• Nie Znaleziono Wyników

Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Lista 18. Zastosowanie całek do liczenia pól

Pola pod wykresem

Zaczniemy od prawdziwej definicji całki oznaczonej, czyli pola pod wykresem. Później okaże się, że w istocie jest dużo łatwiej liczyć całki oznaczone za pomocą nieoznaczonych, ale na początek, dla zrozumienia, podamy prawdziwą definicję całki oznaczonej.

Załóżmy więc, że mamy funkcję (ciągłą) f : [a, b] → R. Aby policzyć jej pole pod wykresem potrzebujemy pojęć takich jak podział odcinka i sumy riemmanowskie.

Definicja. Podziałem odcinka [a, b] nazywamy ciąg punktów Pn = {x0, x1, ..., xn} takich, że x0= a, xn= b oraz xi< xi+1.

Grubością podziału ρ(Pn) nazywamy największą odległość Xi od xi+1, czyli formalnie ρ(Pn) = max

i∈{0,...,n−1}(xi+1− xi).

Definicja. Dolną i górną sumą riemmanowską dla podziału Pn = {x0, x1, ..., xn} nazywamy na- stępujące wielkości:

SP

n(f ) =

n−1

X

i=0

inf

x∈[xi,xi+1]

f (x)(x1+1− xi), SPn(f ) =

n−1

X

i=0

sup

x∈[xi,xi+1]

f (x)(x1+1− xi).

1. Narysuj dowolną funkcję ciągłą na odcinku [a, b]. Narysuj pola jakie liczą wskazane sumy.

2. Rozważ odcinek [0, 1] i policz dolne i górne sumy riemmanowskie dla podziału Pn = {0, 1/n, 2/n, ..., (n−

1)/n, 1} i funkcji:

(a) f (x) = x, (b) f (x) = ax + b,

(c) f (x) = χQ(x),

gdzie χQ(x) jest równe 1, gdy x ∈ Q oraz 0 gdy x 6∈ Q.

Jaka jest więc idea liczenia pól pod wykresem? Bierzemy coraz drobniejsze podziały, liczymy górne i dolne sumy riemmanowskie i patrzymy, czy zbliżają się do siebie (a zatem do pewnej liczby).

Definicja. Ciąg podziałów Pn nazywamy dobrym, jeśli grubości podziału ρ(Pn) są coraz mniejsze, tzn. limn→∞ρ(Pn) = 0.

Twierdzenie. Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to dla każdego dobrego ciągu podziałów Pn odcinka [a, b] następująca granice są równe:

Z b a

f (x) dx = lim

n→∞SPn(f ) = lim

n→∞SPn(f )

i nie zależą od wybieranych podziałów tak długo, jak wybieramy podziały dobre. Powyższa wielkość to dokładnie całka oznaczona (pole pod wykresem) funkcji f na odcinku [a, b].

3. Dobierz odpowiedni ciąg podziałów a następnie policz: (a) R3

1(2x + 1) dx, (b) Rb

aαx + β.

Powiedz jakie pola liczą te całki.

4. Dobierz podziały równo rozłożone Pn i policz całkęR1 0 x2dx.

5. Policz całkęRe 1

ln x

x dx (Wskazówka: Dobierz Pn= {ei/n: i = 0, ..., n}).

6. Policz całkęR10 1 e2xdx.

7. Policz całkęR2 1

1

xdx (Wskazówka: Dobierz Pn= {2i/n: i = 0, ..., n}).

1

(2)

Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną

Poniższe twierdzenie z powodzeniem może startować w konkursie na najważniejsze w matematyce.

Twierdzenie (Zasadnicze Twierdzenie Analizy). Załóżmy, że mamy daną funkcję ciągłą f : [a, b] → R i jej całkę nieoznaczoną R f (x) dx = F (x) + C (tzn. F0(x) = f (x)). Wtedy całka oznaczoną z funkcji f na przedziale [a, b] jest równa

Z b a

f (x) dx = F (b) − F (a), (1)

8. Policz poniższe całki oznaczone i powiedz jakie pola zostały w ten sposób policzone.

(a) R3

1 2x + 3 dx, (b) R3

1 −2x + 3 dx, (c) R1

0 x2dx, (d) Rπ

0 sin(x) dx, (e) R

π

0 x · cos(x2) dx, (f) R8

0 x2/3dx, (g) R1

−1sin(x3)2cos(x3−2x)dx, (h) R−1

−3(x3+ x2− 3x) dx.

Na koniec uzasadnimy sobie dlaczego tak różne operacje jak całka nieoznaczona (odwracanie ope- racji pochodnej) oraz oznaczona (liczenie pól) są tak mocno powiązane.

Twierdzenie (Odwrotne Zasadnicze Twierdzenie Analizy). Załóżmy, że mamy daną funkję ciągłą g : [a, b] → R taką, że jej pochodna istnieje w (a, b) i jest ciągła na [a, b] (ma granice skończone na końcach). Oznaczmy:

G(x) = Z x

a

g(t) dt.

Wtedy:

G0(x) dx = g(x).

Zauważmy, że (w pewnym sensie) ZTA mówi, że całka (oznaczona) z pochodnej funkcji jest wyjściową funkcją. Podczas gdy OZTA mówi, że pochodna całki (oznaczonej) pewnej funkcji jest właśnie tą fukncją.

9. Udowodnij OZTA według następującego schematu:

(a) Mamy policzyć pochodną. Napisz ilorazy różnicowe z definicji pochodnej.

(b) Zastanów się jak geometrycznie wygląda wartość tych ilorazów różnicowych (pamiętaj o ciągłości).

(c) Przejdź do granicy.

10. Udowodnij ZTA według następującego schematu:

(a) Zamień koniec odcinka b na zmienną x ∈ [a, b].

(b) Policz pochodną obu stron (korzystając z OZTA).

(c) Wywnioskuj, że jeśli pochodne są równe, to funkcję różnią się o stałą.

(d) Policz stałą sprawdzając jak jest dla x = a.

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl

2

Cytaty

Powiązane dokumenty