• Nie Znaleziono Wyników

ds 2= −dt 2+ R(t) 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "ds 2= −dt 2+ R(t) 2"

Copied!
28
0
0

Pełen tekst

(1)

Dziura w Statycznym Wszechświecie

Einsteina

(2)

Statyczny Wszechświat Einsteina:

spojrzenie tradycyjne 3-sfera o promieniu R(t):

ds 2 = −dt 2 + R(t) 2



2 + sin 2 χ dΩ 2



Równania Einsteina:

3

R ˙ R

2

+ 3

R 2 = 8πGρ + Λ 3

R ¨

R + 4πG (ρ + 3p) = Λ Zachowanie energii-pędu:

˙ ρ

p + ρ = −3

R ˙

R

Równanie stanu materii:

(3)

Dynamika modelu FLRW z k = +1

V (r) = 1 − R 2 3

Λ + 4GM πR 3

, E = 0

0.5 1 1.5 2

-1.5 -1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

(4)

Rozwiązanie Statyczne

Całkowita ilość „źródła pola grawitacyjnego” jest dla wszystkich wszechświatów Einsteina taka sama:

8πG (ρ E + 3 p E ) = 2 Λ

natomiast podział pomiędzy gęstość i ciśnienie, a także promień 3-sfery zależy od równania stanu:

8πG ρ E = 3

R E 2 − Λ 8πG p E = − 1

R E 2 + Λ

(5)

Parametry wszechświata statycznego

Limity teoretyczne Eddindton (1930) Λ-CDM (2006) ρ E 10 −27 g/cm 3 3.5 × 10 −30 g/cm 3

r

1

Λ < R E <

r

2 Λ 3 328 Mpc 3000 Mpc

Λ < 8πGρ c

2 E

< 2 Λ λ = 10 −54 cm −2 Λ = 1.2 × 10 −56 cm −2

r

27 128

πc

2

ΛG ¬ M E πc

2

2

ΛG 10 22 M 10 23 M

Stała Hubble’a 528 +500 −0 km/s/Mpc 70 +2.4 −3.2 km/s/Mpc

(6)

Niestabilność wszechswiata statycznego

R(t) = R E + δR(t), ρ(t) = ρ E + δρ(t), p(t) = p E + δp(t) δρ

p E + ρ E = −3 δR R E δR − ¨ c ¯ 2

R E 2 δR = 0, c ¯ 2 = c 2 + c s 2 , c s 2 = ∂p

∂ρ

ρ=ρ

E

R(t) = R E + δR 0 e ct/R ¯

E

W zależności od znaku początkowej perturbacji δR 0 następuje ekspansja lub kolaps.

Jest to najszybciej rosnący mod!

(7)

„Coasting” – „Loitering”

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 0.25

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

Jest praktycz-

nie niemożliwe

odróżnienie

modelu statycz-

nego od modeli

dynamicznych

w fazie plateau.

(8)

Równanie dynamiki pyłowego S.W.E.

˙r 2 = Λ

3 (r − 1) 2 (1 + 2/r)

UWAGA: tylko dla Statycznego Wszechświata Einsteina z p = 0!

M = 2π 2 R E 3 ρ E = πR E 2G Istnieją 3 rozwiązania równania:

• I. r > 1 (A 2 )

• II. r = 1 (E)

• III. r < 1 (A 1 )

t − t 0 =

Z

dr

|r − 1|

r

1 + 2/r

Modele wg. klasyfikacji Robertso-

na w nawiasach

(9)

Dla przypadku III.

t − t 0 = 2 artanh

v u u u t

3r 2 + r

−2

3 arsinh

r

r/2

1

1

(10)
(11)

Rozwiązania sferycznie symetryczne Statyczna czasoprzestrzeń sferycznie symetryczna:

ds 2 = −e 2ν(r) dt 2 + e 2λ(r) dr 2 + r 2 dΩ 2 Równanie TOV-Λ:

dp

dr = − (ρ + p)(m + 4πr 3 p − 1/3 r 3 Λ) r 2 (1 − 2 m/r − 1/3 r 2 Λ)

dm

dr = 4πr 2 ρ

(12)

Typowe rozwiązania r. TOV-Λ

0.5 1 1.5 2

Zwykle traktuje się wpływ Λ jako źródło małej poprawki do struktury relatywistycznych obiektów.

← ρ(r) z Λ = 0 (l. ciągła) i z

Λ 6= 0 (l. przerywana )

(13)

Rozwiazanie z ρ = const Wstawiamy ρ(r) = ρ E , p(r) = p E do r. TOV-Λ:

0 = . . . r 3 (4/3π(ρ E + 3 p E ) − Λ/3)

g rr = e = 1

1 − r 2 /R E 2 , gdzie: 1

R E 2 = Λ − 8πGp E g tt = −

Z

dp

p + ρ = const ds 2 = −const dt 2 + 1

1 − r 2 /R E 2 dr 2 + r 2 dΩ 2

(14)

Rozwiązanie dla r ' 0

ρ(r) ' ρ 0 + 1

2 βr 2 + . . . (1a)

p(r) ' p 0 + 1

2 br 2 + . . . (1b)

m(r) ' 4

3 πr 3 ρ 0 + . . . . (1c) gdzie:

b = 4

3 πG(p 0 + ρ 0 )(ρ E + 3p E − ρ 0 − 3p 0 ) (2a)

β = b/c s 2 (2b)

(15)

Rozwiązania numeryczne

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

rho(r)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

r/R_E

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

rho(r)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

r/R_E

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

rho(r)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

r/R_E

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

rho(r)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

rho(r)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

rho(r)

(16)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

rho(r)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

(17)

0.5 1 1.5

2

rho(r)

(18)

0 0.5 1 1.5

2

rho(r)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

(19)

Odpychanie grawitacyjne dziury Dla orbity kołowej:

g rr ˙r 2 = E 2

g tt − 1 − L 2 r 2 Dla „dziury”:

V ef f =

1 − 2m r 1

3 Λr 2

1 + L 2

r 2 E 2 e

Jeżeli dla żadnej wartości L, E potencjał nie ma ekstremum nie

istnieją orbity kołowe i występuje odpychanie.

(20)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

rho(r)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

r/R_E

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

rho(r)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

r/R_E

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

V(r)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

–0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

V(r)

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

(21)

Rozwiązanie globalne

1. Równanie TOV-Λ pozwala na łatwe rozwiązanie zagadnienia początkowego dla „r < R E ”.

2. Występuje osobliwość układu współrzędnych dla r = R E .

3. Nie wiadomo co się dzieje dla r > R E za wyjątkiem statycznego wszech- świata Einsteina

0.994069 0.99407 0.994071 0.994072

rho(r)

20 40 60 80

rho(r)

(22)

Zdeformowana 3-sfera

Część przestrzenna opisana jako powierzchnia o równaniu we współrzędnych sferycznych r, χ, θ, φ:

r = R(χ) w 4-wymiarowej przestrzeni Euklidesa.

Dla r = R E otrzymujemy wszechświat Einsteina.

Metryka ma postać:

ds 2 = −e 2ν(χ) dt 2 +

dR

2

+ R 2

2 + R 2 sin 2 χ dΩ 2

(23)

Równania Einsteina Składowa tt:

(R cos χ) 0

(

2R sin χ RR 00 + R 2

!

R 02 + R 2

!"

4R sin χ − (R cos χ) 0

#)

= (Λ + 8πGρ)(R sin χ) 2



R 02 + R 2



2

Składowa χχ:

(R cos χ) 02

"

(R sin χ) 2

#

0

ν 0 = (Λ − 8πGp) (R sin χ) 2



R 02 + R 2



ν 0 = − p 0

p + ρ .

(24)

Problemy z rozwiązaniem globalnym

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

–1.5 –1 –0.5 0.5 1

Metoda strzałów: zadajemy ρ(χ = 0) = ρ 0 i próbujemy róznych wartości

R 0 = R(0).

(25)

Problemy z „osobliwością”

• Błędy numeryczne

• Rozwiązania globalne istnieją tylko dla niektórych równań stanu

• Założenie że geometria może być opisana jako 3-powierzchnia R = R(χ) w 4D jest błędne

• Rozwiązania globalne bez osobliwości nie istnieją

(26)

Konstruktywny przykład globalnego rozwiązania 1. Wstawiam do r. Einsteina R(χ) = P + Q cos 2χ

2. Obliczam gęstość i cisnienie:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

rho(chi)

0.5 1 1.5 2 2.5 3

chi

3. Dostają pewną zależność p(ρ) w postaci parametrycznej

p = p(χ), ρ = ρ(χ).

(27)

0.6 0.7 0.8 0.9

p(rho)

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

rho

Linia przerywana pokazuje typo- wy wynik zastosowania opisanej procedury: niefizyczne równanie stanu:

• wielowartościowość

• p lub ρ ujemne

dp = c s 2 < 0

Linia ciagła pokazuje, że moż-

na dopasować cisnienie centralne-

ge tak aby obie gałęzie się pokry-

ły i otrzymać fizycznie sensowne

równanie stanu.

(28)

Co dalej?

• Ustalenie kiedy istnieją rozwiązania globalne

• Opracowanie skutecznej metody znajdywania rozwiązań globalnych

• Ruch w polu grawitacyjnym dziury

• Stabilność i ewolucja dziury

• Dziura w rozszerzającym się Wszechświecie?

• Dziura jako model „pustek”

• Oddziaływania dziura-dziura

Cytaty

Powiązane dokumenty

A moie kiedyś zjawi się drogi Reymont, który do tych szpargałów t zapisków się zabierze i odtworzy z tego ducha epoki.. młodzi rolnicy zabrali się do

gę swoię obrócił, i dopiero zNowomieyskiey wyieżdżał bram y, kiedy iuż dziatki Rymarza przybiegły dać znać źę się zbliża; pokazał się wnet tłum ludzi

wie brzydka, ani mniey kocham, ani mniey pieszczę; mówię iey wręcz o iey szpetności, ale ię przyzwyczaiam do m yśli, że to nie iest żadnę przeszkodę do

trzeba , a tych szczęściem bardzo mało; rzadko więc kiedy popisać się ze swemi cnotami mogą, i zawsze ich czułość daleko mniey ma wartości od tey, którą

Już i Basia trochę śmielsza, wstydzi się ieszcze swego pierścionka, kryie go iak może, a każdy go widzi, bo dyamenty iak gwiazdy iaśnieią.. Dziś rano wszyscy

W tey szkole przyi- muią różne roboty, i z czasem będzie się mogła sama przez się utrzymywać; dotąd łoży na nią Ta, która duszą iest tych wszystkich

Another interesting class for which (LSP) holds con- sists of those continuous multifunctions F whose values are compact and have convex closure with nonempty interior..

Zrôbmy ofiarç z pewnéj czçsci lasôw, oczyszcza- j;jc takowe z drzew a, lub oddajqc wraz z drzewem nowo- przybyfym osadnikom pod wzajemnie dogodnemi warun- kami;