Dziura w Statycznym Wszechświecie
Einsteina
Statyczny Wszechświat Einsteina:
spojrzenie tradycyjne 3-sfera o promieniu R(t):
ds 2 = −dt 2 + R(t) 2
dχ 2 + sin 2 χ dΩ 2
Równania Einsteina:
3
R ˙ R
2
+ 3
R 2 = 8πGρ + Λ 3
R ¨
R + 4πG (ρ + 3p) = Λ Zachowanie energii-pędu:
˙ ρ
p + ρ = −3
R ˙
R
Równanie stanu materii:
Dynamika modelu FLRW z k = +1
V (r) = 1 − R 2 3
Λ + 4GM πR 3
, E = 0
0.5 1 1.5 2
-1.5 -1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Rozwiązanie Statyczne
Całkowita ilość „źródła pola grawitacyjnego” jest dla wszystkich wszechświatów Einsteina taka sama:
8πG (ρ E + 3 p E ) = 2 Λ
natomiast podział pomiędzy gęstość i ciśnienie, a także promień 3-sfery zależy od równania stanu:
8πG ρ E = 3
R E 2 − Λ 8πG p E = − 1
R E 2 + Λ
Parametry wszechświata statycznego
Limity teoretyczne Eddindton (1930) Λ-CDM (2006) ρ E 10 −27 g/cm 3 3.5 × 10 −30 g/cm 3
r
1
Λ < R E <
r2 Λ 3 328 Mpc 3000 Mpc
Λ < 8πGρ c
2 E< 2 Λ λ = 10 −54 cm −2 Λ = 1.2 × 10 −56 cm −2
r
27 128
πc
2√ ΛG ¬ M E <¬ πc
22 √
ΛG 10 22 M 10 23 M
Stała Hubble’a 528 +500 −0 km/s/Mpc 70 +2.4 −3.2 km/s/Mpc
Niestabilność wszechswiata statycznego
R(t) = R E + δR(t), ρ(t) = ρ E + δρ(t), p(t) = p E + δp(t) δρ
p E + ρ E = −3 δR R E δR − ¨ c ¯ 2
R E 2 δR = 0, c ¯ 2 = c 2 + c s 2 , c s 2 = ∂p
∂ρ
ρ=ρ
ER(t) = R E + δR 0 e ct/R ¯
EW zależności od znaku początkowej perturbacji δR 0 następuje ekspansja lub kolaps.
Jest to najszybciej rosnący mod!
„Coasting” – „Loitering”
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 0.25
0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
Jest praktycz-
nie niemożliwe
odróżnienie
modelu statycz-
nego od modeli
dynamicznych
w fazie plateau.
Równanie dynamiki pyłowego S.W.E.
˙r 2 = Λ
3 (r − 1) 2 (1 + 2/r)
UWAGA: tylko dla Statycznego Wszechświata Einsteina z p = 0!
M = 2π 2 R E 3 ρ E = πR E 2G Istnieją 3 rozwiązania równania:
• I. r > 1 (A 2 )
• II. r = 1 (E)
• III. r < 1 (A 1 )
t − t 0 =
Zdr
|r − 1|
r1 + 2/r
Modele wg. klasyfikacji Robertso-
na w nawiasach
Dla przypadku III.
t − t 0 = 2 artanh
v u u u t
3r 2 + r
−2 √
3 arsinh
r
r/2
1
1
Rozwiązania sferycznie symetryczne Statyczna czasoprzestrzeń sferycznie symetryczna:
ds 2 = −e 2ν(r) dt 2 + e 2λ(r) dr 2 + r 2 dΩ 2 Równanie TOV-Λ:
dp
dr = − (ρ + p)(m + 4πr 3 p − 1/3 r 3 Λ) r 2 (1 − 2 m/r − 1/3 r 2 Λ)
dm
dr = 4πr 2 ρ
Typowe rozwiązania r. TOV-Λ
0.5 1 1.5 2
Zwykle traktuje się wpływ Λ jako źródło małej poprawki do struktury relatywistycznych obiektów.
← ρ(r) z Λ = 0 (l. ciągła) i z
Λ 6= 0 (l. przerywana )
Rozwiazanie z ρ = const Wstawiamy ρ(r) = ρ E , p(r) = p E do r. TOV-Λ:
0 = . . . r 3 (4/3π(ρ E + 3 p E ) − Λ/3)
g rr = e 2λ = 1
1 − r 2 /R E 2 , gdzie: 1
R E 2 = Λ − 8πGp E g tt = −
Zdp
p + ρ = const ds 2 = −const dt 2 + 1
1 − r 2 /R E 2 dr 2 + r 2 dΩ 2
Rozwiązanie dla r ' 0
ρ(r) ' ρ 0 + 1
2 βr 2 + . . . (1a)
p(r) ' p 0 + 1
2 br 2 + . . . (1b)
m(r) ' 4
3 πr 3 ρ 0 + . . . . (1c) gdzie:
b = 4
3 πG(p 0 + ρ 0 )(ρ E + 3p E − ρ 0 − 3p 0 ) (2a)
β = b/c s 2 (2b)
Rozwiązania numeryczne
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
rho(r)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
r/R_E
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
rho(r)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
r/R_E
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
rho(r)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
r/R_E
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
rho(r)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
rho(r)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
rho(r)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
rho(r)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
0.5 1 1.5
2
rho(r)
0 0.5 1 1.5
2
rho(r)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Odpychanie grawitacyjne dziury Dla orbity kołowej:
g rr ˙r 2 = E 2
g tt − 1 − L 2 r 2 Dla „dziury”:
V ef f =
1 − 2m r − 1
3 Λr 2
1 + L 2
r 2 − E 2 e 2ν
Jeżeli dla żadnej wartości L, E potencjał nie ma ekstremum nie
istnieją orbity kołowe i występuje odpychanie.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
rho(r)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
r/R_E
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
rho(r)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
r/R_E
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
V(r)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
–0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
V(r)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Rozwiązanie globalne
1. Równanie TOV-Λ pozwala na łatwe rozwiązanie zagadnienia początkowego dla „r < R E ”.
2. Występuje osobliwość układu współrzędnych dla r = R E .
3. Nie wiadomo co się dzieje dla r > R E za wyjątkiem statycznego wszech- świata Einsteina
0.994069 0.99407 0.994071 0.994072
rho(r)
20 40 60 80
rho(r)
Zdeformowana 3-sfera
Część przestrzenna opisana jako powierzchnia o równaniu we współrzędnych sferycznych r, χ, θ, φ:
r = R(χ) w 4-wymiarowej przestrzeni Euklidesa.
Dla r = R E otrzymujemy wszechświat Einsteina.
Metryka ma postać:
ds 2 = −e 2ν(χ) dt 2 +
dR dχ
2
+ R 2
dχ 2 + R 2 sin 2 χ dΩ 2
Równania Einsteina Składowa tt:
(R cos χ) 0
(
2R sin χ RR 00 + R 2
!
− R 02 + R 2
!"
4R sin χ − (R cos χ) 0
#)
= (Λ + 8πGρ)(R sin χ) 2
R 02 + R 2
2
Składowa χχ:
(R cos χ) 02 −
"
(R sin χ) 2
#
0
ν 0 = (Λ − 8πGp) (R sin χ) 2
R 02 + R 2
ν 0 = − p 0
p + ρ .
Problemy z rozwiązaniem globalnym
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
–1.5 –1 –0.5 0.5 1
Metoda strzałów: zadajemy ρ(χ = 0) = ρ 0 i próbujemy róznych wartości
R 0 = R(0).
Problemy z „osobliwością”
• Błędy numeryczne
• Rozwiązania globalne istnieją tylko dla niektórych równań stanu
• Założenie że geometria może być opisana jako 3-powierzchnia R = R(χ) w 4D jest błędne
• Rozwiązania globalne bez osobliwości nie istnieją
Konstruktywny przykład globalnego rozwiązania 1. Wstawiam do r. Einsteina R(χ) = P + Q cos 2χ
2. Obliczam gęstość i cisnienie:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
rho(chi)
0.5 1 1.5 2 2.5 3
chi
3. Dostają pewną zależność p(ρ) w postaci parametrycznej
p = p(χ), ρ = ρ(χ).
0.6 0.7 0.8 0.9
p(rho)
1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
rho