CAŁKI PODWÓJNE
JJ, IMiF UTP
19a
CAŁKI
PODWÓJNE DEFINICJA. Obszar normalny względem osi 0x , to zbiór Dx = {(x , y ) : a ¬ x ¬ b, g (x ) ¬ y ¬ h(x )}, gdzie a < b oraz funkcje g (x ) i h(x ) są ciągłe w przedziale [a, b] i spełniają w nim warunek g (x ) ¬ h(x ).
x y
y = h(x )
y = g (x )
a b
Dx
PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1A.
D = {(x , y ) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2}.
1
1 x
y
2 2
0
D
CAŁKI PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1A.
D = {(x , y ) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2}.
1
1 x
y
2 2
0
D
PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1B.
D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ x }.
1
1 2
0 x
y
D
CAŁKI PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1B.
0 ¬ x ¬ 2
1
1 2
0 x
y
D
PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1B.
D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ x }.
1
1 2
0 x
y
D y =x
CAŁKI PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1B.
D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 0¬ y ¬x}.
1
1 2
0 x
y
D
y =0 y =x
PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1C.
D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 1
2x ¬ y ¬ x }.
1
1 2
0 x
y
D
CAŁKI PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1C.
0 ¬ x ¬ 2
1
1 2
0 x
y
D
PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1C.
D = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 2, 1
2x¬ y ¬x}.
1
1 2
0 x
y
D y =x
y = 12x
CAŁKI PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1D.
D = {(x , y ) : −4 ¬ x ¬ 4, 1
4x2 ¬ y ¬ 4}
x y
0 1 2 3 4
−4
4
D
y = 14x2 y = 4
PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1E.
D = {(x , y ) : −1 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬p1 − x2}.
D
1
−1 0 1 x
y
y =√ 1 − x2
D
CAŁKI
PODWÓJNE DEFINICJA. Obszar normalny względem osi 0y , to zbiór Dy = {(x , y ) : c ¬ y ¬ d , p(y ) ¬ x ¬ q(y )}, gdzie c < d oraz funkcje p(y ) i q(y ) są ciągłe w przedziale [c, d ] i spełniają w nim warunek p(y ) ¬ q(y ).
x y
x = q(y ) x = p(y )
c d
Dy
PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1F.
D = {(x , y ) : 0 ¬ y ¬ 2, 1
2y ¬ x ¬ y }.
1 2
1 2
0 x
y
D
CAŁKI PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1F.
D = {(x , y ) : 0 ¬ y ¬ 2,
1 2
1 2
0 x
y
D
PODWÓJNE
PRZYKŁAD 1F.
D = {(x , y ) : 0 ¬ y ¬ 2, 1
2y ¬ x ¬y}.
1 2
1 2
0 x
y
D y = x x = y y = 2x x = 12y
CAŁKI
PODWÓJNE PRZYKŁAD 1G.
D = {(x , y ) : −1 ¬ y ¬ 1, |y | − 1 ¬ x ¬ |y |}.
1
−1 1 2 x
y
D
DEFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych.
PODWÓJNE PRZYKŁAD 1G.
D = {(x , y ) : −1 ¬ y ¬ 1, |y | − 1 ¬ x ¬ |y |}.
1
−1 1 2 x
y
D
DEFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych.
CAŁKI
PODWÓJNE PRZYKŁAD 1G.
D = {(x , y ) : −1 ¬ y ¬ 1, |y | − 1¬ x ¬|y |}.
1
−1 1 2 x
y
D x = |y | x = |y | − 1
DEFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych.
Załóżmy, że funkcja f (x , y ) jest ograniczona w obszarze regularnym D. Dzielimy zbiór D na n dowolnych obszarów regularnych
D1, . . . , Dn o parami rozłącznych wnętrzach. Niech ∆i, dla i = 1, 2, . . . n, oznacza pole obszaru Di. Największą ze średnic zbiorów D1, . . . , Dn oznaczamy przez δn i nazywamy normą podziału. W każdym zbiorze Di wybieramy dowolnie punkt (xi, yi).
Tworzymy sumę całkową
σn= f (x1, y1)∆1+ f (x2, y2)∆2+ · · · + f (xn, yn)∆n.
Tak postępujemy dla n = 2, 3, . . . otrzymując pewien ciąg podziałów zbioru D. Ciąg ten nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli limn→∞δn= 0.
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów zbioru D istnieje skończona granica limn→∞σn (taka sama bez względu na wybór zbiorów Di oraz punktów (xi, yi)), to granicę tę nazywamy całką podwójną funkcji f (x , y ) w zbiorze D.
CAŁKI PODWÓJNE
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA.
Jeżeli funkcja f jest całkowalna i nieujemna w D, to objętość bryły B = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ f (x , y ), (x , y ) ∈ D} jest równa RRDf (x , y )dx dy .
TWIERDZENIE.
Funkcja ciągła w obszarze regularnym jest w nim całkowalna.
CAŁKI PODWÓJNE
1 RR
D
f (x , y ) ± g (x , y )dx dy = RR
Df (x , y )dx dy ±RRDg (x , y )dx dy
2 RR
Dλf (x , y )dx dy = λRRDf (x , y )dx dy
3 Gdy D jest sumą obszarów regularnych D1 i D2 o rozłącznych wnętrzach, to
Z Z
D
f (x , y )dx dy = Z Z
D1
f (x , y )dx dy + Z Z
D2
f (x , y )dx dy
CAŁKI PODWÓJNE
TWIERDZENIE. Gdy f jest ciągła w obszarze normalnym Dx, to
Z Z
Dx
f (x , y )dx dy = Z b
a
Z h(x )
g (x )
f (x , y )dydx .
TWIERDZENIE. Gdy f jest ciągła w obszarze normalnym Dy, to
Z Z
Dy
f (x , y )dx dy = Z d
c
Z q(y )
p(y )
f (x , y )dxdy .
CAŁKI PODWÓJNE
PRZYKŁAD C1.
Oblicz
Z Z
D
2xy dx dy ,
gdy D to obszar ograniczony krzywymi: y = x2, x = y2.
x
x = y2
y = x y = x
y = −√ x
0 1
D :0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬√ x.
CAŁKI
PODWÓJNE Oblicz
Z Z
D
2xy dx dy ,
gdy D to obszar ograniczony krzywymi: y = x2, x = y2.
x y
x = y2
x = y2 y = x2 y = x2
y =√ x
y = −√ x
0 1
D :0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬√ x.
PODWÓJNE
Obszar mamy opisany:
D :0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬√ x,
za chwilę zamienimy całkę podwójną na dwie całki pojedyncze, przy liczeniu których będziemy zwracać uwagę na to, co jest zmienną, a co traktujemy jak stałą (podobnie jak przy liczeniu pochodnych cząstkowych).
Na przykład przy liczeniu całki względem y , zmienną jest tylko y , a x traktujemy jak stałą (tak jak 2):
Z
2xydy= 2x ·1
2· y2= xy2
(tu powinno być jeszcze +C , ale stałą pominiemy, gdyż będziemy liczyć całkę oznaczoną).
CAŁKI PODWÓJNE
Obszar mamy opisany:
D :0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬√ x,
więc zamieniamy całkę podwójną na dwie całki pojedyncze:
Z Z
D
2xy dx dy = Z 1
0
Z
√x
x2
2xy dydx= Z 1
0
xy2y =
√x y =x2 dx
= Z 1
0
x(√
x )2− x(x2)2dx= Z 1
0
x2− x5dx
=h1 3x3− 1
6x6i1
0= 1 6.
CAŁKI PODWÓJNE
PRZYKŁAD C2.
Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
x = −1, x = 1, y = −1, y = 1, z = 0, z = 2 − x2− y2.
−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.5 0 0.5 1 0 0.5 1
x y
z
CAŁKI
PODWÓJNE Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
x = −1, x = 1, y = −1, y = 1, z = 0, z = 2 − x2− y2.
−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2
x y
z
CAŁKI PODWÓJNE
−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.5 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2
x y
z
CAŁKI PODWÓJNE
V = Z 1
−1
hZ 1
−1
(2 − x2− y2)dyidx
= Z 1
−1
h2y − x2y − 13y3iy =1
y =−1dx
= Z 1
−1
h 2 − x2· 1 −13 · 13− −2 − x2· (−1) − 13· (−1)3idx
= Z 1
−1
4 − 2x2−23)dx = Z 1
−1 10
3 − 2x2dx
=h103x − 2 · 13x3ix =1
x =−1
= 103 · 1 −23 · 13− [103 · (−1) − 23(−1)3]
= 203 −43 = 163
PODWÓJNE
V = 4V1 = Z Z
D1
(2 − x2− y2)dx dy , gdzie
D1 = {(x , y ) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1}.
V = 4 Z 1
0
hZ 1 0
(2 − x2− y2)dyidx
= 4 Z 1
0
h2y − x2y −13y3iy =1
y =0
dx
= 4 Z 1
0
2 − x2· 1 −13 · 13dx = 4 Z 1
0 5
3 − x2dx
= 4h53x − 13x3ix =1
x =0= 4 53 −13= 163
CAŁKI PODWÓJNE
PRZYKŁAD C3. Oblicz objętość bryły
ograniczonej powierzchniami x = −1, x = 1, y = −1 y = 1, z = x2+ y2− 2, z = 2 − x2− y2.
−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.5 0 0.5 1
−2
−1 0
x y
z
PODWÓJNE
ograniczonej powierzchniami x = −1, x = 1, y = −1 y = 1, z = x2+ y2− 2, z = 2 − x2− y2.
−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.5 0 0.5 1
−2
−1 0 1 2
x y
z
CAŁKI PODWÓJNE
V = Z Z
D
h(2 − x2− y2) − (x2+ y2− 2)idx dy ,
= 2 Z Z
D
(2 − x2− y2)dx dy = 2 · 163 = 323.
−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.5 0 0.5 1
−2
−1 0 1 2
x y
z
PODWÓJNE
Masa obszaru D:
m = Z Z
D
%(x , y )dx dy ,
współrzędne środka masy:
xs = 1 m
Z Z
D
x %(x , y )dx dy ,
ys = 1 m
Z Z
D
y %(x , y )dx dy ,
gdzie %(x , y ) to gęstość (powierzchniowa masy) w punkcie (x , y ).
CAŁKI PODWÓJNE
Znajdź położenie środka masy obszaru D ograniczonego krzywymi: y = x2, y = x3, gdy gęstość %(x , y ) = xy .
x y
y = x3 y = x2
0 1
D : 0 ¬ x ¬ 1, x3 ¬ y ¬x2.
PODWÓJNE
Masa obszaru D:
m = Z Z
D
%(x , y )dx dy = Z Z
D
xy dx dy
= Z 1
0
Z x2 x3
xy dydx = Z 1
0
1
2xy2y =xy =x23dx
= Z 1
0
1
2x · (x2)2−12x · (x3)2dx
= 12 Z 1
0
(x5− x7)dx
= 1216x6−18x810 = 12 16 −18= 12·241 = 481
CAŁKI PODWÓJNE
Odcięta środka masy:
xs = 1 m
Z Z
D
x %(x , y )dx dy = 11
48
Z Z
D
x · xy dx dy
= 48 Z 1
0
Z x2 x3
x2y dydx = 48 Z 1
0
1
2x2y2y =xy =x23dx
= 48 ·12 Z 1
0
x2· (x2)2− x2· (x3)2dx = 24 Z 1
0
x6− x8dx
= 24 ·17x7−19x901 = 24 · 17 −19= 24 · 632 = 1621
PODWÓJNE
Rzędna środka masy:
ys = 1 m
Z Z
D
y %(x , y )dx dy = 11
48
Z Z
D
y · xy dx dy
= 48 Z 1
0
Z x2 x3
xy2dydx = 48 Z 1
0
1
3xy3y =xy =x23dx
= 48 · 13 Z 1
0
x · (x2)3− x · (x3)3dx = 16 Z 1
0
x7− x10dx
= 16 ·18x8−111 x1101 = 16 · 18 −111 = 16 ·883 = 116
Odpowiedź. Środkiem masy jest punkt 1621,116.