Procesy stochastyczne
3. Momenty zatrzymania — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 3.1 τ1 i τ2 są momentami zatrzymania względem filtracji {Fn}n∈N. Czy są momentami zatrzymania τ1+ 1 i τ1+ τ2?
Zad. 3.2 Wykaż, że jeśli w grze opisanej w zad. 2.6 oznaczymy przez S moment, w którym pierwszy z graczy nie będzie już miał żetonów, to ES = a+b+c3abc .
Zad. 3.3 Wykaż, że jeśli w grze opisanej w zad. 2.7 oznaczymy przez S moment, w którym pierwszy z graczy nie będzie już miał żetonów, a przez T moment, w którym jeden z graczy zdobędzie wszystkie żetony, to
ES = abc
a + b + c − 2, ET = ab + bc + ca − 2abc a + b + c − 2.
Zad. 3.4 Ile razy należy średnio rzucić kostką, aby otrzymać pod rząd:
1. 3 szóstki, 2. ciąg 4, 5, 6, 3. ciąg 6, 5, 6?
Zad. 3.5 Wyznacz średni czas oczekiwania na 5 orłów pod rząd w grze polegającej na rzutach symetryczną monetą.
Zad. 3.6 (J. S., Zad. 12. str. 225) X1, X2, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jed- nakowym rozkładzie zadanym wzorem
P (Xn= 1) = P (Xn = −1) = 1 2.
Definiujemy τ = inf{n ∈ N; X1+ . . . + Xn = 1}. Wykaż, że Eτ = +∞.
Zad. 3.7 Z dokładnością ±1 wyznacz średnią liczbę rzutów kostką, jakie należy wykonać, aby suma oczek przekroczyła 300.
Zad. 3.8 (K. S., Ex. 14 p. 200) Adam i Błażej grają w kasynie. W każdej grze mają 48% szans na wygranie, a 52% szans na przegranie 1$. Adam zdecydował się rozegrać 20 gier, ale skończy po 2 grach, jeśli wygra obie. Błażej także chce rozegrać 20 gier, ale skończy po 10, jeśli wygra co najmniej 9 z pierwszych 10. Co jest większe: przewidywana przegrana Adama, czy Błażeja?
