Derde-orde-potentiaal theorie ter bepaling van de hydrodynamische krachten op axisymmetrische drijvende en ondergedompelde lichamen in gedwongen periodieke dompbeweging

RIJKSUNIVERSITEIT GENT

Fakulteit der Toegepaste Wetenschappen

NATIONAAL FONDS VOOR WETENSCHAPPELIJK ONDERZOEK

Derde-orde-potenticiciltheorie

ter bepaling van de

_{hydrodynamische krcichten}

op axisymmetrische drijvende en

ondergedornpelde lichamen

in gedwongen periodieke dompbeweging

door

Ir. Marc VANTORRE

Deet I: Tekst

Promotor: Prof. Ir. V. FERDINANDE

Dienst voor Scheepsbouwknnde

Proefschrift voorgedragen tot het bekomen van de graad van

Doctor hi; de Toegepaste Wetenschappen September 1985

VOORWÇORV

VWL (Ja ?7VCj

£)L .tt ZA4U vanj bex.t be.n da..t de. vottooi..uuig vari dL

p.'we-4htt ¿ortdvi. de.

.teui en rndepki.iig va.n

.Len moBe.UjIz zou ewee

Z4..jrL,

een wootd vaaidaniz op de.ze. p&iat4 zeizeìi. ge.p44t.

In de. e.vi..te p&a.tt gaa.t nvcjn eken..teL'..jfthed na.a

he.t Na.t.wnaa2 Fondo voo/i.

We.te.hzppeLcjh Onde.ìt.zoeia, mc.jn wvthgeve, d.c.e nuj dooJL ftet .toeizennen van

hv ma.ncLw.-t van A4p.iiitzn. mo9eLjIz he.e

gmaaki mede. .te. weîthen aan het

p'w-Jek.t "En'tennJng aLt zee.go/ven" van de Vevtt voo

Sche.e.p4bouw!zunde (RUG),

en naaM. rn.Ljn pìwmo.to)., pìw QL V Fed,tnaLnde, de riu..jn uvte/Le.46e. voon. de.

htjdwdynamica he.et opgewe.Izt, en weno be.geZe.14ùL9 en otein voot de.

vvwJeze.rt-van ciLt we.ìth onnvLbaû vwLe.n.

M.Ljvt op'tech.te. d.rtIa aa.t e.ve.ne.en.6 ruzaM. dn.. L'c..

6. KLU voo.'L zi.jn wa.ade.voUe.

huip bj hei tot.iiandízome.n van hei nurnve.Jae. gede.eLte. van de. pitoe.op6-te!L'.ng.,

naa& ¿'L. P. Tn.wije.n4, WLen4 nwttLe. aDxwJJ.jzÁJl9e.n

j 4neLWL veiwwud

ma.afz.tc.n niez de beAtaavide. ptoeop4teJJng en de. beiehiJabaìt.e eornpuieM.pn.o9fl.CLflTfla'4,

en naa't pn.o

¿'i

J J 1V tkbbe..ti..ng, d.c.e. be.'Le.d wa...6 mj wi.t de nood te. h9lpen

bi..j deeJz-te.n aan de expvmeivteie opoieLLng.

P'w,.

í.'L. R. Ve.c.hae.ne en d.en me.dewe.ìthe.ì..o van hei Senvntvt..Le voo Mec.han.Lc.a

van de. Madvc.ne (RUG) e.n CRlF ben .dz ze.e e enteLc.jiz vooìL han 9oede.

veM.-4fandhoud4J19 bj hei geb.'wAJa van de. c.ornpwte)t.teAnu..nc24 en -)wndcppa.k.a.tLLw'L,

a&ooia vOO'L han niittge. wentzen b1j hei nwne.'iJe.lze. ge.de.eLte. van hegt ondvLzoeiz.

Een bíjZondeM. woon.dje van danfa we.n4 Ait te. iz..Lc.h..ten aa.n ¿'L. L. Van den Ke.tcizhove

(vooiuiaL

rnedewe.nizvL van hei Labociotw.ni voo'i. ELe!zi'wrza en Mee tech.e'.L,

RUG) voo'L z.qn w.adgev.uI9en en daadweM.Iae.tc.jtze hu2p bí..j hei e2eiattoníoc.he

gedeeUe va.n de expe..tí.meveLe. opo.te/Jíng.

Ve. heen F. Vepayd-t (VLe.no.t yoo'i. Scheepobouw(zunde, RUG) dan!a Aia van ha'zie voon..

zjn

waa.tde.uoUe., c)Le.aLe.ve. bíj4.tand bj de ve

ezeUjfthl9 van de.

j&weop-eULng an voon.. de ve'z.zon.n9 van de. onbe.hípeLLjfae

L9WLe.n.

Vôon.. hei vaa ze.rw.w4Íope.nde - .typwvdz ve.xd.-Le.n.t Mevn... M. Van

oem-Bct_te.

zehen. .ji mijn dankbeiwL9i.ng ve,e1d te. wonden.

TenoZo.tie Lo

hei dwLde.Ujfa dai m.i.jn £czmLUe, mJ.jnec.hteno.te

Geei en

dec.htejzije Le.obeih A.n hei bA.jzonde.M., hJ.cVL 9e.en4zín4 mag, ön..tbn.eiaen.

INHOUDSOPGAVE

- Voorwoord i

- Inhoudsopgave ii

- Lijst van symbolen vii

- Hoofdstuk I Situering van de niet-lineaire studie van het radiatieprobleem voor een

dom-pend axisymmetrisch lichaam 1

1.1. Het projekt "Energiewinnirig uit zeegolven door

drijvende lichamen't 2

1.1.1. Algemeenheden in verband met energiewinning

uit zeegolven - 2

1.1.2. Beschrijving van het systeem 2

1.1.3. Belang van de niet-lineaire studie van het

radiatieprobleem

1.2. Overzicht van de hydrodynamica van lichamen in golven

1.2.1. Historisch overzicht van de vroegste

ontwikke-lingen 8

1.2.2. Lineaire potentiaaltheorie ... . 9

I.2.3. Niet-lineaire theorieën 21

a) Hydrostatische krachten 21

b,) Hydrodynamische krachtèn 21

.2.11. Beschrijving van de voorgestêlde methöde 27

- Hdofdstuk II. Derde-orde-theorie ter bepaling van de krachten inwerkend op een dompend

axi-symmetrisch drijvend of ondergedompeld

lichaam 29

11.1. Probleemstelling 29

11.1.1. Notaties - Conventies ...29 11.1.2. Vergelijkingen., waaraan de potentiaalfunktie

moet voldoen 30

'11.1.2.1. Vergelijking van Laplace 30

1.1.2.2. Randvoorwaarde op het vrije

vloeistofopper-viak SF 30

11.1.2.3. Randvoorwaarde op het oppervlak Sb van het

lichaam 32

11.1.2.11. Randvoorwaarde op de bodem en op andere

stilstande opperviakken 33

11.1.2.5. Radiatievoorwaarde 33

11.2. Opsplitsing van de potentiaalfunktie

. 34

11.2.1. Eerste-, tweede- en derde-orde-potentialen

34

II.2.2

Randvoorwaat'den van de complexe deeipptentialen.

40

11.2.2.1. Eerste-orde-potentialen

'40

11.2.2.2. Tweede-orde-potentialen

41

11.2.2.3. Derde-orde-potentialen

:

..

42

11.2.3. Formulr*ing van de radlatievoorwaarde

...

'46

11.3. Berekening van de krachten:

'48

11.3.1. Formulering Van drukk:en en krachten. ...48

11.3.1.1. Uitwerking van de integraal ovèr b

11.3.1.2. Uitwerking Van de integt'aai over S

49

11.3.2. Uitwerking van de eerste-örde-krachten

53

11.3.3. Uitwerking vari de tweede-orde-krachten

54

11.3. 4. Uitwerking van dç derde-orde-kr'achten

57

11.3.5. Hydrostatische krachten

63

11.4. Reduktie van de orde van het probleem met behuip

van een methode naar H. Söding ...65

IÍ.'4.1. Tweede-orde--probleerri

66

..II.4. 2. Derde-orde-probleem

70

i:i.s. Bepaling van de potentiaalfunkties van de eerste

en tweede orde met behui

Van

en methode riaar

B. Kritis

78

11.5.1. Werkwijze

78

11.5.2. Eerste-orde-potentialeiTl

78

11.5.3. Tweede-orde-potentialen

81

11.6. Benaderende bepaling van de tweede- en

derde-orde-krachtcompönerìten, uitgaande van bijzondere

gevalien...83

11.6.1. Bijzondere gevallen

83

11.6.1.1. Tweede-orde-krachten ...83

11.6.1.2. Derde-orde-krachten

85

11.6.1.3. Numerieke bepaling vari de benodigde

potentiaal-funkties

92

11.6.2. Eigenschappen van de krachtcomponenten

95

11.6.2.1. Syrnrnetrie-eigenschappen

95

11.6.2.2. Continulteit van de partiële afgeleiden

naarde frekwenties

95

.11.6.2.3. Symmetrie-eigenschappen van de partiële

afgeleiden naar de frekwenties

99

11.6.3. Bepaling van de krachtcomponenten van de tweede

èn derde orde voor een willekeurige combinatie

van frekwenties door interpolatie

100

11.6.3.1. Tweede-orde-grootheden

iPO

I1.7. Krachten in geval Van een zuiver Tharmonische

iv

dompbeweging

110

11.7.1. Opsplitsing in harmonischen

110

11.7.2. Toegevoegde massa en dempii-ig

111.

11.8. Invloed van een (kleine) diegangsverandering

op de dimensieloze krachtcomponenten

114

- Hòofdstuk III.

Beschrijving van de experimentele

121

opstelling

11.1.1. Mechanisch gedeelte van de experimentelé

òpstelling

122

111.1.1. De modeltaPk

122

11.1.2. De oscillator

122

ILI.1.3. De dyrìamometer

:

123

111.1.4. Modellen

. .

125

111.2. Elektronisch gedeelte van de experimentee

òpstelling

126

111.2.1. Overzicht

126

111.2.2. Voorbereidirig van het krachtsignaal

126

a) De draaggolf-meetversterker

.. 126

b) De F.A.S. (Filter-Amplifier-Suinmator) ... 127

111.2.3. Meting van de golfrijzing in de tank

130

a) Belang van de golfrneting

130

b) Beschriving van de

pparatuur

c) Voor- en nadelen van de resistieve

golf-meting.

Kalibratie

...

131 132

III.2.4. De trigger

133

111.2.5. A.D.C. (Analog to Digital Converter)

133

111.3. Registratie en verwerking van de signalen

13

111.3.1. Irivoer vän gegevens

135

:111.3.2. Registratie van designalen

135

111.3.3. Analyse van het triggersignaal

137

111.3.4. Analyse van het golfsignaal

139

111.3.5. Analyse van het krachtsjgnaaJ.

140

a) Fourieranalyse.

140

b) IJkproeven

146

c) Proeven met modellen ...

d) Invloed van de veranderiijkheid van de

tijdsduur tusseri twee opnamen

148 151

111.3.6. Bijkomende mogçlijkheden van het

computer-programma ter verwerking van de resultaten

152

- HOOfdSt-Uk V.

Besluit ...199

y

Hoofdstuk IV.

Numerieke en experimentele evaluatie

van de derde-orde-theorie

155

IV.1. Belangrijke aspekten bij het opstéllen van de

numerieke methode

155

IV.1.1. I'et diskretisatiemodel

155

Verdeling van dç punten over het vrije

vloeistofoppervlak en de bodern

155

Verdeling van de punten over de

radiatie-çjlinder

156

Aanta.1 punten öp deverchillendé

oppex-viakken

156

Conclusies

157

IV.1.2. Belang van de nauwkeurigheid van de

coëfficiënten P.. en Q

157

3-:

'3

-IV.1.3. N-dmerieke be.paiing van de potentiaafunkties.

160

IV.1.Li. Bepaling van de afgeleiden van dé

potèntiaal-funkties

162

IV.j..5. Keuze van dé

traal van de radiatiecilinder

16

IV.2. Bespreking van theoretische én experimentele

resultaten

170

IV.2.1. Eerste-orde-grootheden

170

IV2.i.1. Theoretisóhe resultaten

170

Toegevoegdé massa

171

Dempingscoëfficiënt

172

Krachten op de traagheidsplaat

1Th

IV.2.1.2. Experrnentele resultaten

176

Toegevoegde massa

176

Dempingscoëfficiënt ...177

IV.2.2.

'weéde-orde-grootheden

179

IV.2.2.1. Theoretische resuitaten...

179

IV.2.2.2. Experimentele Î'esuitaten

182

IV.2.3. Derdeorde-grootheden

183

IV.2.3.i. Theoretische. resultaten ...183

IV.2.3.2. Expermente1e resultaten

185

1V.3. Vergélijking van de gebruikte werkwijze rriet

andere mogelijke QplOsSingen

186

IV.3.1. Berekening van de krachten

.86

IV3.2. Beping van de potentiaalfunktie

- 190

vi

- Appendix A. Uitdrukking van de afgeleiden naa s en n in funktie van afgeleiden naar

de booglengte L 202

- Appendix B. Theoretisòhe transferfunktìe F.A.S 20

- Appendix C. interpretatie Van de golfhoogteppaen 208

Ö.1. Bepaling van de hydrodynamische

dempings-coëffiôiënt 208

C.2. Bepaiing van de fasehoek 209

-Appridbç D. Analytische uitdrukking van de

potentiaal-funkties 211

Potentiaalfunktie van de eerste örde 211

Potentlaalfunkties van de tweede orde. 218

Appendix E. I-iogere-örde-krachten bekomen met de

methode van Jensen en Pedersen _{9I ...227}

a' dyn

a0

A. jk A m J kz J J (i) J B kP. C

experimenteel Vastgestelde wa.rde vor a+a

-dyn

experimenteel vastgesteide waarde voor a+a0

ziè uitdrukking (1:1.2.28)

(mQ,1,2,. .

J

amp1itùd van de. mde harmonische van hét kracht-signaal

hydrodynamische dempitisòoëfficiënt (kg/s)

experimenteel vastgestelde waarde Voor b+b

(m1,2,. .

coëfficiënt voor de sinuscomponent vai de m-de harmonisdhe van et krachtsignaal

zie uitdrukking (11.2.37), met vervanging van door

zie uitdrukking (11.2.55), met vervanging van door

zie uitdrukking (11.2.56), met vervanging van door

zie uitdrukking (11.2.37) zie uitdrukking (11.2.55) zie uitdrukking (11.2.56) zie uitdru.kking (Ii.2.4)

hydrostatische eerste-orde-coëfficiënt

gro e ps s n e The i d

cos(i°)

aantal volledig.e you (bij verwerking van de experimentele data)

(m=1,2,3,L) capaciteiten

vii

LIJST VAN SYMBOLEN.

a toegevoegde massacoëf.ficiënt (kg) (xI,I.I,III)

versterkingsfaktoren

(m;O,1,2,. . .)

coëfficiënt voor de cosinuscomponent van de m-de harmonische. van het krachtsignaal

C.

i

C. j ,kP d d0, d 21(wj ,Wk) -(w..+ + ) 3f k i

dimensieloze Voorste:ding van.

f(w

(nw)

viii.

zie uitdru]çking (II.2.'6.)

aantal opgenomen data per kanaal

"decay factors" in verband met' de invloed van lokale storingen; zie uitdrukkingèn (IV.1.iO-11)

uitwendige dernping

DkL zie uitdrukking (II.2.47)

dimensieloze voorstelling van

dimensielozë voorstelling van

(n=1,2,3)

-(n ) dimensieloze Voorstelling. van F W dimensieloze voorsteiling van

p p

n1L

gedeelte vaì afkomstig van integratie

over S

F vertikale kracht

F (n1,2,3)

n-de-orde-kracht (n=O,1,2,...)

harmonische krachtcornponent met frekwentie nw

1Fj

harmonische. component van de eerste-orde-kracht met frekwentie w.

-J

wj+k)

_{harmonische component van de tweede-orde-kracht}

met frekwentie

3Fjki

harmonische component va de derde-orde-kracht

met frekwentie .+w- +w

j k

(n1,2,3)

(

n

complexé voorstelling van nF W

F5t

hydrostatische kht

nst

n-1,L,

hy:drostatische termen van

F"

- n

(Zw)

_(-i1,2,3)

n st

F kracht inwerkend op de stilstaande

taagheids-p _plaat

complexe voorstelling van F

p p

F- deel van de kracht afkomstig van integratie van

Sb _{de drkken over het gemiddelde natte oppervlak}

van het. liòhaam

F... deel van de kracht afkomstig van integratie van

Sb de drukken over het gedeelte van het oppervlak

van het lichaam dat afwisselend boyen en onder het vloeistofoppervlak komt

zie uitdrukking (11.2.36), met vervanging Va.n

door*

zie titrucking (11.2.53), met vervanging van

door

zie uitdrukking (11.2.51.1), met vervanging van door

ziéuitdrukking (t1J4.36)

zie uitdrukking (11.2.36)

1

zie uitdrukking (II2.53)

zie uitdrukking (II.2.5L)

J,

zwaartekrachtsversnelling (9.81 mIs2 )

zie paragraaf II.6.3.2b

g C G(P,Q) G0 ( P., Q) h

H2

i (ook j)

funktie van Green

niet-singulier gedeelte van G(P,Q)

diepte van, de 'bodem

zie uitdrukking (11.6.63) Zie uitdrukking (11.6.64)

tweede funktie van Hankel van de òrdè y imaginaire eenheid (12=_1),

(m:1,. .

,n)

metingen waarbij he-t triggernivéau overschreden wordt

gemodificeerde funktie van Bessel van de eersté

soört Van orde y

(m=1,2,.,. . ,15)

elektrische stroom

iritegraal över Sb van

2

'jki integraal over Sb van

3t

jk

J funktie van Bessel van de eerste soort van orde y

V

-k golfgetai

gemodificeerde funktie. vari Bessel van de tweede soort van orde y

K1.

_{(iO,1 ; jO,1)}

versterkingsfaktor (bij experimentele opstelling) L booglengte gemeten langs

5b

golfiengte

in massa (kg)

m. (i1,2,. ..)

zie uitdrukking (IV.1.2)

n frekwentie in Hz (blj -proefnerningen)

n _{uitwendige normaal ten opzichte van het lichaam}

n _{uitwendige normaal ten opzichte van de vloeistof}

N aantal harmonischen waaruit de dompbeweging is

opgébouwd

N . . (m;1,2,3,T)

m

rangnummer van het laatste diskretisatiepunt

van respekt1evelijkS, SF, SR

SB

p druk

PO atmosferjsche drük

gemiddeld aantal metingen per cyclus

Pn aantal metingen van de kortste cyclus

Px aantal metingen van de. langste cyclus

PS totaal aantal metingen van alle voiledige cycli

samen X I V I m

pw -(Zw)

vermogen in een goIfkam per eenheid van lengte

maat voor de d'uk op het dompende lichaam bij-dragend tot

Zu)

xi

maatvoor de druk op de traagheidsplaat vermogen in eèn gblfkam

vermogen op hydrodynamische wijze gedissipeerd door het dompende lichaam

zie uitdrùkking (I1.5.6)

q. coëfficiënteri gebruikt b±j numerieke integratie

van de experimentele data

zie uitdrukkng(II.6.75)

zie uitdrukking (11.5.7)

r straal van de waterlijn

r0 ref erentie-afmetíng

straal y de genbljkkelijke wateriijn

R straal van de rdiatieci1inder

R1

str1 var de opening in de tag]eidspat

R2 buitenste straal van de traagheidspiaat

R

m

e1ektrische weerstanden

(m;1,2,.. . ,17)

afstand tussen twee punten van het

diskretisatie-n.

módél

kromtestraal

raaklijn in een. punt van Sb

doorsriede van met het Oxz-vlak

s doorsnede van S met bet Oxz-viak

s doorsnede van S met hét Oxz-vlak

p

S _{opperviakte van dê waterlijn vañ bet dornpende}

lichaam

nat opperv.lak Van bet lichàam

gemiddeide stand Van het natte opperViak van het dompende lichaam

SB t T T p

T.

V V o X

opperviak van de bodem en andere st.iltaade objekten

vrij vloeistofoppervlak

gemiddeide stand van het vrije vloeistofopper'vlak

s . opperviak van de traagheidspiaat

SR opperviak van de radiatiecilindet

S, _Sb

+ 'F SR + SB

t tijd

begintijdstip van de opname van de experimentele

data

eindtijdstip van de opname van de experimentele data

dikte van de traagheidsplaat

diepgang

gemiddelde diepgang van de traagheidsplaat periode

snelheidsvektor

volume van de cárene

ref eretitievolume

, V _{(x=in,O,I,II,III,IV,1,2)} elektrische spanningen

horizontale as van een polair cöördinatenstelsel,

vast in dè ruimtè

.hörizontale as van een polair coördinatenstelsei,

meebewegend met het lichaam

(mO,1,2,.

. . )

(dm,dZm) _Op

krachtsignaa]. bi,j opname i

<i>

Xt

<i>

X

triggersignaal bij opnáme i

golfsignaal bij opname i.

n-de harmonische van het .krachts:ignaal

afstand van de oorsprong tot de plaáts van de

golf meting

z z

z , z 2

-.k m' .k+m

(i=O,1,2,3,'4.)

coëfficiënten van interpolatieveeltermen voor

.benaderende bepali.ng van en

(iO,1,2,3)

coëfficiënten van interpolatieveeltermen vòor benaderende bepaling van 2f en

furiktie van Bessel van de tweede soort van

ordev

vertikale as van een polair coördinatenstelsel, vast in de ruimte

vertikale as van een polair coördinatenstelsel,

meebewegend met het lichaam

zie uitdrukking (II.3.L3) golfrijzing

golfrijzing veroorzaakt door dompbeweging van

resp kegel, watermassavat en combinatie van

beide

amplitude van de golfr.ijzing

complexe voorstelling van de golfrijzing,

volgens de eerste-orde-theorié (:xk ,m,k+m) amplitude van Z X zie uitdrukking (11.3.35)

X

z. J

6.. jk a, dyn C ptot 1Jst ¿p, dyn

hoek tussen de raaklijn aan en de z-as

hoek tussen de raaklijn aan s en de z-as

ruimtehok

Kroriecker-symbool - zie uitdrukking (11.2.14)

derde-orde-bijdrage tot a ()

gedeelte van ¿a afkomstig Van hydrostatisòhe

effekten (;.)

gedeelte Van ¿a afkömstig van hydrodynamische

effektèn (;:)

derde-orde-bijdrage tot b () derde-ord--bijdrage tot ö ()

derde-orde-bi.jdrage tot A ()

derde-orde-bijdrage tot p ()

gedeelte van ¿p afkomstig Van hydrostâtische

effekten ()

gedeelte van ¿p afkomstig 'van hydrodynamische

effekten (;:)

¿o derde-orde-bijdrage tot o ()

(t) vertIkale verplaatsing van het lichaam

harmonische component van de dompbeweging met

J

. frekwentie Wi

jA amplitude van

complexe voorstelling van.(t)

amplitude van c, indien het een harmonische

be-weging betreft

n(W) veeltermbenadering voor Im(2?)

e hoekcoördinaat van een polair coördinatenstelse1

0m (rn1,2,3)

fasehoek van de m-de harmönische van de kracht

(*) ingeval _{van een zuiver harmonische beweging}

(m:1,2,3)

fasehoek van de m-de harmonische van het kracht-signaal

fasehoek van de golfrijzing

e (x;k,m,k+m)

WX

fasehoek van de golfrijzing veroorzaakt door de dompbeweging van resp. kegel, massavat en combi-natie van beide

e fasehoek van de kracht op de traaghéidsiaat

e (xI,II,III)

X

faseverschuivingen veroorzaakt door deelschake-lingen vän de F.A.S.

À

dimensieloze hydrodynamische depicoëfficiënt

À'

_{experimenteel Vastgestelde warde voor ÀX}

totale dempingscoëfficiënt viskeuze dêmpingscoëfficiënt.

I.1

dyn

tot

hydrodynamische dempingscoèfficiënt, afgeleid uit de goifmeting

(x=k,m,k+m)

hydrodynamische dempingscoefficient voor resp

kegel, masEavat en combinatie van beide dimensieloze toegevoegde-massacoëfficiënt

experimenteel vastgstelde waarde voor

experimenteel vastgestelde waarde voor

tot xv

dimnensieloZe frekwent.ie

veeltermbenadering voor Re(2)

p densiteit van de Vloéistof (kg/rn3)

dimensieloze hydrostatische eerste-orde=coeffiöient

t

wachttijd

(m1,2,3,)

tijdsconstanten

poteit laalfunkt le

potentlaal Van de inVallende golf diffraktiepotentiaal

(1:1,... 6)

n

-(w.)

J

L).+W )

j k

(w+wk+w)

cömplexe voorstelling van de harmonische compo-nent van de derde-orde-potentiaal met frekwentie

w. -(w.)

j voor bewegingsamplitude

i(wi+ck) _{ie uitdrukking (11.2.38)}

(wj+wk+w) _{zie uitdrukking (11.2.57)}

x geornetriche faktor - zie uitdruking (II»4.25)

(1)

zie uitdrukking (11.3.33)

zie uitdrukking (II.3.Ll.7)

zie uitdru]çking (II.3.34)

zie uitdrukking (II.3.8) zie Uitdrukking (II.3.9)

zie uitdrukking (11.3.50)

w frekwentie (radis)

(ji,2,..!,N)

frekwentie van een harmonische component van de dompbeweging

wik w.+wk

w.k wj+wk+w2,

punt van het funktiedomein van punt van het funktiedoréin van

zie uitdrukking (II..37) zie uitdrukking (II..38)

zie uitdrukking (IÏ.'i.39) (n=1,2,3)

n-de-orde-potentiaal

complexe voorstelling van de harmonische compo-nent .van de eerste-órde-potentiaal met fre-kwentie w.

complexe voorstelling van de harmonische compo-nent van de tweede-orde-potentiaai met

fre-kwènt:ie w. + w

j k

Indices

toegevoegd complex getal van

B'

B'

amplitude van B

imaginair deel van B

waarde van B, bekomen met de theorie volgens J.Jensen en P.Pedersen ₁₈₉₁

reëel deel van 8

B

HOOFDSTUI< I. SITUERING VAN DE NIET-LINEAIRE STUDIE VAN HET RADIATIEPROBLEEM VQOR EEN DOMPEND AXISYHMETRISCH

LICHMN.

Deze thesis behandelt een theoretische en experimentele studie van de hydrostatische en hydrodynamische krachten waaraan een driedimensionaal axisymmetisch lichaam onderhevig is, wanneer

deze een ge4Wongen vertikale beweging uitvoert in een aanvankeiijk

ka1rn Vloeistofoppervlak. De oscillerende dornpbeweging, die aan het

lichaam wordt opgelegd, wordt beschouwd ais de superpositie van

een aantal harmonische coJnponnten met verschillende frekwentie. Aan de geometrie van het iichaam en de oiflgeving waarin het zich bevindt, worden, buiten de voorwaarde vari de axisymmetrie, geen

verdere eisen gesteld. Bij deze studie wordt'de aandacht in

hoofd-zaak gevestigd op de niet-lineaire aspekten van het probieem.

Deze behandeling van het hierboven geschetste radiatieprobleem kadert in een on4erzoek dat in de Dienst voor Scheepsbouwkunde

van de Rijksuniversiteit Gent onder leiding van prof. ir. V,.

Ferdinande wordt uitgevoerd aangaande de mogelijkheden van energie-winning uit zèegolven door middel van eerì drijvçnd tweedelig sys-teem.

Het lijkt dan ook aangewezen vooreerst een beknopte voorstelling van bet projekt te geven, etì de plaats de de onderhavige studie daarin inneemt, toe te lichten. Vervolgens zal de methode die in de volg.ende hoofdstukkn als oplosing van het beschreven probleem wordt voorgesteld, gesituerd worden in de huidige statid van de

hydrodynamica.

1.1. Het projekt "Energiewinninguit zeegoiven door drijvende

lichamen".

1.1.1. A1g nbedenin veraii4. met energiewinning uit zeegolven.

De studie van de. energiewinning uit zeegoiven werd in de Diens

voor Scheepsbouwkunde toegespitst op bet ontwerp van een

zogenaam-de "point-absorber", d.i. een golfenergieconvertör waarvan zogenaam-de af-ìetingeÏ klein zijn vergeleken met de golfierigte. nergieòpnarne

gebeurt doòr een veid van identieke, op geschikte afstanden van

elkaar gep,iaatste point-absorbers.

De grote voordelen van dit type convertor zijn de eenvoud van con-structie, de gernakkeiijke handelbaarheid en de sprelding van het risico ingeval van beschadiging of Veriles.,. 0m die redenen werd dit type verkozen boyen de zogenaamde "terminator"- en "attenuator"-types, waarvan de afmetingen m.instens van de grootte-orde van de

golfiengte zijn. Bij dé eerste soort, dIe loodreçht staat op de.

voortplantingsrichting van de golven, heeft men daarenboven af te

rekenen met extreem hoge verankeringskrachten ; dit probleem is

kleiner bij bet tweede type, waarvan de langsas parallel met de

voortplanting-srichting loopt.

Binnen de klasse van de point-absorbers werd geopteerd voor een boeisysteem, dat een reiatieve beweging uitvoert ten opziçhte van

een referentlestelsei ; de Systemen die gebruik maken van een

oscillerende waterkolom werden, orn reden van de lagere omzettings-rendeinenten, buiten beschouwing gelaten.

Voor verdere gegevens aangaande de verschiliende principes van

golfenergiecotiversie wordt verwezen naar ö.a.

_i,

_121,131 en

1.1.2.

Beschrijving van bet systeern

(ISt

Een principiêie schets van het tweedelige systeem wordt gegeven in figuur 1.1. Het deel (A+B), het dompende vlotersysteem, voert in

zeegolven een relatieve vertikale beweging uitten opzichte van bet deel (C+D), bet referentiesysteem. Via een dempingssysteem E, dat beide delen verbindt, wordt bruikbare golfenergie opgenomen.

3

Het dompende viottersysteem bezit een axisymmetrische geometrie

met veitikale Symmetrieas, en bestaat uit een wt?richte boei A,

star verbonden met een niet-waterdicht watermassavat B. Het

wa-ter binnen en buiten. het vat heeft, dank zij enkele openingen

in de rnnte.l, eenzelfde statische druk. De invloed van de

aan-wezigheid van het massavat op de ströming rond de boei zal

klei-ner zijn naarmate B dieper ondergedompeld is..

Het dornpende viottersysteem kan tot een bepaalde artiplitude

ver-tikaal oscilleren binnen het referentiesysteem, bestaande uit

een ondergedompelde horizontale

tr'aagheidsplaat D, met een

cen-trale- omrande cirkelvormige opening, waardoor het watermassavat

vrij op en neer kan bewegen, en een aantal vertikale waterdihte

kolommen C, star verbonden met de plaat, en bovenaan verbonden

door middel van traversen. Door een geschikte dimensionering van

de traagheidsplat zal de beweging van het referentiesysteem

gering zijn vergeleken me-t deze van het viottersysteem.

Tussen de kolommen en de boei enerzijds, en tussen de vertikale

boord van de centrale opening van de traagheidsplaat enhet

waterrnassavat anderzijds,

ordt de nodige speling gelaten voor

glijvlakken en leibanen, teneinde het dompende vlottersysteern

toe te laten gleid op çn neer te bewegen ten opzichte van het

ref erent le st els e i.

De twee delen moeen onderling gekoppeld worden door een

dempirigs--

systeem E, waaraan de gewonnen golfenergie onttrokken wordt. F

stelt het verankeringssysteern voor, dat de traagheidplaat

et

de zèebodem verbindt.

De geometrie van het viottersysteern vereist Wel enige toelichting.

Door het viottersysteem op een dergelijke wijze samen te stellen,

bekomt men het voordeel dat de natuurlijke periode van de

dompbe-weglng van het systeem veel gemakkelijker aangepast kan worden

aan een gegeven golfenergiespectrum, dan het geval zou zijn bij

een enkelvoudig drijvend lichaam, waarbij voor een optimale

wer-king zeer gr.ote afmetingen vereist zijn. Voor een beperkt gewicht

van het gèheel, bekomt men nu irnmers een veel grotere versnelde

massa, daar de massa van het viottersysteem niet alleen

4

maar ook met de massa Van het water binnen het vat. In ₁₆₁ wordt

aangetoond dat dit een verhoging van de efficiëntie van

vermogen-opname uit een onregeimatige zee tot gevoig heeft, wegens een

ver-hoging van het rendeent van de ene'gieopnaiie uit goifcomponenten

met, een frekwèntie die verschilt van de natuurlijke dompfrekwentie

van de viotter. Daarenboven wordt het rendement minder benvlöed

door sòhornme1ngen in de uitwendige elasting.

0m identieke redenen bleek uit ruwe, voorlopige berekeningen

dat een kegelvormigè boei waarschijrilijk gunstiger hydrodynamische

karakteriÈtiéken bezit dan de reeds in ₁₈₁ en

l onderzochte

ci-lindrische vorm. ovendien zal de kans ppschad ingeval van slam-ming nagenoeg onbestaande zijn.

.1.3. ang _ya.p. e riet-lirieairé studie van het radiatieprobleem

In ₁₅₁ werd,voor een eerste, beiiaderende evalUatievan de

verrnogen-opname, gbruik gemaakt van een lineaire theorie. Hierbij Wordt de onregelmatige zee voorgesteld als de som van een aantal hmonische componenten, en wordt voor elke frekentie het geabsorbeerde

yermo-gen apart berekend orn nadien gesommeerd te worden : op die wijze

wordt het probleem teruggebrcht tot de studie van de

energiecon-versie in regelmatige goiven.

Voor elke frekwentie wordt nu, teneinde een uitdrukkïng te bekamen

voor de responsie van het systeem, een evenw.ichtsvergelijking

opgesteld tussen de krachten, voortkomende uit de beweging van de viotter (radiatiekrachten, massatraagheidskrachten,

terugroe-pende kracht en uitwendige dempingskracht) en d. _{exciterende go1f}

krachten (FroudeKryiov- en diffraktiekrachten). Hièrbij wrdt een lineair verband ondersteld tussen de radiatekrachten en de bewging, en tussen de exciterende golfkrachten eti de golfamplitu-de.

Noemt men c(t) de vertikale beweging van het dompende lichaam, dan kunneti de uit deze beweging voortvioiende krachten ais voigt

geschreven woren

waàrbij m = massa van het systeem (kg)

a hydrodynamische (toegevoegde) massa (kg)

b hydrodynamische demping (kg/s)

D uitwendige demping (kgls)

c hydrostatische coëfficiënt (kg/s2)

5

pgS, met s opperviakte van de waterlijn (m2) Voor de bepaling van de coëfficiënten a en b werden modelprpeven

verricht in de tank van de Dienst voor Scheepsbouwkunde ; de

beschik-bare meêtaparatuur bleek daarbij echter niet zeer accuräat te zijn,

en dit voornamelijk bij de lagere frekwenties.

Verder werd bij de berekeningen de waade van de toegevoegde massa van de combinatie kegel-watermassavat vervangen door de som vän de toegevoegdç iassa's van beide samensteliende delen, terwiji de

invloed van de aanwezigheid van het inassavat op de hydrodynamische demping verwaarloosd werd.

Met het oog op een eerste evaluati? van het ontwerp ijn deze

be-naderingen n vereenvoudigingen beslist verantwoord. BÌj een line-aire aanpak wordt echter ondersteld dät de grootteorde van de be-wegi:ngsamp]4tuden klein is ; aangezien deze met het oog op

energie-opname aànzienljke waarden kunnen aannemen, is het duidelijk dat

in een verder stadium van het onderzoek een studie vereist wordt van de invloed van de verwaarloosd,e effekten. Onderhavige thesis

behandelt dan òok een eerste aspekt van deze studie, met name de

niet-lineaire studie van het radiatieprobleem.

Hierbij kan menteilen dat een tweede-ôrde-aanpak van het probleem niet voldoende is. Beschouw daartoe het geval van de gedwongen harmonisché beweging van een kegelvormige viotter in een

aanvanke-lijk.kalm V1oeistofoppervak (fig.I.2) Bij rust bedraagt de straal

op de waterlijn r, de diepgang T ; de halve tophoek van de kegel

wordt a genoemd. De hydrostatische kracht en het gewióht heffen

elkaar op bij rust

1 2 1

32

mg pgY pgr T .- rrpgT tg a (1.1.2)

Legt men het lichaam nu een opwaartse verplaatsing _{op, dan}

F5t

1rpgtg2 [T_r3

6

-iîg

(T2 tg2

C - a tg 2 - tg2a C3)

= -pg (SC irr tg +

-±g2 C3)

(1.1.3)

Beschouwt men nu de harmonische beweging

(t) = _COS wt

dan neemt (1.1.3) na uitwerkirg de voigende vorm aan

1

2.

F5t - Trpgr tg CA

(S + - tg )cos wt

+ itpgr tga

cos 2t

iTpg

tg2

C

COS 3wt

Men bemérkt dat reeds bij de beekening van de hydrostatica van

deze beweging derde-Orde-termen aati bod komen, zodat men kan ver-wachtef-i dat ook bij de hydrodynamica niet-verWaarioosba±e

verschijn-seien van de derde orde zullen optreden. Bovendièn biikt dat he.t

de derdé-orde-krachten .zijn die een bijdrage leyeren tot de eerste harmonische van dekracht, en.. op die manier een invioed uitoefenen op de energieconversie.

Bij het op,steflênvan de

t

_{orle zaJ men dus slechts termen vn}

vierde en hogere ordé mogen verwaarlozen. Daar het bovendien ook

wetiselijk is de interak.tie tüssen de verscheidene sathent-eiiende

delen van de viotter na ç gaa.n, mögen r qua geometrie geen eisen

worden opge.legd aan de iidhaiflen, op de voorwaarde van de

axisymme.-trie na. Ook is het wenselijk, met het oôg op de studie _{van de}

in-vioed van de traagheidsplaat, dat. de geothetrie van de omgevi.ng

vrij gekozeni rg worden .

Aangezien rèn gèmnteresseerd is in energieopname uit _een

onregel-matige zée, zal men zieh niet mogen beperken tot de studie vafl

de zuiver haDmonische :beweging. De theorie zal dn ook worden

samenge-stelde beweging.

Ter onde±'steuning van de theoretische resultten wérd het wenselijk geachtmodelproeven uit te voeren. De proefopstelling, waarover de Dienst voor Scheepsbouwkunde beschikt voor de bepaling van de krachten iWeÌkend op harnonisçh òsçillerende viotters, diende

echter .wei enige aanpassingen te ondergaan. Vooreerst werden enige

wijzigingen aangebracht aan het mechanische gedeelte teneinde mö-dellen met grote diepgang (zoals een massavat) op éen betrouwbare wijze té kunnen beproeven. Verder kon de analoge opnam-apparatuur, dank zij de beschikbaarheid van een A.D.C. en een i4croöpmputer

met

pppaauur, vervangen worden door digitale systemen.

Ten-siotté werd de proefstand aangevuld met een golfmeter, waardoor

het mogeiijk werd de demping op hydrödyaiuische wijze te verifiëren, en eventuele viskeue invloeden na té gaan.

1.2. Overzicht van de hydrodynamica van lichamen in golven.

8

De behandelde stUdie kan onêrgebracht worden in de richting van

de hydrodynamica die de krachten en bewegirigen bestudeert waaraan

drijvende of ondergedornpelde lichamen onderworpen worden onder

in-vloed van een regelmatig öf onregel-matig golfsysteem.

in de volgende paragraf en zal vooreerst een historisch overzicht

gegeven worden, van de ontwikkelirig van deze tak van de wetenschap.

Daarbij zullen termen als "scheepshydrodynarnica" en 'thydrodynarnica

van de scheepsbewegingent' veelvuldig gebruikt worden, wat niet

verworiderlijk is ais men bedenkt dat tot voor enkele decennia

sche-pen de enige aan golfkrachten onderhevi.ge lichamen waren.

Verder zal de plaats, die bet in dit werk gestelde probleem en de

voorgéstelde theoretische oplossing in bet geschetste kader innemen,

be sproken worden.

1.2.1. Historisch overzicht van de vroegste Qntwikkeiingen (181 ,1101)

Hoewel het fenomeen van de scheepsbewegingen in viak water en in

goiven reeds in de achttiende eeuw de aandacht genoot van enkele

universeel-wetenschappelijk ingestelde geleerden zoals

Euler,

Bouguer en Daniel Bernoulli, wordt algemeen erkend dat de

grond-slagen van, dit aspekt van de hydrodynamica werden gelegd in

1.861,

met de publikatie van William Froude's paper ttQ

the Rolling of

Shipst9. Zijn werk werd voortgezet door zijn zoon, R.E. .Froude,

en werd in

1896-1898

door Krylòv uitgebreid tôt zes vrijheidsgraden.

Froude en Krylov gingen uit van dezelfde hypothesé

zij benaderen

de werkelijke drukken op de scheepsromp door de overeenkomstige

drukken in de ongestoorde inkomende golf

;

zij verwaarloosden

zo-doende de storing die het aanwezige lichaam in het drukpatroon

te-weegbrengt. Deze zogeheten Fröude-Kr,lov-.hypothese is van zeer

groot belang geweest voor de verdere ontwikkeling van de

scheeps-hydrodynamica, eri heeft deze wetenschap tot ca.

1950

volledig

ge-domine erd.

Kort na de tweede wereldoorlog heeft de studie van de hydrodynamica

onder invloed van verscheidene faktoren een zodanige impuls gekregen,

dat .in korte tijd grote vooruitgang werd geboekt. Een eerste faktor

die daarin een rol heeft gespeeld was de toepássing van de

spectrum-9

analyse op het geval van zeegoiven (St. Denis en Pierson, 1953),

waardoor het verantwoord werd het geval van een regelmatige,

sinusoidale golf te bestuderen. Andere stimulerende faktòren waren. ongetwijfeld de opkomst van rekenautomaten, waardoor voòrheen on-. praktische berekeningsrnethoden nieuwe perspektieven kregen, en de

uitbreiding van hët tòepassingsgebied : nieuwe constructiemethodes

en scheepstypes, en de opkómst van de offshore-industrie Vereisten

wetenschappelijk gefundeerde berekeningsrnethoden.

1.2.2. Lineairepotentiaaitheöríe

Gezien de complexiteit van het probleem dringen verscheidene

vereenvoudigingen zich op. Vooreerst wordt ondersteld dat de

vloei-'stôf een ideale vloeistof is, vrij van viskositeit. Voor een

der-glijke vioe!stof kan men bewijzen (zie o.a. 11,I12I) dat de

dir-culatie

r,

die wordt gedefinieerd als

r

= u dx. (1.2.1)

J 3- 3.

C

aarbij C een geloten cofltour in de vloeistof is, die de beweging

van de vloeistof volgt; de booglengte is;

u1 de tangentile sniheid langs C i;

constant is. Dit houdt in dat in een vloeistof die aanvankeiijk

in rust verkeert, geen rotatie veroorzaakt kan worden (irrotationele

vloeis-tof), wat fysisch verklaard kan worden door de afwezigheid van schuifspanningen.

De hypothese van de irrotationele vloejstof m'aakt het invôeren

van een snelheidsotentiaal rnogelijk, wat aanzienlijke praktische voordelen oplevert, daar de beweging van de vloeistof nu beschreven

kan worden met behulp van een skalaire funktie in plaats _{van een}

vektorfunktie. Er geldt immers

V _(1.2.2)

waarbij de snelheidsvektor, en de potentiaalfunktie in een punt van de vioeistof voorstellen.

Aangezien de vergelijking van. Bernoulli

10

metp =druk

p0 = atmosferische drük

z vertikale coördinaat (naar boyen gericht) p densiteit van de vloeistof

t tijd

g = zwaartekrachtversnelling

het verband legt tussen de drukverdeling en de potentiaa]funktie,

kan het probleem. van de hydrodynamische krachten herleid worden tot

de bepaling van de potentiaalfunktie. Men besçhikt daarvoor over

de vergelijking van Laplace,

= o (I.2.L1)

de de wet van het behoud van de massa (continuìteitsvergelijking)

weergeeft voor het geval van sen onsarnendrukbare, irrotationele

vloeistof, en over een aantal randvoorwaarden

- op het vrije vloeistofoppervlak geldt

dat de

v1oestofpari-culen de beweging van de golf rnoeten volgen (kinematische

voor-waarde), en dat de druk gelijk is aan de atmosferische druk

(dynamische voorwaarde)

- op vaste oppervlakken (by. .bodem) moet de normale component van

de snelheid nul zijn ()

- op de bewegende opperviakken moeten de noriliale componenten )an de sneiheid van de vloeistof en deze van het opperviak gelijk ziin ().

Verder wordt de vloeistof onderstéld vrij te zijn van opperviaktespannhng.

Een tweede reeks onderstellingen is gebaseerd op het aannemen van

het principe van de lineaire superpositie.

In de eerste plaats kan daardoor de studie beperkt 'worden tot de

bepaling van de responsie in ei g_golven. Eeti onregelmatige

zeegang kan immers in harmonische componenten opgesplitst worden, en de aangenomen ljneariteit laat toe de responsies op alle

compo-tienten te sommèren.

Een lineaire aanpak van het probleem impliceert echter de verwaar-lozing van alle niet-lineaire termen in de berekening van de drukken

(zie vergelijking (1.2.3) van Bernoulli) en in de randvoorwaarden

In het tweede hoofdstuk zal immers blijken dat de vergeiijking op het vrijé opperviak niet alleen nietlineaire termen bevat, doch

(*) Bj een viskeuze vloe±stof wordt dit ook vereist vòôr de tauigentiële component.

bovendien ook moet toegepast worden op een oppervlak dat niet a'

priori gekend is. Dit laatste geidt ook voor de randv.00rwaarde op

het oppervlak van het beschouwde lichaam, die nochtans op zichzeif

lineair is. Men kan de positie Van deze opperviakken benaderen

door een Taylorreeksontwikkeling orn de gemiddelde stand

; hierdoor

zullen echter niet-lineaire termen ontstaan die opnieuw

verwaar-ioosd moeten worden teneinde het superpositiebeginsel te kunnen

toe-passen. Deze werkwijze komt hierop fleer, dat de gelineariseerde

randvoorwaarden worden vóldaan op de gemiddelde positie vari de

bes chouwde opperviakken.

Door deze vereenvoudigingen wordt irnpliciet aangenornen dat de

invallende golf, en bijgeVolg ook de responsie,

ein_

arnplituden bezitten, aangezien dezelfde vergelijkingen worden

be-komen indien men zich baseert op een perturbatietheorie en enkel

de termen van de eerste orde behoudt. Algemeen genomen vertrekt

men voor de oplossing van een randvoorwaardenprobleem met behuip

van een perturbatietheorie (zie o.a.

ll3I,IlI)

van een gekende

partióuliere oplossing (bijvoorbeeld de triviale oplossing van de

potentiaal bij rust) en kiest men vervolgens een dimensieloze

para-'meter

,

die het fysische probleem karakteriseert én zodanig

gekó-zen is dat de oplossing gelijk wordt aan de gekende particuliere

oplossing als c tot nul nadert. De funkties die in de

randvoor-waarden voorkomen, worden nu in machtreeksen van e ontwikkeld, en

iÏ

die vorm in de vergelijkingen gesubstitueerd, waarna de

groot-heden per macht van

gegroepeerd worden. Men bekomt aldus een

reeks van randvoorwaardenproblemen

de coëfficiënten van

(n

1,2,...) leyeren de geevens voor de n-de-orde-theorie.

Wanneer men zich beperkt tot de eerste orde, dan zullen de

resul-taten slechts met de werkelijkheid overeenstemmen als

zeer klein

wordt.

Net aldus geschetste probleem wordt vervolgens rneestal in twee

deeipröblemen opgesplitst. De kracht, die op een lichaam in golven

aangrijpt, kan immers beschouwd worden als de som van de

12

Voor de berekening van de excitatiekracht wordt het lichaam

vast-gehoiiden in de inkomende golf. Door de aanwezigheid van het ichaam

wordt de golf gestoord, zodat er een hydrodynanisch drikvel

ont-.s±aa : men spreekt van diffraktie van de invallendê golf.

De bepaling van de reaktiekracht vereist de opios sing van het

zo-genamde radiatieprobleem, waarbij het lichaam onderworpen wordt

aan een edwongen harmonische oscillatie orn zijn evenwichtsstand

in een oorspronkelik kahn vloeistofoppervlak.

De potentiaalfunktie wordt aldus als voigt opgesphitst

6

+ +

ti

(1.2.5)

i=1

waarbij de potentiaal van de invallende golf de diffraktiepotentiaal, en

de radiatiepotentiaal voorstelt voor de bewegings-mödus i.

De potentiaalfunkte vn de aankomende, ongestoorde infinites.-'

male golf kan gevonden worden in o.a.

1131, liii, IiI,

15!.

In de laatste drie werken worden de potentia.ler overeenkomstig

an-dere golftheorieën evéneens uitvoerig beheld.

De diffrakie- en taditiepotentialen zijri de opossingen van de vergelijking van Laplace, die voldoen aan een aantal randvoorwaar-den die hoofdzakelijk van het Neumann-type zijn (dat wil zeggen dat de normale afgeleide van de gezochte funktie gegeven is op de grensoppervlakken 1161). Het probleem wordt een gemengd Neumann

-of ook nog een Keivin-Neumann-probleem genoemd.

Het verschil tussen de twee problemen betreft de randvöorwaarde op he-t opperviak van het bewegende hichaam.Bij het radiatiepro-bleem wordt de normale afgeleide van de pçtentiaal opgelegd door

de gedwongen beweging, terwiji de randvoorwaarde voor de diffraktia-\ poten-tiaal voortvloeit uit de fysische betekenis van het diffraktie-probleem : het hichaarn wordt vastgehouden in de golf, zodat

+

7)/fl

O _{(I. 26)}

13

Overigens voldoen beide types van potentialen aan dezelfde

randvoor-waarden op het vrije vloeistofoppervi.ak en op de bodem, en moeten

ze beide op grote afstand van het lichaam voidoen aan eetizelfde

radiatievoórwaárde, die uitdrukt dat de door diffraktie

respektie-velijk radi,atie ontstane golven progressieve golfsystemen vorrnen.

Daar: de randvoorwaarde (1.2.6) voor

moeilijker te behandelen is

dan deze van de radiatiépröblemen, werden middelen gezocht orn

het diffraktieprobleem te ornzeilen. Met behuip van door }iaskind

1171 opgestelde betrekkingen, werden de exciterende golfkrachten

door Newman 1181 in verband gebracht met de hydrodynamische

reaktie-kraòhten. De amplitude van de exciterende kracht kan, o.a. in het

geval van axisymmetrische lichamen, berekend worden indien de

hydro-dynamische dempingscoëfficiënt gekend is, maar over de

faseverschui-ving kunnen geen gegevens verstrekt worden (161,1101). Voor

drijven-de lichamen waarvan drijven-de dimensies klein zijn vergeleken met drijven-de

golfiengte, kan een zogenaamde TTlange_golf_approximatie

toeepast

worden

:

hierbij wordt een uniforme verdeling van de snelheden over

het oppervlak van het beschouwde lichaarn ondersteld. De resultaten

van deze werkwijze suggereren dat een "hypothese van relatieve

be-weging" tot dezelfde uitdrukkingen leidt 1131. Deze methode werd

door Ferdinande 161 verder uitgewerkt door de attenuatie van de

golfeffekten 'met de diepte'onder het vloeistofoppervlak in rekening

te brengen.

In andere gevall,en moet men echter zijn toevlucht zoeken in dè

oplossing vari het hierboven geschetste Kelvin-Neurnann-probleern.

Tal vn werkwijzen werden voorgesteld, die in grote lijnen

onder-gebracht kutinen worden in vier klassen (1191,1201).

Bij e'en eerste groep van methoden worden binnen het beschouwde

lichaarn een aantal singulariteiten op zodanige wijze aangebracht,

dat

an de randvoorwaarde op het lichaam völdaan is. Deze methode

is de oudste, en werd voor het eerst toegepast door Ursell 1211

voor het tweedimensionale geval van een dompende,

halfondergedom-pelde horizontale cilinder met cirkelvormige sektie.Daartoe werd

de cilinder vervangen door een bron en een reeks multipolen in

C.Re [bron

+

m:1

(1.2.7)

Op een analoge wijze behandelde Havelock 1221 het driedimensionale

probleem van de dompende hemisfeer

; Grim

1231

benaderde de

poten-tiaalvoor cilinders met andere sekties (ellipsen, Lewis-vormen)

door de som van een beperkt aantal partikuliere oplossingen.

Uitgaànde van de (exaôte) opiossing van Urseli kon

door toepassing

van een conforme transformatie

w

a

+

_(2n+1)]

_(1.2.8)

het radiatieprobleem opgeiost worden voor tweedimensionale lichamen

met sekties van diverse vormen. Tasai 1241 berekende op die manier

de hydrodynamische krachten voor eiliptische cilinde±s en

Lewis-vormen (waarbij de reeks in uitdiukking (1.2.8) wördt afgebroken

nade tweede term)

; Pörter

1251

beschouwde ook andere vormen.

De Jong

1261

gebruikte een methode van Smith 1271 ter bepaling

van de coëffjcjën-ten van de conforme transformatie voor een

wille-keurige vorm van de sektie. Een geiijkaardige werkwijze werd gevolgd

door Landweber en Macagno 1281

De Jong 1291 breidde de methode

verder uit tot het geval van twe

paralielie identieke ciliiders

(catamaran).

Het belgrijkste nadeel van deze methöde is de beperking die an

de geometrie vari de ciinder wordt opgelegd

een conforme afbeeiding

op een cirkel is slechts mogelijk indien de sektie de waterlijn

iood'echt doorsnijdt, en de raakiiji op de vertikale symmetrie-as

horizontaal verloopt

Daarenboven is de transforrnatie tijdrovend

ingeval van arbitraire vormen.

BÌj een tweede reeks methoden wordt het lichaain vervangen door

een reeks Duiserende bronnen en doubletten o_1_9pervlak van

het lichaam (zie o.a.

_{I131,l15I,1301,131D.}

De potentiaal van deze

individuele singulariteiteri voidoet aan alle randvoorwaarden,

uit-gezonderd aan .deze op het oppervlak van het lichaarn

;

de sterkte

van de singulariteiten moet zodanig gekozen worden dat ook aan

deze laatste voorwaarde voldaan wordt.

m

e

De waarde van de potentiaalfunktie in een punt Q indien zich in Peen bron met eenheidssterkte bevindt., wordt. gegeven door een Greense funktie:

G(P,Q) = + G0 (P,Q) (1.2.9)

waarbij de afstand tussen P en Q voorselt.

(Notà : deze uitdrukking geldt voor het driedimensionale geval.

Wanneér het een twee.dimensionaal probleem betreft, moet 1I/L

ver-varigen worden door in /).

Uitdrukkingen voor G(P,Q) werden voorgesteld door John

_(1321,1331)

in de vorm vaneen oneindige reeks, en door Wehausen en Laitone

I1I

in integraalvorm (zie oak 311 voor meer gedetailleerde

theoretische ontwikkelingen van de twee- en riedirnensionale

ge-vallen).

Daar de gezochte potentiaa1funkte en de potentiaalfunktes G

van debronnen Voldoen aan de vergelijking van Laplace, en aan de radiatievoorwaarde en de randvoorwaarden op het vrije opperviak en op de boden, bekomt men door toepassing van het theorema van

Green

y (P)

=

JJ

[G(P,Q)

-- (Q) - (Q) (P,Q)]dS

(1.2.10)

Sb

waarbij y = O indien P buiten de vloeistof ugt ;,

y 2ir indien P een punt van het grensopperViak is. ;

y ir indien P binnen de vloeistof ugt.

Sb telt het natte opperviak van het lichaa.m voor.

De gezochte potentiaal in een punt binnen. de vloeistof wordt nu ,gelijkgesteid aan de potentiaal veroorzaakt door een verdeling vari bronnen over het opperviak Sb

-

JJ

f(Q) G(P,Q)dS . (1.2.11)

S.b

met f(Q) de sterkte van de singulariteit in het punt Q van Uit (1.2.11) voigt, na uitwerking, een integraalvergéiijking

van Fredhoim van de tweede soort

15

- _{f(P) +}

._. J

16

waarbij het rechterlid gegeven wordt door de randvoorwaarde öp Sb.

Deze methode wordt dan ook. de interaalverelijkings- of

Greense-funkt je-methode genoernd.

Newman

(I3I,I35I,I36I)

wist de oplossing van de int?graalverge-lijking (1.2.12) te omzeilen met behulp van een "thin ship

approxi-mation". Hij beschouwt de gekoppelde domp en stampbeweging van

een schip, waarbij de berekeningen doorgevoerd worden met twee

perturbatieparameters : de bewegingen en de

breedte-lengte-verhau-ding. Daardoor kunnen de integralen (I.. 2.12) analytisch berekend worden.

Gelijkaardige berekeningen werden uitgevoerd door MacCamy voor

het tweedimensionale geval van een "shallow draft cylinder"

(1371,1381) ; Kim breidde diens werk uit tot drie dimensies door

het geval van öscillerende ellipsvormige horizontale schijven

391 eri ellpsoîden °l in het vrije opperviak tç beschouwèn.

Wanneer men de methode echter wil toepassen op lichamen met een

arbitraire vorm, dan is men genoodzaakt zijn toevlucht te nernen

tot numerieke benaderingsmethoden. Het opperviak Sb wordt verdeeld

in een aantal (N) diskrete elementen Sb, waarover de potentiaal

constant wordt ondersteld. Deintegraal in (1.2.12) wordt dan

be-naderd door een eindige som ; stelt men een dergelijke vergelijking

op voor elk element tSb, dan bekomt men een lineair stelsel van N

vergelijkingen met N onbekendn ; de opiossing ervan geeft de

sterkte Van de singulariteitei in de disjcretisatiepuntefl, zodat

met behuip van uitdrukking (1.2.11) de potentiaal berekend kan worden. De numerieke oplossing v.n het prOblem werd voor hét

eerst bewerkstelligd door FraÑk (Ttclose-fitt'-methöde : 1411, 142.1)

voor tweedimensionale gevallen, en door Garrison (l3 I ,

I4l

,

I5l)

voor toepassingen in drie dimênsis.

Een meer algemene en direkte methode werd geînroduceerd door

Potash 1841. Hierbij wordt het theorema van Green toegepast op de

Greense funktie G en de gezoc1ite otentiaalfùnktie, wt aanleiding

geeft tot een niet-homogene iiitegraalvergelijking van Fredholm

van de tweede soort, met de potentiaalfunktie zeif als onbekende

funktie (integraalvergeliking van Helmholtz). Black ₁₄₆₁ en

Fenton

_k71

gebruikten de méthode voor de berekening van de

behandelden daarenboven het radiatieprobleem.

Eén van de nadelen van deze methode is bet optreden van ogenaamde

!'irregularfre9uencies" waarvoor de determinant van de

coëffici-entenmatrix van hogervermeld stelsel gelijk nul wordt. Het

voor-komen van deze onregelmatighederi is niet van fysische aard, maar

is buter te wijten aanhet wiskundige model.. Door het opperviak van bet lichaam te vervangen dbor singùlariteitén ontstaat ook binnen het opperî1ak een hydroynaniisch drukveld; de "onregeirna-tige frekwenties" komen overeen met de frekwenties waarbij de

in-wendige vboeistof in resonanti.e komt en een staand golfsys.teem veroorzaakt. 'Dit verschljnsel werd voor bet eerst onderkend door John _1331.

Verscheidene methoden orn het optreden van deze onregelmatige

frekwenties te omzeilen, werden voorgesteid. P. Wood bracht ook op de inwendige Ñaterlijn singulariteiten aan, en beschouwde dat oppervlak als onbeweeglijk door middel vn een randvoorwaarde.

Deze werkwijze werd theoretisch verantwoord door Ohmatsu

I9I.

En gelijkaardige methode werd1 voorgesteld door Ursell SOI, die

een brondistributie op het oppervlak van bet lichaam aanvult met een aantal multipolen binnen dat opperviak. Andere alternatieven

worden gegeven doör 'Kobus (151,1, zie ook. ₁₅₂₁₎ en Ohmatsu _1531. Alle methodén hebben echter ee'n. gemeenschappelijke filosofie controle van de beweging van de "inwendige Vloeistof".

Len ander nadeel van de Greense-funkt.ie-methode betreft de

nurne-rieke bepaling van de waarde van deze funkties zelf. Len analytische

uitdrukking is slechts mogelij:k in de vor'm van een oneindige reeks

of van (oneigenlijke) integralen ; bovendien bezit de funktie

singulariteiten. Het is dan ok logisch dat er verscheidene

metho-den wermetho-den voorgesteld orn de funkties met een minimun aan

computer-tijd voldoende nauwkeurig te benaderen (Hearn Newman

_1551).

Een methode die een aparte plaats inneemt binnen de

integraal-vergelijkingsmethoden, is deze van, Yeung 1561, die de Greense

bronfunkties vervangen heeft door de potentiaalfunkties voor

bronnen in een. onbegrensd fluidum (ilk). Daar deze funkties aan

geen der randvoorwaarden voldqen, komen in de integraalvergelijking

(1.2.12)

nu niet enkel integralen voor over het opperviak van het

lichaam, maar ook over de. andre begrenzingsviakken. Bij een

18

diskret:izatie moëten dan ook deze andere v,lakken in elementen

opgedeeld worden. Het is bijgevolg noodzakelijk over eèn

radiatie-voorwaarde te beschikken, die geldig is op een eindige afstand

tot de oorsprong ;

Yeung maakte hier'voor gebruik van deze

ontwik-keld door Bai

I 57

I.

Deze werkwijze heeft het voordee]. dat de nuinerieke moeilijkheden

bu

de berekening van de Greense funkties vervallen ;

bovendien

is niet alleen de geometrie van ht. lichaam, maar ook deze van

de omgeving (bodem, eventuele stilstaande obstakels), willekeurig.

En nadeel is echter de grotere omvang van het op te lossen stelsel.

Kritis

(181,191,1581)

paste Yeung's methode toe voor de berekening

van de krachten die inwerken op dörpende axisymmetr.ische licharnen.

De grensoppervlakken werden in axisyrn.nietrische eleÏntaire

opper-viakken verdeeld. De opperviakte-integralen, de door deze

diskre-tisatietechniek in de coëfficiëntèn en bekende termen van de

li-neaire vergelijkingen ontstonden, werden op een deels analytische,

deelsnumerieke manier benaderd.

Een derde klasse van methoden rnaakt gebruik van eindige elementen.

Een min of meer gedetailleerde beschrijving vindt men o.m. in

151,1301,1311,1591; krt

samengevat verloopt de redenering als

voigt.

Het doein van de vioeistof wordt ingedeeld in "eindige elementen",

subdomeinen die elkaar niet over].appen en die bepaalde "knopen"

op of binnen hun randen hébben. De. funktiewaarde van de gevaagde

potentiaal zal slechts bepaald worden in de rposterpunten ;

orn

de potentiaal in andere punten van het element te berekenen,

wor-den zogenaamde "interpolatefunkties" (gewichtsfunkties) ingevoerd.

De potentiaal moet voldoen aan de vergeiijking (I.2»4) van Laplace

in het domein c, en aan een aantal randvoorwaarden die önder de

volgende vorm geschreven kunnen worden

+ + ß O

op S

(.2.13)

Beschouw nu de funktionaal

n =

JJ

. v2 dc2 + + B

)dS

(I.2.1.i)

19

Mén kan bewijzen 1601 dat aan de v.ergelijking van Laplace en aan de randvoorwaarden voldoet indien 11 stationair is voor de funktie .

Men stelt daarom de voorwaarde

O , i 1, ...,N (1.2.15)

waarbij de waarde voor in knoop i, en N bet totaal aantal

knopen voorstelt. Op die manier bekomt men een stelsel van N

li-neaire vergelijkingen met N onbekenden.

Het nadeel van deze methode bestaat erin, dat de potentiaalfunktie berekend wordt in een groot aantal punten, verspreid over het do-mein van de vloeistof, terwiji men meestal slechts geinteresseerd

is in de potentiaalverdeling op het lichaam, en eventueel op het vrije vloeistofoppervlak. .Hetstelsel, kan daardoor, vooral bij

een grote bodemdiepte, aanzienlijke afmetingen aanneinen. De matrix

van het stelsel bezit bij de eindige-elementenmethode echter een

beperkte bandbreedte-, terwijl deze van de singulariteitenmethoden volledig "vol" is.

Bij gebruik van een eindige-elernenten-methode duikt dezelfde rnoei-lijkheid op di,e reeds vermeld werd bij de beschrijving van Yeung's singulariteitenmethode in een vloeistof waarvan het domein zich

in horizontale richting oneindig ver uitstrekt, moet een geschikte formulering voor de radiatievoorwaarde gevonden worden. Tussen de methoden, die hiertoè gebruikt worden, kn men verscheidene groepen

onderscheiden (zie o.a.

_{151,1301 ,1611).}

Een eerste methode maakt gebruik van een formulering voor de

radi-atievoorwaarde op eindige afstand tot de oorsprong. Deze methode

werd uitgewerkt door Bai

_(1571,1601).

Tot een tweede groep behoren de zogenaamde "hybride elementen-methoden". Het vloeistofdomein wordt ingedeeld in een "inwendig"

domein in de omgeving vá.n het lichaam, en een "uitwendig" domen,

dat zich oneindig ver uitstrekt. Een eindige-elementen-methode wordt aangewend voor de oplossing van het inwendige probleem, terwiji de potentiaal van het uitwendige gebied geformuleerd kan

worden als een analytische reeks (Bai èn Yeung

_1601;

Chen en ?1e1

1621;

Zienkiewicz, Kelly en Bettess

_1631),

of door middel van een singulariteitenverdeling over bet grensopperviak tussen de twee domeinen (Zienkiewicz et al

_1631).

De oplossingen voor de twee

20

deèlgebieden bevatten nog een aantal onbekenden, die gevonden kunnen

worden door gelijkstelling van de oplossingen op bet grensoppervlak

("matching").

Een laatste werkwijze impliceert het gebruik van zogenaamde

"on-eindige elementen", met een aangepaste, expönentleel afnernende

in-terpolatiefunktie (Bettess

I64l

,

_1651).

De auteur waagt het niet een overzicht te geven van

e specifieke

radiatie- en diffraktieproblemen die rnè.t een eindige-elementenmethode

werden opgelost.. Algemeen kan gesteld worden dat de meest diverse

twee- en drie-dimensionale geometrische omstai-idighederi behandeld

kunnen worden, maar dat daarvoor wel een kractige computer vereist

is.

Een vierde en laatste.groep werkwijzen biedt een opiossing voor de

radiatie- en diffraktieproblernen in zeer specifieke, eenvoudige

geometrische omstandigheden, voornamelijk vertikale cilinders met

een cirkelvormige of elliptische doorsnede.

I-let domeih van de vloeistof wördt ingedeeld in verscheidene

subdo-meinen

; voor het geval van een drijvende ciliider met straal a

bijvoorbeeld, hèschouwt men een "inwendig" (r < a) en een "uitwendig"

(r > a) domein. Voor elk deelgebied zoekt men partikuliere

óplossin-gen Van de vergelijkirig Van Laplace, die aan de randvöorwaarden

voldoen

;

dit kan gebeuren door bet principe van de scheiding van

de veranderlijken toe te passen. De potentiaalfunktie kan in de

verschillende subdomeinen geschreven worden als een

reeksontwikke-ling van deze

igenfunkties

;

de coëfficiënten worden gevonden door

"matching" van de oplossingen opde grenzen van de subdömemnen.

De aanpassing van de deelóplossingeri 'geeft aanieiding tot een

inte-graalvergelijking, die op verscheidene manieren aangepak-t kan

wòr-del-i (methode van Galerkin, variationele methode van Schwinger).

De methode werd ondermeer tÖegepast door Miles en Gilbert

I 66

Garrett 1671, Black, Mel en Bray

1681,

Kokkinowrachos eti Wilckens

1691, Calisal en Sabuncu(1201,1701), voor de berekening van

radiatie-of diffraktiekrachten op axisyrnmetrische vertikale cilinders met

constante of trapsgewijs verlopende diameter. Chen en Mei 1711

be-handelden de diffraktiekrachten op een vertikale cilinder met

21

tussen verscheidene vertikale cilinders.

Het grote voordeel van deze methoden bestaat erin, datde computer

bijzonder weinig werk te verrichten krijgt, maar daartegenover staat

dat het voorafgaande theoretische werk des te groter.is. Bovendien

is de oplossingswijze gebonden aan één bepaalde geometrie.

1.2.3. Niet-lineaire theorieën Hydrostatische krachten

Daar de wetten van de hydrostatica reeds veel langer doorgrond z:ijn

dan deze van de hydrodynamica, is het niet verwonderlijk dat de

studie van de niet-lineaire termen in de hydrostatische

(terugroe-pende) krachten en hun invloed op de bewegingen van drijvende

li-chamen, en in het bijzonder van.schepen, reeds geruim t:ijd aan de

gang was op het ôgenblik dat de lineaire hydrodynamische theorieën

nog in volle ontwikkeling waren,

Een van de oudste voorbeelden is de stabiliteitskromme van een schip,

die de veanderlijkheid van het térugroepende koppel met de dwars-scheepse helling weergeeft. Dedaaruit volgende niet-lineariteit

van de rolbeweging, en de invloed van de rolarnplitude o de

natuur-lijke frekwentie werd o.m. behandeld door Blagoveshchensky

_3L

Een ander voorbeeld is de niet-lineaire interaktîe tussen de domp-. en de stampbeweging van schepen, die gedeeltelijk van hydrostatische aard is (Paulling en Rosenberg

I7I).

-Cok in recentere publikaties worden van de niet-lineaire effekten

soms alleen de hydrostatische termen beschouwd, zoals Sommèr _751,

die eveneens de domp- en stampbeweg-ing vn schepen bestudeert.

Dit is verantwoord wànneer verwacht wordt dat de hydrodynamische krachten klein zijn vergeleken met de hydrostatische (bijvoorbeeld

bij lage frekwenties), of wanneer de beschikbare middelen ontoei'ei-kend zíjn orn een hydrodynamische studie door te voeren.

Hydrodynamische krachten

Zoals vermeld in paragraaf 1.2.2., werden heel wat vereenvoudigingen ondersteld cm een lineaire aanpak van het.probleem mogélijk te

22

- de randvoorwaarden werden beschouwd op de gemiddelde, en nietop de ogenblikkelijke positie van het vrije vloeistofoppervlak en

het natte opperviak van bet lichaam ;

- de niet-lineaire termen in de randvoorwaarden werden. verwaarloosd

- bij de berekening van de drukken werd geen rekening gehouden

met de niet-lineaire termen in de vergelijking van Bernoulli _;

- de krachten werden bekomen door integratie van de drukken over

het gemiddelde, en niet over het ogenblikkelijke natte opperviak. Wanneer men nu in de exacte vergçlijkingen slechts de terrnen van

een orde hoger dan n verwaarloost, dan bekomt men een theorie van de n-de orde. Uit een literatuurstudie is gebleken dat er tot op

heden nog geen enkele theorie voor de oplossiti van radiatie- of

diffraktieproblemen ontwikkeld werd die verder gaat dan de tweede

orde.

Zoals zal blijken in Hoofdstuk II, geeft een opsplitsing van de

potentiaalfunk-tie in termen van de eerste en de tweede orde, naast

bet randvoorwaardenprobleem voor de eerste-orde-potentiaal,

aaniei-ding tot een gelijkaardig probleem voor de tweede-orde-potentiaal. Voor de bepalin van de niet-homogene termen vati de ratidvoprwaaden

voor deze laatste moet het verloop van de lineaire potentiaal

ech-ter gekend zijn.

Het is dan ook logisch dat de eerste volwaardige potentiaaltheorieën

van de tweede. orde slechts op het einde der zestiger' jaren

voorge-steld werden. Voorheen werden er echter wel werkwijzen ontwikkeld

ter behandeling van zekere deelaspekten van het tweede-orde-probleern, met behuip van de resultaten van linea.ire theorieën. Zo stelden

Goodman en Sargent 1761 een perturbatietheorie op orn bet effekt

na te gaan van een kleine verandering van de geometrie van een

lichaam öp de elementen van de hydrödynamische

toegevoegde-rnassa-tensor. Men beschouwt nu als wijziging aan de geometrie de

verande-ring van he.t natte opperviak dat het ]Jchaam ondervindt bij een dompbeweging. De kracht te wijten. aan deze verandering kan dan toegeschreven worden aan de wijziging van de toegevoegde massa.

Er wordt aangetoond dat deze perturbatie aanieiding geeft tot een

niet-lineaire term, evenredig met het kwadraat van de sneiheid,

met als evenredigheidscoëfficiënt de afgeleide van de toegevoegde