Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz L[f (t)] = F (s), to L

1 Przekształcenie Laplace’a (kontynuacja)

1.1 Własności przekształcenia Laplace’a - c.d.

Podamy teraz twierdzenie o całkowaniu oryginału

Twierdzenie Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz L[f (t)] = F (s), to L

 Z _t

0

f (τ )dτ



= F (s) s Przykład Na podstawie powyższego twierdzenia mamy

L

Z t 0

cos τ dτ



= 1

s · L[cos t] = 1 s · s

s ² + 1 = 1 s ² + 1 z drugiej strony

L

Z _t

0

cos τ dτ



= L[sin t] = 1 s ² + 1

Większe znaczenie rachunkowe ma twierdzenie o całkowaniu transformaty Twierdzenie Jeżeli funkcja ^{f (t)} _t jest oryginałem oraz L[f (t)] = F (s), to

L

"

f (t) t

#

=

Z ∞ s

F (σ)dσ

Przykład Ponieważ

L[sinh t] = 1 s ² − 1 więc

L

"

sinh t t

#

=

Z ∞ s

dσ

σ ² − 1 = 1 2

Z ∞ s

 1

σ − 1 − 1 σ + 1



dσ = 1

2 ln s + 1 s − 1 Przykład Funkcja sinus całkowy jest określona wzorem

Si(t) =

Z t 0

sin u u du Ponieważ

L[sin t] = 1 s ² + 1 więc

L

 sin t t



=

Z ∞ dσ

σ ² + 1 = π

2 − arctg s = arctg 1

s

L

 sin t t



= 1

s arctg 1 s

Twierdzenie Jeżeli f jest oryginałem i funkcją okresową o okresie T , to jej transformata jest postaci

F (s) = 1 1 − e ^{−T s}

Z T 0

f (t) e ^−st dt

Przykład Rozważmy funkcję

f (t) = sin t · η(sin t), t ∈ R +

Funkcję f można przedstawić w postaci

f (t) =



 

 

 

 

0 t < 0

sin t 2nπ < t < (2n + 1)π

0 (2n + 1)π ¬ t ¬ (2n + 2)π, n = 0, 1, 2, . . . Funkcja f jest okresowa i T = 2π, zatem

L[f (t)] = 1 1 − e ^−2πs

Z 2π 0

f (t) e ^−st dt = 1 1 − e ^−2πs

Z π 0

sin t · e ^−st dt =

= 1

1 − e ^−2πs · 1 1 + s ²

 1 + e ^{−πs } = 1

1 + s ² · 1 1 − e ^−πs

1.2 Wykorzystanie przekształcenia Laplace’a w teorii obwodów

Przykład Rozważmy obwód elektryczny, w którym opornik o oporności R, cewkę o in-

dukcyjności L i kondensator o pojemności C połączono jak na poniższym rysunku

i

R

u _R

L

u _L

C

u _C

e

W chwili t = 0 do tego obwodu włączono siłę elektromotoryczną e(t). Wtedy dla t > 0, zgodnie z prawem Kirchoffa mamy

u R (t) + u L (t) + u C (t) = e(t)

gdzie u R (t), u L (t), u C (t) oznaczają odpowiednio spadki napięć na oporniku, cewce i kondesn- satorze w chwili t. Uwzględniając związki między napięciem i natężeniem prądu w obwodzie na poszczególnych jego elementach dostajemy

u _R (t) = R · i(t), u _L (t) = L · di

dt , u _C (t) = 1 C

Z t 0

i(τ )dτ + u _C (0),

gdzie i(t) oznacza natężenie prądu w obwodzie w chwili t. Stąd otrzymujemy równanie, które spełnia natężenie pradu i(t)

R · i(t) + L · di dt + 1

C

Z t 0

i(τ )dτ + u _C (0) = e(t).

Załóżmy teraz, że i(t) i e(t) są oryginałami i zastosujmy do obu stron powyższego równania przekształcenie Laplace’a

R · I(s) + L · (sI(s) − i(0)) + 1

Cs · I(s) + u _C (0)

s = E(s), gdzie I(s) = L[i(t)] oraz E(s) = L[e(t)]. Stąd

I(s) = E(s) − ^u

_s ⁽⁰⁾ + L · i(0)

R + sL + ¹

C

I(s) = E(s) R + sL + _Cs ¹

Jeśli znamy funkcję e(t), to możemy wyznaczyć jej transformatę E(s), a wtedy i(t) = L ⁻¹ [I(s)]

1.3 Metoda operatorowa rozwiązywania układów równań różnicz- kowych

Przykład Znajdziemy rozwiązanie układu równań







2y

+ z

− y + 2z = 0 y

+ 3z

− 3y + z = 0 spełniające warunki y(0) = 1, z(0) = 0.

Oznaczając Y = L[y], Z = L[z] i obliczając transformaty obydwu stron równań mamy







2sY + sZ − Y + 2Z = 2 sY + 3sZ − 3Y + Z = 1

Jest układ równań algebraicznych, którego rozwiązaniem jest

Y = s

s ² + 1 Z = 1 s ² + 1 skąd

y = cos t, z = sin t dla t > 0.

1.4 Splot funkcji

Niech funkcje f i g będą całkowalne w przedziale [0; T ], T < ∞. Splot funkcji f i g oznaczamy f ? g i określamy wzorem

f (t) ? g(t) =

Z _t

0

f (τ )g(t − τ )dτ

Przykład Splot funkcji f (t) = t i g(t) = e ^t wynosi t ? e ^t =

Z t 0

τ e ^t−τ dτ = e ^t − t − 1

Przykład Splot funkcji f (t) = sin t i g(t) = cos t wynosi sin t ? cos t =

Z t 0

sin τ cos(t − τ )dτ = 1 2 t sin t Podamy teraz własności splotu

1. f ? g = g ? f

2. [f ? g] ? h = f ? [g ? h]

3. f ? [g + h] = f ? g + f ? h 4. [cf ] ? g = c[f ? g]

Twierdzenie (Borela o splocie) Jeżeli funkcje f i g są oryginałami, to L[f (t) ? g(t)] = L[f (t)] · L[g(t)]

Przykłady

L[sin t ? t] = L[sin t] · L[t] = 1 s ² + 1 · 1

s ² = 1

s ² (s ² + 1)

L[sin t ? e ^t ] = L[sin t] · L[e ^t ] = 1

s ² + 1 · 1

s − 1 = 1

s ³ − s ² + s − 1

Twierdzenie Jeżeli funkcje f i g są oryginałami oraz L[f (t)] = F (s) i L[g(t)] = G(s), to L ⁻¹ [F (s) · G(s)] = f (t)] ? g(t)

Przykład Wyznaczymy oryginał, którego transformatą jest funkcja _s(s

¹ +1) . Przyjmujemy F (s) = ¹ _s , G(s) = _s

¹ +1 , stąd mamy f (t) = 1, g(t) = sin t. Zatem

L ⁻¹ [F (s) · G(s)] = L ⁻¹ [F (s)] ? L ⁻¹ [G(s)] = 1 ? sin t =

Z t 0

sin(t − τ )dτ = 1 − cos t