Za pomocą definicji obliczyć całki (a) Z 3 −2 x2dx

CAŁKA OZNACZONA

1. Za pomocą definicji obliczyć całki (a)

Z 3

−2

x²dx ; (b) Z 1

0

x³dx ; 2. Obliczyć całki

(a) Z

√ 3

√ 3 3

dx

1 + x², (b) Z 2

0

|1−x|dx, (c)

Z 4π 0

p1 − cos(2x)dx,

(d) Z 5

0

√xdx

1 + 3x, (e)

Z 1 0

x²dx

(x + 1)⁴, (f) Z ^π₂

0

sin²x cos xdx,

(g) Z ^π₂

0

x sin xdx, (h) Z 2

−2

sgn(x − x²)dx, (j) Z 1

1 2

[ln x]dx,

3. Obliczyć pole obszarów ograniczonych liniami

(a) prostymi x = −1, x = 1, osią OX oraz łukiem linii y = _x2¹+1, (b) część wspólną koła (x − 2)²+ (x − 3)²= 1 i półpłaszczyzny xy

(c) parabolą 4y = 8x − x² i prostą 4y = x + 6, (d) parabolami y = 4 − x², y = x²− 2x,

(e) parabolą y = 2x − x² i prostą x + y = 0, (f) długość łuku krzywej f (x) =√

1 − x² dla x ∈0,¹₂ ,

(g) pole powierzchni bocznej bryły powstałej z obrotu krzywej f (x) = x³ określonej na przedziale [0, 1] wokół osi OX,

(h) objętość bryły powstałej z obrotu krzywej f (x) = cos x określonej na przedziale−^π₂,^π₂ wokół osi OX.

CAŁKA NIEOZNACZONA

4. Całkując przez podstawienie obliczyć całki

(a) Z

x sin(2x²+ 1)dx, (b)

Z xdx

1 + x², (c) Z e^1x

x²dx, (d)

Z (ln x)²

x dx, (e)

Z tg x

cos²xdx, (f)

Z x²dx cos²(x³+ 1), (g)

Z cos x

sin xdx, (h)

Z dx

x ln x, (i)

Z dx sin x,

1

(j)

Z dx

sin³x cos x, (k)

Z cos x

1 + sin²xdx, (l) Z

sin³x cos x,

(m)

Z e^x

2e^x+ 1dx, (n)

Z dx

2 cos²(3x), (o) Z

sin²xdx.

5. Całkując przez części obliczyć całki (a)

Z

x²e^xdx, (b)

Z

e^xcos x, (c)

Z

ln²xdx, (d)

Z ln x 1

x³dx, (e)

Z tg x

cos²xdx, (f) Z

xe^−2x,

(g) Z

x cos(3x)dx, (h)

Z

x arc tg x.

6. Obliczyć całki (a)

Z

3^x5^2xdx, (b)

Z x²dx

1 + x², (c)

Z x

√1 − x⁴dx,

(d)

Z 1

x⁴+ 1dx, (e)

Z

4^x2xdx, (f)

Z dx

4x²+ 4x + 3, (g)

Z 4

2x²+ 4x + 11dx, (h)

Z dx

−x²− 9, (i)

Z xdx x⁴+ 9, 7. Obliczyć całki z wyrażeń wymiernych

(a)

Z 5 + x

10x + x²dx, (b)

Z 2x − 1 x²− 6x + 9dx, (c)

Z dx

2x²− 2x + 5, (d)

Z 2x⁴+ 5x²− 2 2x³− x − 1 dx, (e)

Z 2x³+ x²+ 5x + 1

(x²+ 3)(x²− x + 1)dx, (f)

Z x³− 3 x⁴+ 10x²+ 25dx.

8. Obliczyć całki z wyrażeń niewymiernych (a)

Z x³

√

x²+ x + 1dx, (b)

Z dx

√

1 + 2x + 2x²,

(c) Z ³

q1+x 1−x+ x 1 −q⁵

1+x 1−x

dx, (d)

Z √ x −√⁴

x 3x + 4√

xdx,

2