

x · (x2)3− x · (x3)3dx = 16 Z 1

0

x7− x10dx

= 16 ·18x8111 x1101 = 16 · 18 111 = 16 ·883 = 116

Odpowiedź. Środkiem masy jest punkt 1621,116.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zbiorem wielościennym nazywamy podzbiór przestrzeni Rn będący przecięciem skończonej liczby półprzestrzeni domkniętych. Wielościan jest ograniczonym zbio- rem

Dla uproszczenia implementacji proszę skorzystać z tablicy 10x10, w której skrajne wiersze i kolumny są wypełnione przez ‘c’.. Program powinien zwracać informacje

Warto zwrócić uwagę na to, że otrzymane tu liczby 2 i 4 są wszystkimi takimi liczbami, których odległość od liczby 3 jest równa 1..

Zmiana układu współrzędnych wymaga pomnożenia funkcji podcałkowej

Udowodnij

Ze względu na symetrię problemu prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w jednej trzeciej szerokości studni po jej prawej stronie jest także równe 0,2.. Ponieważ elektron na

Wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n pier- wiastków... Udowodnij, że dla żadnego argumentu całkowitego nie przyjmuje on

• obliczyd pole powierzchni całkowitej ostrosłupa - na podstawie narysowanej siatki 8/235. - na podstawie