‘ cie ca lki (ca lki pierwszej) mo˙zna wprowadzi´ c dla r´ ownania

W paragrafie 6 przy badaniu rozwia

‘ za´ n r´ ownania P (x, y) + Q(x, y)y ⁰ = 0 wprowadzono poje

‘ cie ca lki r´ ownania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek r´ ownania. Znajomo´ s´ c ca lki r´ ownania dawa la mo˙zliwo´ s´ c wyznaczania rozwia

‘ za´ n danego r´ ownania. Analogiczne poje

‘ cie ca lki (ca lki pierwszej) mo˙zna wprowadzi´ c dla r´ ownania

y ⁰ = f (x, y), gdzie funkcja f : G → R jest funkcja ‘ cia

‘ g la

‘ w obszarze G ⊂ R ² . Nie zawsze takie ca lki istnieja

‘ , a je´ sli istnieja

‘ , to ich wyznaczenie mo˙ze okaza´ c sie

‘ do´ s´ c skom- plikowane, ba

‘ d´ z nawet niemo˙zliwe (por. ´ cwiczenie 5.3).

Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych normalny

(1) y ⁰ = F (x, y),

gdzie F : G → R ⁿ , F = (f 1 , . . . , f n ) jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszrze G ⊂ R ⁿ⁺¹ . Funkcje

‘ u : G 0 → R klasy C 1 okre´ slona

‘ w obszarze G 0 ⊂ G nazywamy ca lka ‘ pierwsza

‘ uk ladu r´ owna´ n (1), gdy jest ona sta la wzd lu˙z ka˙zdego rozwia

‘ zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja

‘ cym w obszarze G 0 . Dok ladniej, dla ka˙zdego rozwia

‘ zania Φ : I → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) takiego, ˙ze (x, Φ(x)) ∈ G 0 dla x ∈ I istnieje sta la γ taka, ˙ze

(2) u(x, Φ(x)) = γ, x ∈ I.

Twierdzenie 1. Niech u : G 0 → R be ‘ dzie funkcja

‘ klasy C 1 okre´ slona

‘ w obszarze G ₀ ⊂ G. Funkcja u jest ca lka ‘ pierwsza

‘ uk ladu r´ owna´ n (1) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona rozwia

‘ zaniem r´ ownania o pochodnych cza

‘ stkowych postaci (3) u ⁰ _x (x, y 1 , . . . , y n ) +

X n k=1

u ⁰ _y

_k

(x, y 1 , . . . , y n )f k (x, y 1 , . . . , y n ) = 0.

Dow´ od. Za l´ o˙zmy najpierw, ˙ze funkcja u : G ₀ → R klasy C 1 jest ca lka

‘ pierwsza uk ladu r´ owna´ n (1). We´ zmy dowolny punkt (ξ, η) = (ξ, η 1 , . . . , η n ) ∈ G 0 . Poka˙ze- ‘ my, ˙ze w tym punkcie zachodzi r´ owno´ s´ c (3). Istotnie, niech Φ : I → R ⁿ , Φ = (ϕ 1 , . . . , ϕ n ) be

‘ dzie dowolnym rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1) o wykresie prze- biegaja

‘ cym w G ₀ i takim, ˙ze Φ(ξ) = η. Istnieje wtedy sta la γ taka, ˙ze u(x, Φ(x)) = γ, x ∈ I.

Sta ‘ d po zr´ o˙zniczkowaniu wynikaja

‘ r´ owno´ sci u ⁰ _x (x, Φ(x)) +

X n k=1

u ⁰ _y

k

(x, Φ(x))ϕ ⁰ _k (x) = 0, x ∈ I.

W szczeg´ olno´ sci, po uwzgle

‘ dnieniu faktu

Φ ⁰ (ξ) = F (ξ, Φ(ξ)) = F (ξ, η)

1

zachodzi r´ owno´ s´ c

u ⁰ _x (ξ, η)) + X n k=1

u ⁰ _y

k

(ξ, η)f _k (ξ, η) = 0, czyli r´ owno´ s´ c (3) w punkcie (ξ, η) ∈ G 0 .

Odwrotnie, niech dana be

‘ dzie funkcja u : G 0 → R, klasy C 1 , dla kt´ orej zachodza r´ owno´ sci (3) w G ₀ . We´ zmy dowolne rozwia ‘

‘ zanie Φ : I → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) o wykresie przebiegaja

‘ cym w G 0 . W´ owczas funkcja u(x, Φ(x)), x ∈ I jest funkcja r´ o˙zniczkowalna ‘

‘ na I oraz zachodza

‘ r´ owno´ sci d

dx u(x, Φ(x)) = u ⁰ _x (x, Φ(x)) + X n k=1

u ⁰ _y

k

(x, Φ(x))f _k (x, Φ(x)), x ∈ I.

Sta ‘ d, z uwagi na (3) mamy d

dx u(x, Φ(x)) = 0, x ∈ I.

Istnieje wie

‘ c liczba γ taka, ˙ze

u(x, Φ(x)) = γ, x ∈ I.

To oznacza, ˙ze funkcja u jest ca lka

‘ pierwsza

‘ uk ladu r´ owna´ n (1).

To ko´ nczy dow´ od.

Niech dane be

‘ da

‘ funkcje u 1 , . . . , u n : G 0 → R klasy C 1 i niech be

‘ da

‘ one ca lkami pierwszymi uk ladu r´ owna´ n (1). Po l´ o˙zmy U = (u ₁ , . . . , u _n ) i za l´ o˙zmy, ˙ze jakobian det( ^∂U _∂y ) jest stale r´ o˙zny od 0. W my´ sl twierdzenia o funkcji odwrotnej dla ka˙zdego (ξ, η) = (ξ, η ₁ , . . . η _n ) ∈ G 0 je˙zeli ζ = U (ξ, η), to istnieja

‘ liczby dodatnie ε i δ takie,

˙ze dla (x, z) ∈ R ⁿ⁺¹ , |x−ξ| < δ, |z−ζ| < δ istnieje dok ladnie jedno y ∈ R ⁿ , |y−η| < ε takie, ˙ze U (x, y) = z. Przy oznaczeniu y = Φ(x, z) oczywi´ scie zachodza

‘ to˙zsamo´ sci (4) U (x, Φ(x, z)) = z oraz Φ(x, U (x, y)) = y

odpowiednio w dostatecznie ma lych otoczeniach punktu (ξ, ζ) oraz (ξ, η).

Przy powy˙zszych oznaczeniach i za lo˙zeniach mamy

Twierdzenie 2. Przy ka˙zdym ustalonym z dostatecznie bliskim ζ odwzorowanie Φ(x, z) jest rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1) w dostatecznie ma lym otoczeniu punk- tu ξ. Co wie

‘ cej, je˙zeli funkcja u : G ₀ → R jest klasy C 1 , to jest ona ca lka

‘ pierwsza uk ladu r´ owna´ n (1) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja w okre´ slona w dostate- ‘ cznie ma lym otoczeniu punktu ζ, klasy C 1 taka, ˙ze zachodzi to˙zsamo´ s´ c

(5) u(x, y) = w(U (x, y))

w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η).

Dow´ od. Poniewa˙z funkcje u 1 , . . . , u n klasy C 1 sa

‘ ca lkami pierwszymi uk ladu r´ ow- na´ n (1), to spe lniaja

‘ one r´ ownania o pochodnych cza

‘ stkowych postaci (3) i w kon- sekwencji dla odwzorowania U mamy to˙zsamo´ s´ c

∂U

∂x (x, y) + ∂U

∂y (x, y)F (x, y) = 0,

ska ‘ d

(6) ( ∂U

∂y ) ⁻¹ ∂U

∂x (x, y) + F (x, y) = 0

w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η). Poniewa˙z Φ jest odwzorowaniem odwrotnym do U , to z (4) otrzymujemy

(7) 0 = ∂Φ

∂x + ∂Φ

∂z

∂U

∂x = ∂Φ

∂x + ( ∂U

∂y ) ⁻¹ ∂U

∂x .

Z (6) i (7) otrzymujemy, ˙ze przy ka˙zdym ustalonym z dostatecznie bliskim ζ odw- zorowanie Φ w pewnym otoczeeniu ξ jest rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1).

Za l´ o˙zmy teraz, ˙ze funkcja u : G ₀ → R klasy C 1 jest ca lka

‘ pierwsza

‘ uk ladu r´ owna´ n (1). We´ zmy pod uwage

‘ funkcje

‘

v(x, z) = u(x, Φ(x, z)) okre´ slona

‘ w pewnym otoczeniu punktu (ξ, ζ). Poniewa˙z funkcja v jest klasy C ₁ , wie ‘ c z wykazanej pierwszej cze

‘ ´ sci twierdzenia otrzymujemy

∂v

∂x = u ⁰ _x + X n k=1

u ⁰ _y

_k

f k ,

co z uwagi na twierdzenie 1 daje ^∂v _x = 0. W konsekwencji funkcja v nie zale˙zy od zmiennej x i za szukana

‘ funkcje

‘ w wystarczy przyja

‘ ´ c funkcje

‘ v.

Odwrotnie, za l´ o˙zmy, ze istnieje funkcja w klasy C ₁ taka, ˙ze zachodzi r´ owno´ s´ c (5) w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η). W´ owczas z (5) wynika r´ owno´ s´ c

u ⁰ _x + X n k=1

u ⁰ _y

k

f _k = X n j=1

w _z ⁰

j

( ∂u _j

∂x + X n k=1

∂u _j

∂y k

f _k ) = 0

w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η), gdy˙z ka˙zdy sk ladnik ostatniej sumy na mocy twierdzenia 1 jest r´ owny 0.

To ko´ nczy dow´ od.

Przy dodatkowym za lo˙zeniu o odwzorowaniu F zachodzi twierdzenie o istnieniu n ca lek pierwszych uk ladu r´ owna´ n (1) ”jakobianowo” niezale˙znych.

Twierdzenie 3. Je˙zeli prawa strona F uk ladu r´ owna´ n (1) jest odwzorowaniem cia ‘ g lym w obszarze G ⊂ R ⁿ⁺¹ i posiada cia

‘ g le pochodne cza

‘ stkowe F _y ⁰

j

, j = 1, . . . , n, to w otoczeniu ka˙zdego punktu (ξ, η) ∈ G istnieje n ca lek pierwszych u ₁ , . . . , u _n klasy C ₁ takich ˙ze jakobian det( ^∂U _∂y ) odwzorowania U = (u ₁ , . . . , u _n ) jest r´ o˙zny od zera.

Dow´ od. Z przyje

‘ tych za lo˙ze´ n dla odwzorowania F wynika, ˙ze istnieje odwzorowanie og´ olne φ : V → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) posiadaja

‘ ce cia

‘ g le pochodne cza

‘ stkowe φ ⁰ _ξ , φ ⁰ _η

_j

, kt´ ore spe lniaja

‘ uk lad r´ owna´ n Bendixona (8) φ ⁰ _ξ (ξ, η, x) +

X n j=1

φ ⁰ _η

j

(ξ, η, x)f j (ξ, η) = 0, (ξ, η, x) ∈ V.

Ustalmy punkt (ξ, η) ∈ G i rozwa˙zmy w pewnym otoczeniu G 0 punktu (ξ, η) odw- zorowanie

U (x, y) = φ(x, y, ξ), (x, y) ∈ G 0 . Korzystaja

‘ c ba

‘ d´ z z prostej w lasno´ sci odwzorowania og´ olnego otrzymujemy dla dowolnego rozwia

‘ zania Φ : I → R ⁿ , ξ ∈ I uk ladu r´owna´n (1) r´owno´s´c (9) U (x, Φ(x)) = φ(x, Φ(x), ξ) = Φ(ξ), x ∈ I,

ba ‘ d´ z korzystaja

‘ c z (8) otrzymujemy r´ owno´ s´ c (10) U _x ⁰ (x, y) +

X n j=1

U _y ⁰

J

(x, y)f j (x, y) = 0, (x, y) ∈ G 0

Ka˙zda z to˙zsamo´ sci (9), ba

‘ d´ z (10) po uwzgle

‘ dnieniu ba

‘ d´ z definicji ca lki pierwszej, ba ‘ d´ z po uwzgle

‘ dnieniu twierdzenia 1 oznacza, ˙ze ka˙zda sk ladowa odwzorowania U jest ca lka

‘ pierwsza

‘ uk ladu r´ owna´ n (1).

Z to˙zsamo´ sci

φ(ξ, η, ξ) = η

(por. w lasno´ s´ c 17.1) wynika, ˙ze macierz ^∂φ _∂η (ξ, η, ξ) jest jednostkowa, wie

‘ c z uwagi na twierdzenie 17.4 w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η) jakobian det( ^∂U _∂y ) jest r´ o˙zny od zera (por. r´ ownie˙z ´ cwiczenie 17.2).

To ko´ nczy dow´ od.

Cwiczenia ´

1. Wyznaczy´ c ca lki pierwsze r´ ownania o rozdzielonych zmiennych, r´ ownania jednorodnego, zupe lnego oraz r´ ownania liniowego.

2. Wyznaczy´ c dwie ca lki pierwsze jakobianowo niezale˙zne uk ladu r´ owna´ n ( y ₁ ⁰ = _y ^{x −y}

²

2

−y

1

y ₂ ⁰ = _y ^y

¹

^−x

2

−y

1

. Wyznaczy´ c rozwia

‘ zanie danego uk ladu r´ owna´ n przechodza

‘ ce przez punkt (ξ, η 1 , η 2 ) ∈ R ³ , η 1 6= η 2 .

§20. O uk ladach autonomicznych r´owna´n r´ o ˙zniczkowych. Uk lady dynamiczne.

Niech dany be

‘ dzie uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych normalny

(1) y ⁰ = F (y),

gdzie F : G → R ⁿ jest odwzorowaniem cia

‘ g lym w obszarze G ⊂ R ⁿ . Prawa strona uk ladu r´ owna´ n (1) nie zale˙zy tutaj od zmiennej x. Uk lad r´ owna´ n (1) nazywa´ c be ‘ dziemy uk ladem autonomicznym.

Je˙zeli F = (f 1 , . . . , f n ) i funkcja f 1 nie przyjmuje warto´ sci 0 w ˙zadnym punkcie

obszaru G. W´ owczas

Twierdzenie 1. Je˙zeli funkcja u : G 0 → R klasy C 1 w obszarze G 0 ⊂ G jest ca lka ‘ pierwsza

‘ uk ladu r´ owna´ n

dy 2

dy ₁ = f 2 (y 1 , . . . , y n ) f ₁ (y ₁ , . . . , y _n )

. . . dy _n

dy 1

= f _n (y ₁ , . . . , y _n ) f 1 (y 1 , . . . , y n ) , to jest ona te˙z ca lka

‘ pierwsza

‘ uk ladu r´ owna´ n (1).

Dow´ od. Na mocy twierdzenia 1 z poprzedniego paragrafu dla funkcji u w obszarze G ₀ zachodzi r´ owno´ s´ c

u ⁰ _y

₁

(y 1 , . . . y n ) + X n k=2

u ⁰ _y

_k

(y 1 , . . . , y n ) · f k (y 1 , . . . , y n ) f 1 (y 1 , . . . , y n ) = 0.

Sta ‘ d

u ⁰ _x (y 1 , . . . y n ) + X n k=1

u ⁰ _y

_k

(y 1 , . . . , y n ) · f k (y 1 , . . . , y n ) = 0.

To oznacza zn´ ow, w my´ sl twierdzenia 1 z poprzedniego paragrafu, ˙ze funkcja u jest ca lka

‘ pierwsza

‘ uk ladu r´ owna´ n (1).

W dalszym cia

‘ gu za lo˙zymy, ˙ze G = R ⁿ . Za l´ o˙zmy, ˙ze przez ka˙zdy punkt (ξ, η) ∈ R×R ⁿ przechodzi dok ladnie jedno rozwia

‘ zanie integralne uk ladu r´ owna´ n (1), kt´ ore jest okre´ slone na ca lej prostej R. Przy tych za lo˙zeniach rozwia ‘ zanie charakterysty- czne φ : V → R ⁿ uk ladu r´ owna´ n (1) jest okre´ slone na zbiorze V = R × R ⁿ × R.

W §17 pokazano, ˙ze dla rozwia ‘ zania charakterystecznego φ zachodza

‘ r´ owno´ sci:

(2) φ(ξ, η, ξ) = η, (ξ, η) ∈ R × R ⁿ

oraz dla ka˙zdych ustalonych ξ, ξ 1 ∈ R, η ∈ R ⁿ

(3) φ(ξ, η, x) = φ(ξ 1 , φ(ξ, η, ξ 1 ), x), x ∈ R (por. w lasno´ s´ c 17.1).

R´ owno´ sci (2) i (3) wykorzystamy dalej przy badaniu uk ladu r´ owna´ n (1).

W lasno´ s´ c 1. Przy przyje

‘ tych oznaczeniach i za lo˙zeniach dla uk ladu r´ owna´ n (1), dla ka˙zdego punktu (ξ, η) ∈ R×R ⁿ oraz dla ka˙zdego t ∈ R odwzorowanie Λ : R → R ⁿ dane wzorem

Λ(x) = φ(ξ + t, η, x + t), x ∈ R jest rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1) identycznym z rozwia

‘ zaniem φ(ξ, η, x), x ∈ R, to znaczy zachodzi r´owno´s´c

(4) φ(ξ + t, η, x + t) = φ(ξ, η, x), x ∈ R.

Dow´ od. Odwzorowanie Λ jest rozwia

‘ zaniem uk ladu r´ owna´ n (1). Istotnie, na mocy okre´ slenia rozwia

‘ zania charakterystycznego mamy Λ ⁰ (x) = ∂

∂x φ(ξ + t, η, x + t) = F (φ(ξ + t, η, x + t)) = F (Λ(x)), x ∈ R.

Ponadto, z r´ owno´ sci (2), mamy Λ(ξ) = η, co z uwagi na za lo˙zona

‘ jednoznaczno´ s´ c rozwia

‘ za´ n uk ladu r´ owna´ n (1) daje r´ owno´ s´ c (4).

Dla uk ladu r´ owna´ n (1) i jego rozwia

‘ zania charakterystycznego utw´ orzmy odwzo- rowanie Ψ : R × R ⁿ → R ⁿ okre´ slone wzorem

(5) Ψ(x, y) = φ(0, y, x).

W lasno´ s´ c 2. Odwzorowanie Ψ jest cia

‘ g le, ponadto dla ka˙zdego t ∈ R zachodzi r´ owno´ s´ c

(6) Ψ(x + t, y) = Ψ(x, Ψ(t, y)), (x, y) ∈ R × R ⁿ .

Dow´ od. Cia

‘ g lo´ s´ c odwzorowania Ψ wynika bezpo´ srednio z cia

‘ g lo´ sci odwzorowania charakterystycznego φ.

W my´ sl okre´ slenia odwzorowania (5) i r´ owno´ sci (3) otrzymujemy, przy ka˙zdym ustalonym t ∈ R

Ψ(x + t, y) = φ(0, y, x + t) = φ(t, φ(0, y, t), x + t), ska ‘ d z uwagi na (4) i okre´ slenie (5) otrzymujemy

Ψ(x + t, y) = φ(0, φ(0, y, t), x) = φ(0, Ψ(t, y), x) = Ψ(x, Ψ(t, y)).

To ko´ nczy dow´ od.

Niech X be

‘ dzie dowolna

‘ przestrzenia

‘ topologiczna

‘ . Niech dane be

‘ dzie odw- zorowanie cia

‘ g le Ψ : R × X → X. Pare

‘ (X, Ψ) nazywamy uk ladem dynamicznym je˙zeli dla ka˙zdego y ∈ X oraz dowolnych x, t ∈ R zachodza ‘ r´ owno´ sci

(7) Ψ(0, y) = y,

(8) Ψ(x + t, y) = Ψ(x, Ψ(t, y)).

Twierdzenie 2. Niech odwzorowanie F : R ⁿ → R ⁿ be

‘ dzie odwzorowaniem cia

‘ g lym i takim, ˙ze przez ka˙zdy punkt (ξ, η) ∈ R×R ⁿ przechodzi dok ladnie jedno rozwia

‘ zanie integralne uk ladu r´ owna´ n (1) okre´ slone na ca lej prostej R. Niech φ : R × R ⁿ × R → R ⁿ be

‘ dzie rozwia

‘ zaniem charakterystycznym uk ladu r´ owna´ n (1). W´ owczas uk lad r´ owna´ n (1) wyznacza uk lad dynamiczny ( R ⁿ , Ψ), gdzie

Ψ(x, y) = φ(0, y, x), (x, y) ∈ R × R ⁿ .

Dow´ od. Wynika bezpo´ srednio z w lasno´ sci 2 i r´ owno´ sci (2).

Cwiczenia ´

1. Wyznaczy´ c ca lke

‘ pierwsza

‘ uk ladu r´ owna´ n Volterry - Lotki y ⁰ ₁ = (by ₂ − a)y 1

y ₂ ⁰ = (c − dy 1 )y 2 , gdzie a, b, c, d sa

‘ sta lymi dodatnimi.

2. Wyznaczy´ c uk lady dynamiczne generowane przez r´ ownania r´ o˙zniczkowe y ⁰ = 1

e ^y + e ^−y ,

y ⁰ = 1 3y ² + 3 . 3. Niech A = [a k,l ] 1 ≤k,l≤n , gdzie a k,l ∈ R be

‘ dzie macierza

‘ kwadratowa

‘ , I = [δ _k,l ] _1≤k,l≤n , gdzie δ _k,l = 1, gdy k = l, za´ s δ _k,l = 0, gdy k 6= l, macierza ‘ jednostkowa

‘ . Okre´ slmy macierz e ^A jako sume

‘ szeregu I + A + 1

2! A ² + 1

3! A ³ + . . . = X ∞ k=0

1 k! A ^k . Sume ‘ te

‘ rozumiemy jako granice

‘ cia

‘ gu sum cze

‘ ´ sciowych (kt´ ora zawsze istnieje) w przestrzeni macierzy R ⁿ

²

.

W teorii r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych dowodzi sie

‘ , ˙ze je˙zeli wektory η ₁ , . . . , η _n ∈ R ⁿ tworza

‘ baze

‘ w przestrzeni R ⁿ , to wektory

e ^xA η ₁ , . . . , e ^xA η _n , x ∈ R tworza

‘ uk lad fundamentalny rozwia

‘ za´ n uk ladu r´ owna´ n y ⁰ = Ay.

Niech dana be

‘ dzie macierz A =



 2 −2 2

−2 2 −2

2 −2 2



 .

Wykaza´ c, ˙ze uk lad r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych y ⁰ = Ay indukuje uk lad dynamiczny ( R ³ , Ψ), gdzie

Ψ(x, y) = e ^xA y, x ∈ R, y ∈ R ³ .

§21. R´ownania r´o˙zniczkowe o pochodnych cza ‘ stkowych rze

‘ du pierwszego.

R´ ownaniem r´ o˙zniczkowym o pochodnych cza

‘ stkowych rze

‘ du pierwszego nazy- wamy r´ ownanie postaci

F (z, x 1 , . . . , x n , ∂z

∂x 1

, . . . , ∂z

∂x n

) = 0 gdzie F : D → R jest zadana ‘ funkcja

‘ w pewnym obszarze D ⊂ R ²ⁿ⁺¹ . Rozwia

‘ - zaniem tego r´ ownania nazywamy ka˙zda

‘ funkcje

‘ ϕ : G → R okre´slona

‘ w jakim´ s obszarze G ⊂ R ⁿ taka

‘ , ˙ze dla ka˙zdego (x 1 , . . . , x n ) ∈ G zachodza ‘ relacje (x ₁ , . . . , x _n , ϕ(x ₁ , . . . , x _n ), ∂ϕ

∂x 1

(x ₁ , . . . , x _n ), . . . , ∂ϕ

∂x n

(x ₁ , . . . , x _n )) ∈ D i

F (x ₁ , . . . , x _n , ϕ(x ₁ , . . . , x _n ), ∂ϕ

∂x 1

(x ₁ , . . . , x _n ), . . . , ∂ϕ

∂x n

(x ₁ , . . . , x _n )) = 0.

Rozwa˙za´ c tutaj be

‘ dziemy r´ ownania postaci (1) f ₁ (x ₁ , . . . , x _n ) ∂z

∂x 1

+ · · · + f n (x ₁ , . . . , x _n ) ∂z

∂x n

= 0,

gdzie f 1 , . . . , f n : G → R sa ‘ danymi funkcjami klasy C 1 w obszarze G ⊂ R ⁿ , kt´ ore nie znikaja

‘ jednocze´ snie w ˙zadnym punkcie zbioru G. R´ ownanie (1) nazywa´ c be ‘ dziemy r´ ownaniem r´ o˙zniczkowym liniowym jednorodnym o pochodnych cza

‘ stko- wych.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, ˙ze f 1 (x 1 , . . . , x n ) 6= 0 dla (x 1 , . . . , x n ) ∈ G.

Rozwa˙zmy uk lad r´ owna´ n zwyczajnych dy ₂

dx = f ₂ (x, y ₂ , . . . , y _n ) f 1 (x, y 2 , . . . , y n )

(2) . . .

dy n

dx = f n (x, y 2 , . . . , y n ) f ₁ (x, y ₂ , . . . , y _n ) w obszarze G. Niech P 0 = (ξ 1 , ξ 2 , . . . ξ n ) be

‘ dzie dowolnym punktem obszaru G.

Niech funkcje u ₂ = u ₂ (x, y ₂ , . . . , y _n ), . . . , u _n = u _n (x, y ₂ , . . . , y _n ), klasy C ₁ be

‘ da ca lkami pierwszymi uk ladu r´ owna´ n (1) w pewnym otoczeniu punktu P 0 takimi, ˙ze ‘ jakobian

(3) det ∂(u ₂ , . . . , u _n )

∂(y 2 , . . . , y n ) nie znika w tym otoczeniu. W´ owczas zachodzi Twierdzenie 1. Og´ o l rozwia

‘ za´ n r´ ownania (1) w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu P ₀ jest postaci

(4) ϕ(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = w(u 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ), . . . , u n (x 1 , x 2 , . . . , x n )), gdzie w jest dowolna

‘ funkcja

‘ o cia

‘ g lych pochodnych cza

‘ stkowych w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu

Q 0 = (ζ 2 , . . . , ζn) = (u 2 (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ), . . . , u n (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n )) ∈ R ^{n −1} Dow´ od. Poniewa˙z funkcje u ₂ , . . . , u _n sa

‘ ca lkami pierwszymi uk ladu r´ owna´ n (2), to w pewnym otoczeniu punktu P 0 zachodza

‘ r´ owno´ sci

∂u k

∂x + X n

l=1

∂u k

∂y _l · f l

f ₁ = 0 k = 2, . . . , n, czyli r´ owno´ sci

(5) f 1

∂u k

∂x + X n

l=1

f l

∂u k

∂y _l = 0 k = 2, . . . , n.

Wida´ c wie

‘ c, ˙ze ca lki pierwsze u 2 , . . . , u n uk ladu r´ owna´ n (1) sa

‘ jednocze´ snie rozwia

‘ -

zaniami r´ ownania (1) w pewnym otoczeniu punktu P ₀ .

We´ zmy dowolna

‘ funkcje

‘ w o pochodnych cza

‘ stkowych cia

‘ g lych w otoczeniu punktu Q ₀ i utw´ orzmy w pewnym otoczeniu punktu P ₀ funkcje

‘ postaci (4). Funkcja ta posiada cia

‘ g le pochodne cza

‘ stkowe w otoczeniu puktu P 0 i z uwagi na (5), zachodza

‘ w tym otoczeniu r´ owno´ sci f 1

∂ϕ

∂x ₁ + · · · + f n

∂ϕ

∂x _n = f 1

X n j=2

∂w

∂z _j

∂u j

∂x + f 2

X n j=2

∂w

∂z _j

∂u j

∂y ₂ + · · · + f n

X n j=2

∂w

∂z _j

∂u j

∂y _n = X n

j=2

∂w

∂z j

(f 1

∂u _j

∂x + f 2

∂u _j

∂y 2

+ f n

∂u _j

∂y n

) = 0.

To oznacza, ˙ze ka˙zda funkcja postaci (4) jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (1) w otoczeniu punktu P 0 .

Odwrotnie, we´ zmy dowolne rozwia

‘ zanie ϕ r´ ownania (1) w otoczeniu punktu P ₀ . Wtedy w tym otoczeniu zachodza

‘ r´ owno´ sci

(6) f ₁ ∂ϕ

∂x 1

+ · · · + f n

∂ϕ

∂x n

= 0.

W my´ sl przyje

‘ tych za lo˙ze´ n dla odwzorowania U = (u 2 , . . . , u n ) w otoczeniu punktu P 0 = (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ) istnieje odwzorowanie odwrotne Λ = (λ 2 , . . . , λ n ) w otoczeniu punktu (ξ 1 , ζ 2 , . . . , ζ n ) i zachodzi to˙zsamo´ s´ c w otoczeniu punktu P 0

(7) (Λ ◦ U)(x, y 2 , . . . , y n ) = (y 2 , . . . , y n ), ska ‘ d wynikaja

‘ to˙zsamo´ sci (8)

X n j=2

∂λ k

∂z _j

∂u j

∂y _m =

 1, k = m

0, k 6= m, k, m = 2, . . . , n,

(9) ∂λ k

∂x + X n j=2

∂λ k

∂z j

∂u j

∂x = 0, k = 2, . . . , n.

We´ zmy pod uwage

‘ funkcje

‘

(10) ω(x 1 , z 2 , . . . , z n ) = ϕ(x 1 , λ 2 (x 1 , z 2 , . . . , z n ), . . . , λ n (x 1 , z 2 , . . . , z n )) w pewnym otoczeniu (ξ ₁ , ζ ₂ , . . . , ζ _n ). Posiada ona cia

‘ g le pochodne cza

‘ stkowe. Z to˙zsamo´ sci (9) i faktu, ˙ze funkcje u 2 , . . . , u n spe lniaja

‘ r´ ownanie (1) w otoczeniu punktu P ₀ otrzymujemy r´ owno´ sci

(11) f 1

∂λ k

∂x ₁ = f k k = 2, . . . , n.

Dla funkcji (10), z uwagi na r´ owno´ sci (11) i fakt, ˙ze funkcja ϕ spe lnia r´ ownanie (1) mamy

f ₁ ∂ω

∂x 1

= f ₁ ∂ϕ

∂x 1

+ ∂ϕ

∂x 2

f ₁ ∂λ ₂

∂x 1

+ · · · + ∂ϕ

∂x n

f ₁ ∂λ _n

∂x 1

= 0,

co przy za lo˙zeniu, ˙ze funkcja f 1 nigdzie nie znika, daje, ˙ze funkcja ω nie zale˙zy od zmiennej x ₁ . Przyjmuja

‘ c w otoczeniu punktu Q ₀

w(z ₂ , . . . , z _n ) = ω(x ₁ , z ₂ , . . . , z _n ) otrzymujemy , z uwagi na (7) i (10)

w(u 2 (x 1 , x 2 , . . . , x n ), . . . , u n (x 1 , x 2 , . . . , x n )) = ϕ(x 1 , x 2 , . . . , x n ) w pewnym otoczeniu punktu P ₀ .

To ko´ nczy dow´ od.

Tak jak w przypadku r´ owna´ n r´ o˙zniczkowych zwyczajnych, aby wyr´ o˙zni´ c jakie´ s rozwia

‘ zanie szczeg´ olne r´ ownania o pochodnych cza

‘ stkowych (1) nale˙zy przyja

‘ ´ c jakie´ s dodatkowe warunki, na przyk lad warunki Cauchy’ego. Warunki Cauchy’ego polegaja

‘ na wyznaczeniu takiego rozwia

‘ zania ϕ r´ ownania (1) w otoczeniu punktu P 0 = (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ) ∈ G takiego, ˙ze

(12) ϕ(ξ ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) = ψ(x ₂ , . . . , x _n ), gdzie ψ jest zadana

‘ funkcja

‘ klasy C ₁ w pewnym otoczeniu punktu (ξ ₂ , . . . , ξ _n ).

Przyjmijmy, jak poprzednio za lo˙zenia, ˙ze funkcje f 1 , . . . , f n sa

‘ klasy C 1 w ob- szarze G ⊂ R ⁿ i funkcja f ₁ nie znika w ˙zadnym punkcie obszaru G. Niech P ₀ = (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ) be

‘ dzie dowolnym punktem obszaru G. Niech funkcja ψ be

‘ dzie funkcja

‘ klasy C ₁ w pewnym otoczeniu punktu (ξ ₂ , . . . , ξ _n ) ∈ R ⁿ⁻¹ . Niech funkcje u 2 , . . . , u n klasy C 1 be

‘ da

‘ ca lkami pierwszymi uk ladu r´ owna´ n (2) w otoczeniu puktu P ₀ takim, ˙ze jakobian (3) nie znika w tym otoczeniu. Po l´ o˙zmy U = (u ₂ , . . . , u _n ) oraz U (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ) = (ζ 2 , . . . , ζ n ). Niech Λ = (λ 2 , . . . , λ n ) be

‘ dzie odwzorowaniem odwrotnym do U w otoczeniu punktu (ξ ₁ , ζ ₂ , . . . , ζ _n ). W´ owczas mamy

Twierdzenie 2. W otoczeniu punktu P 0 istnieje rozwia

‘ zanie r´ ownania (1) spe l- niaja

‘ ce warunek pocza

‘ tkowy (12) i jest ono postaci

(13) ϕ(x 1 , x 2 , . . . , x n ) =

ψ(λ ₂ (ξ ₁ , U (x ₁ , . . . , x _n )), . . . , λ _n (ξ ₁ , U (x ₁ , . . . , x _n ))).

Dow´ od. Na mocy twierdzenia 1 mamy, ˙ze funkcja postaci (13) jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (1), bo prawa strona (13) jest postaci (4). Co wie

‘ cej, z uwagi na (7) mamy r´ owno´ s´ c

ϕ(ξ 1 , x 2 , . . . , x n ) = ψ((Λ ◦ U)(ξ 1 , x 2 , . . . , x n )) = ψ(x 2 , . . . , x n ),

co oznacza, ˙ze funkcja (13) spe lnia warunek Cauchy’ego (12) w pewnym otoczeniu punktu (ξ 2 , . . . , ξ n )

Uwaga 1. Mo˙zna pokaza´ c, ˙ze funkcja (13) w otoczeniu punktu P 0 jest jedynym rozwia

‘ zaniem r´ ownania (1) spe lniaja

‘ cym warunek (12).

Uwaga 2. Metody rozwia

‘ zywania r´ ownania (1) podane w twierdzeniach 1 i 2 mo˙zna zastosowa´ c te˙z do r´ ownania liniowego o pochodnych cza

‘ stkowych postaci

(14) f ₁ (x ₁ , . . . , x _n , z) ∂z

∂x 1

+ · · · + f n (x ₁ , . . . , x _n , z) ∂z

∂x n

= g(x ₁ , . . . , x _n , z).

Mianowicie, budujemy r´ ownanie liniowe jednorodne postaci

(15) f 1 (x 1 , . . . , x n , z) ∂u

∂x 1

+ · · · + f n (x 1 , . . . , x n , z) ∂u

∂x n

+ g(x 1 , . . . , x n , z) ∂u

∂z = 0.

Je˙zeli dla r´ ownania (15) mo˙zna zastosowa´ c twierdzenie 1 w otoczeniu pewnego punktu (ξ 1 , . . . , ξ n , z 0 ) ∈ R ⁿ⁺¹ i wyznaczy´ c n ca lek pierwszych jakobianowo nie- zale˙znych

u 1 = u 1 (x 1 , . . . , x n , z), . . . , u n = u n (x 1 , . . . , x n , z)

odpowiedniego uk ladu r´ owna´ n zwyczajnych (analogicznego do (2)) tak, ˙ze funkcja (16) v(u 1 , . . . , x n , z), . . . , u n (x 1 , . . . , x n , z))

jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (15) przy pewnej funkcji v okre´ slonej w pewnym otocze- niu punktu

(u ₁ (ξ ₁ , . . . , ξ _n , z ₀ ), . . . , u _n (ξ ₁ , . . . , ξ _n , z ₀ )) i potrafimy rozwia

‘ za´ c r´ ownanie

(17) v(u ₁ , . . . , x _n , z), . . . , u _n (x ₁ , . . . , x _n , z)) = 0 wzgle

‘ dem z, to tak otrzymana funkcja zmiennych x ₁ , . . . , x _n jest rozwia

‘ zaniem r´ ownania (14).

Cwiczenia ´

1. Wyznaczy´ c og´ o l rozwia

‘ za´ n r´ ownania (1 + x ² ₁ ) ∂z

∂x 1

+ x 1 x 2

∂z

∂x 2

= 0 oraz wyznaczy´ c rozwia

‘ zanie spe lniaja

‘ ce warunek Cauchy’ego

ϕ(0, x 2 ) = x ² ₂ .