Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Lista nr 6 Elektrotechnika sem.III, studia niestacjonarne, 2019/20

Całkowanie funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

1. Obliczyć:

a) Z

C

ze ^{Re z} dz, gdzie C – łamana o wierzchołkach kolejno: 0, j, 1 + j;

b) Z

C

|z|z dz, gdzie C – półokrąg |z| = 2, Re z > 0, o początku 2j i końcu −2j;

c) Z

C

z

z dz, gdzie C – brzeg półpierścienia {z ∈ C : 1 6 |z| 6 2, Im z > 0} skierowany dodatnio.

2. Obliczyć Z

> AB

f (z) dz, jeżeli:

a) f (z) = ¹ _z , gdzie >

AB jest odcinkiem o początku w punkcie A = z 0 = 1 i końcu B = z 1 = 1 + j;

b) f (z) = _z+1 ^z , gdzie >

AB jest łukiem paraboli y = x ² o początku w A = z 0 = 0 i końcu B = z 1 = 1 + j;

c) f (z) = e ^z , gdzie >

AB jest łukiem półokręgu |z| = 1, y ­ 0, o początku w punkcie A = z ₀ = 1 i końcu B = z ₁ = −1.

3. Obliczyć:

a) Z

> AB zdz 1 + |z| ² , >

AB = {z : z = e ^jt ∧ − ^π ₂ ¬ t ¬ ^π ₂ };

b) Z

> AB

z ³ dz, >

AB = {z : z = 2 cos t + j · sin t ∧ 0 ¬ t ¬ ^π ₂ };

c) Z

> AB

(Rez) ² dz, >

AB = {z : z = t + j · (t − 1) ∧ 0 ¬ t ¬ 1};

d) I

C



sin ² z + z z + 3



dz, C = {z : z = cos t + 2j sin t ∧ 0 ¬ t ¬ 2π}.

4. Obliczyć Z

K

f (z)dz, jeżeli:

a) f (z) = e ^{z ¯} , krzywa K jest odcinkiem o początku w punkcie z 0 = 1 i końcu z 1 = j;

b) f (z) = z · ¯ z, krzywa K jest łamaną zamkniętą skierowaną dodatnio o wierzchołkach 0, 1, j;

c) f (z) = e ^z

arg z , krzywa K jest odcinkiem o początku w punkcie z 0 = 1 + j i końcu z 1 = 2 + 2j.

5. Obliczyć:

a) Z 1+j

0

sin(2j − z) dz; b) Z 0

π 2

e ^2jz dz; c) Z

0

z sin(jz) dz; d) Z 2j

j

ze ^πz

dz

6. Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia, obliczyć:

a) I

C

dz

z(z − 3) , gdzie C – okrąg |z − 3| = 1 skierowany dodatnio;

b) I

C

e ^2z dz

z ² + π ² , gdzie C – okrąg |z + jπ| = 2 skierowany ujemnie;

c) I

C

ze ^z dz

(z − 1) ³ , gdzie C – okrąg |z − 1| = 1 skierowany dodatnio;

d) I

C

dz

(z ² + 1) ⁴ , gdzie C – okrąg |z − j| = 1 skierowany dodatnio;

e) I

C

cos(πz)dz

(z ² − 4) ² , gdzie C – łamana zamknięta o wierzchołkach 1 − j, 3 − j, 2 + j skierowana dodatnio.

7. Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia, obliczyć:

a) I

K(−j;1)

cos z

z ² + 1 dz; b) I

K(j;1)

z ² sin z

z ² + 1 dz; c) I

K(0;1)

z sin ² z

z ² + 4 dz; d) I

K(0;1)

e ^z

z ³ dz; e) I

K(1;2)

z · e ^z z ² − 4 dz;

f) I

K(j;1)

z · e ^z

(z ² + 1) ² dz. g) I

K(−1;2)

e ^z (z + 2) ⁴ dz.

W przykładach a), b) i g) krzywa jest skierowana dodatnio, zaś w przykładach c), d), e), f) jest skierowana ujemnie.

8. Obliczyć całkę

Z

C

dz

(z − 1) ³ · (z + 1) ³ , jeżeli C jest okręgiem skierowanym dodatnio:

a) o promieniu R < 2 i środku w punkcie 1,

b) o promieniu R < 2 i środku w punkcie −1,

c) o promieniu R > 2 i środku w punkcie 1 lub −1.