MODELOWANIE CHARAKTERYSTYKI KONSTYTUTYWNEJ MATERIAŁU SMA Z UWZGLĘDNIENIEM LEPKOŚCI

(1)

MODELOWANIE CHARAKTERYSTYKI KONSTYTUTYWNEJ MATERIAŁU SMA Z UWZGLĘDNIENIEM LEPKOŚCI

W

IESŁAW

G

RZESIKIEWICZ

, A

RTUR

Z

BICIAK^*

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych, Politechnika Warszawska e-mail: wgr@simr.pw.edu.pl

*Wydział InŜynierii Lądowej, Politechnika Warszawska e-mail: a.zbiciak@il.pw.edu.pl

Streszczenie. Celem pracy jest prezentacja matematycznego opisu związków konstytutywnych materiału SMA z uwzględnieniem zjawiska lepkości. Istota matematycznego opisu relacji fizycznych sprowadza się do sformułowania równania róŜniczkowego pierwszego rzędu względem tensora określającego niespręŜystą część odkształcenia. Wykorzystano odpowiednio skonstruowany schemat reologiczny materiału SMA. Otrzymane relacje konstytutywne zostały zaprogramowanie w ramach procedury VUMAT, komercyjnego systemu MES ABAQUS/Explicit.

1. WSTĘP

Materiały z pamięcią kształtu (ang. SMA, Shape Memory Alloys) charakteryzują się zdolnością do przenoszenia duŜych odkształceń, które zanikają podczas odciąŜenia. Efekt ten, zwany pseudospręŜystością, jest związany z odwracalną przemianą martenzytyczną wywołaną zewnętrznym napręŜeniem [2]. Znalazł on wiele zastosowań inŜynierskich, wśród których moŜna wymienić m.in. ochronę konstrukcji budowlanych i inŜynierskich przed skutkami drgań [3, 8].

Celem pracy jest prezentacja matematycznego opisu związków konstytutywnych materiału SMA z uwzględnieniem zjawiska lepkości. W zaproponowanej metodzie formułowania relacji konstytutywnych istotną rolę odgrywa analiza odpowiednio skonstruowanego schematu reologicznego materiału, który pozwala na wprowadzenie dodatkowych zmiennych wewnętrznych. W przyjętym modelu, odkształcenia materiału rozkładają się addytywnie na dwie części. Pierwsza z nich wyznacza odkształcenia ciała idealnie spręŜystego (ciało Hooke’a), natomiast drugą część określa odkształcenie ciała sztywno-idealnie spręŜystego (ciało Hencky’ego) oraz połączonych z nim równolegle ciał sztywno-idealnie plastycznego (ciało Saint Venanta) i lepkospręŜystego (Maxwella). Istota matematycznego opisu związku konstytutywnego SMA sprowadza się do sformułowania równania róŜniczkowego pierwszego rzędu względem tensora, określającego drugą część odkształcenia. Wprowadzenie elementu lepkospręŜystego umoŜliwia badanie wpływu prędkości deformacji na dynamiczne zachowanie się materiału [7].

Zastosowane podejście pozwala na otrzymanie jawnej postaci związków konstytutywnych SMA, które nie są podawane w literaturze.

(2)

Sformułowane relacje konstytutywne zostały zaprogramowanie w ramach procedury VUMAT, komercyjnego systemu MES ABAQUS/Explicit [1]. W pracy przedstawimy przykład analizy dynamicznej konstrukcji poddanej działaniu szybkozmiennych obciąŜeń.

2. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE

Matematyczny opis cech konstytutywnych materiałów izotropowych moŜe być sformułowany przy wykorzystaniu rozkładu tensorów napręŜenia σ i odkształcenia ε na części kuliste i dewiatorowe. W przypadku materiału spręŜystego otrzymuje się dwie liniowe relacje zwane związkami Hooke’a

a

p=3K , s=2Ge gdzie p tr

( )

σ I 3

:=1 oraz a tr

( )

ε I 3

:=1 . (1)

W powyŜszych równaniach wielkości p oraz a oznaczają tensory kuliste odpowiednio napręŜeń i odkształceń, natomiast s i e są dewiatorami. Dodatkowo symbolami K i G oznaczono odpowiednio moduły spręŜystości objętościowej i postaciowej.

Analizując model materiału SMA, zakłada się, Ŝe w podprzestrzeni kulistej materiał wykazuje cechy idealnie spręŜyste opisane równaniem (1). Dalsze rozwaŜania będą zatem dotyczyły podprzestrzeni dewiatorowej.

Relacje konstytutywne materiału SMA zostaną sformułowane na podstawie analizy schematu reologicznego pokazanego na rys. 1. Zastosowano standardowe symbole graficzne dla oznaczenia cech spręŜystych (spręŜyna), idealnie plastycznych (suwak) i lepkich (tłumik).

Dodatkowo wprowadzono symbol reprezentujący właściwości ciała sztywno-idealnie spręŜystego (ciała Hencky’ego). Przy symbolach ciała plastycznego oraz ciała Hencky’ego, umieszczono oznaczenia zbiorów dopuszczalnych napręŜeń – odpowiednio Θ i _pl Θ . _pe

Rys.1. Proponowany schemat reologiczny materiału

Z analizy schematu reologicznego wynika, iŜ całkowite odkształcenia dewiatorowe rozkładają się addytywnie na część spręŜystą, w której obowiązuje prawo Hooke’a, oraz na część opisywaną dodatkową zmienną e . Otrzymuje się następujący związek _o

o

2s1 e

e= +

G . (2)

(3)

Następnie zapisuje się równanie równowagi modelu reologicznego

pl ve

pe s s

s

s= + + , (3)

gdzie wielkości s , _pe s i _ve s oznaczają napręŜenia, odpowiednio w gałęzi sztywno-idealnie _pl spręŜystej, lepkospręŜystej i plastycznej. W części lepkospręŜystej (Maxwella) dysponuje się następującymi związkami

( )

^,

, 2

ve o 2 ve

e e e

e e s

−

=

−

=

µ G G

& (4)

gdzie µ oznacza współczynnik lepkości postaciowej.

Relacje konstytutywne części plastycznej zapisuje się w formie inkluzji i nierówności wariacyjnej [5]

(

_pl

)

_pl

o

pl pl

0 ~

~ ≥ ∀ ∈Θ

−

⋅

Θ

∈ s s

s e

s

& ⁽⁵⁾

Związki ciała sztywno-idealnie spręŜystego są następujące [6]

(

_pe

)

_pe

o

pe pe

0 ~

~ ≥ ∀ ∈Θ

−

⋅

Θ

∈ s s

s e

s (6)

NaleŜy wyraźnie zaznaczyć, Ŝe relacja (5₂) wiąŜe napręŜenia z prędkościami odkształceń, podczas gdy w związkach (62) zmiennymi są napręŜenia i odkształcenia. Zatem ciało opisywane związkami (5) jest ciałem dyssypującym energię, natomiast w modelu opisywanym związkami (6)występuje proces akumulowania energii.

Zbiór relacji (2÷6) moŜna zapisać w następującej formie

( )

,

, , , , F

, 2

ve o 2 ve

ve o o

o 2

e e e

e e e e e

e e s

−

=

−

=

µ G G

&

& (7)

gdzie wartość odwzorowania F zaleŜy od przyjętego opisu zbiorów dopuszczalnych napręŜeń.

ZałoŜono, Ŝe zbiory Θ i _pl Θ zdefiniowane są następująco _pe

{

pl pl pl

}

pl:= : ≤ 2k

Θ s s , (8)

{

pe pe pe

}

pe:= : ≤ 2k

Θ s s , (9)

gdzie stałe materiałowe k i _pl k określa się na podstawie testu czystego ścinania (patrz [4]). _pe MoŜna zauwaŜyć, Ŝe opis zbioru Θ dla części idealnie plastycznej pokrywa się z klasycznym _pl kryterium plastyczności Hubera-Misesa-Hencky’ego (HMH).

Przyjmując powyŜsze relacje, otrzymuje się następujący opis funkcji F , której wartość wyznacza prędkości odkształceń e& _o

(4)

( )











=

≠

+

=

<

≠

+

<

=

pl pl

o pl

pl

pe pl 1

o int

int

pl pl

o

pe pl 1

o

ve o

2

i 0 gdy

2 2

i 0 gdy

2

i 0 gdy

2 2

i 0 gdy

, , , F

k

k k G

k

k k G

s e

s

e e

s

s e

0

e e

0 e e e e

λ

& λ (10)

jeśli

( )

[ ]

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

2 . ,

2 2

, 2 2

2

, 2

2 , 2 1

1 2 2

o o

pe pe

ve 2 1

int

ve 2

o o

pe o

1 pl

2 ve 2 1 1

ve 2 1 ve 2 1 int

2 1

pl pe

pl pe o

2 1

pe 2

pl 2 1

ve 2 1 pl pl

e e s

e e

s

e e e e

e e s

e e

e e e

e

s s e

e e s

G k G

k G G

G G G

G

k k G

G k k

G G

= +

=

−

=

+ +

⋅

= +



































 ⋅

+ − + +

+

= ⋅

+ + −

&

λ λ

(11)

Na podstawie relacji (7), (10) i (11), określa się wartość dewiatora napręŜenia s. Całkowite napręŜenia wyznacza się ze wzoru

( )

^ε ^I ^s

σ=Ktr + . (12)

PowyŜsze relacje otrzymano po wykorzystaniu metody zaproponowanej w [4]. Postać odwzorowania F , wyraŜona wzorami (10) i (11) jest skomplikowana. Podstawiając G₂ =0 otrzymuje się relacje materiału niewraŜliwego na prędkość deformacji (por. [4]).

6500 19,23 1,92 41,67 57,74 144,34 500

Dokonano analizy porównawczej zachowania się układu wykonanego z materiału lepkiego oraz materiału niewraŜliwego na prędkość deformacji. Wykresy na rys. 3 przedstawiają

(5)

przebiegi czasowe napręŜeń zastępczych HMH σ_zast= 3 2 s , w wybranym elemencie (patrz rys. 2b). Stałe materiałowe dobrano tak, aby w zakresie niespręŜystym, dla materiału bez lepkości, wartości napręŜeń spełniały relację 350[MPa]≥σ_zast ≥150[MPa].

Rys. 2a. Schemat układu Rys. 2b. Przyjęta siatka MES

Pętle histerezy dla dwóch analizowanych modeli materiału pokazano na rys. 4. Jako zmienne przyjęto składowe napręŜeń podłuŜnych (oś pionowa) i odkształceń podłuŜnych (oś pozioma).

Rys. 3. Porównanie napręŜeń zastępczych w wybranym elemencie modelu z lepkością (linia ciągła) i bez lepkości (linia przerywana)

4. ZAKOŃCZENIE

Wyniki analizy numerycznej przedstawione w pracy wskazują na adekwatność zaproponowanego modelu. Relacje konstytutywne SMA wyprowadzono, wykorzystując podejście fenomenologiczne w ramach teorii spręŜystości i plastyczności małych odkształceń [5]. Istotną zaletą zaproponowanej metody jest moŜliwość uzyskania róŜniczkowego opisu materiału SMA, w którym związki konstytutywne mają jawną formę. Dzięki temu moŜna przedstawić dowody matematyczne o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania, podobnie jak to uczyniono w pracy [4], rozpatrując model materiału SMA niewraŜliwego na prędkość deformacji.

(6)

Rys. 4. Pętle histerezy w wybranym elemencie modelu z lepkością (linia ciągła) i bez lepkości (linia przerywana)

LITERATURA

1. ABAQUS/Explicit User’s Manual. Hibbit, Karlsson and Sorensen, Inc., 2004.

2. Bojarski Z., Morawiec H.: Metale z pamięcią kształtu. Warszawa: PWN, 2000.

3. DesRoches R., Delemont M.: Seismic retrofit of simply supported bridges using shape memory alloys. “Engineering Structures”, 2002, 24, s. 325-332.

4. Grzesikiewicz W., Wakulicz A., Zbiciak A.: Modelowanie matematyczne materiałów z pamięcią kształtu. W: I Kongres Mechaniki Polskiej. Warszawa 2007. Streszczenia referatów, s. 83 (pełny tekst 8 str. na płycie CD).

5. Khan A. S., Huang S.: Continuum Theory of Plasticity. New York: Wiley, 1995.

6. Panagiotopoulos P.D.: Inequality Problems in Mechanics and Applications. Convex and Nonconvex Energy Functions. Basel: Birkhauser, 1985.

7. Ren W., Li H., Song G.: A one-dimensional strain rate dependent constitutive model for superelastic shape memory alloy. “Smart Mater. Struct.”, 2007, 16, s. 191-197.

8. Song G., Ma N., Li H.-N: Applications of shape memory alloys in civil structures.

“Engrg. Struct.”, 2006, 28, p. 1266-1274.

MODELLING OF CONSTITUTIVE CHARACTERISTIC OF SMA MATERIAL EXHIBITING VISCOUS PROPERTIES

Summary. The objective of the paper is the formulation of constitutive equations of viscous SMA material model. The key problem of the method proposed herein is to derive the 1^st order differential equation with respect to the tensor describing non-elastic part of the strain field. This equation may be obtained in explicit form starting from the variational inequalities defining non-elastic parts of rheological model. The constitutive relationships were coded within VUMAT subroutine of the commercial FEM software ABAQUS/Explicit.