Lista 18. Zastosowanie całek do liczenia pól
Pola pod wykresem
Zaczniemy od prawdziwej definicji całki oznaczonej, czyli pola pod wykresem. Później okaże się, że w istocie jest dużo łatwiej liczyć całki oznaczone za pomocą nieoznaczonych, ale na początek, dla zrozumienia, podamy prawdziwą definicję całki oznaczonej.
Załóżmy więc, że mamy funkcję (ciągłą) f : [a, b] → R. Aby policzyć jej pole pod wykresem potrzebujemy pojęć takich jak podział odcinka i sumy riemmanowskie.
Definicja. Podziałem odcinka [a, b] nazywamy ciąg punktów Pn = {x0, x1, ..., xn} takich, że x0= a, xn= b oraz xi< xi+1.
Grubością podziału ρ(Pn) nazywamy największą odległość Xi od xi+1, czyli formalnie ρ(Pn) = max
i∈{0,...,n−1}(xi+1− xi).
Definicja. Dolną i górną sumą riemmanowską dla podziału Pn = {x0, x1, ..., xn} nazywamy na- stępujące wielkości:
SP
n(f ) =
n−1
X
i=0
inf
x∈[xi,xi+1]
f (x)(x1+1− xi), SPn(f ) =
n−1
X
i=0
sup
x∈[xi,xi+1]
f (x)(x1+1− xi).
1. Narysuj dowolną funkcję ciągłą na odcinku [a, b]. Narysuj pola jakie liczą wskazane sumy.
2. Rozważ odcinek [0, 1] i policz dolne i górne sumy riemmanowskie dla podziału Pn = {0, 1/n, 2/n, ..., (n−
1)/n, 1} i funkcji:
(a) f (x) = x, (b) f (x) = ax + b,
(c) f (x) = χQ(x),
gdzie χQ(x) jest równe 1, gdy x ∈ Q oraz 0 gdy x 6∈ Q.
Jaka jest więc idea liczenia pól pod wykresem? Bierzemy coraz drobniejsze podziały, liczymy górne i dolne sumy riemmanowskie i patrzymy, czy zbliżają się do siebie (a zatem do pewnej liczby).
Definicja. Ciąg podziałów Pn nazywamy dobrym, jeśli grubości podziału ρ(Pn) są coraz mniejsze, tzn. limn→∞ρ(Pn) = 0.
Twierdzenie. Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to dla każdego dobrego ciągu podziałów Pn odcinka [a, b] następująca granice są równe:
Z b a
f (x) dx = lim
n→∞SPn(f ) = lim
n→∞SPn(f )
i nie zależą od wybieranych podziałów tak długo, jak wybieramy podziały dobre. Powyższa wielkość to dokładnie całka oznaczona (pole pod wykresem) funkcji f na odcinku [a, b].
3. Dobierz odpowiedni ciąg podziałów a następnie policz: (a) R3
1(2x + 1) dx, (b) Rb
aαx + β.
Powiedz jakie pola liczą te całki.
4. Dobierz podziały równo rozłożone Pn i policz całkęR1 0 x2dx.
5. Policz całkęRe 1
ln x
x dx (Wskazówka: Dobierz Pn= {ei/n: i = 0, ..., n}).
6. Policz całkęR10 1 e2xdx.
7. Policz całkęR2 1
1
xdx (Wskazówka: Dobierz Pn= {2i/n: i = 0, ..., n}).
1
Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną
Poniższe twierdzenie z powodzeniem może startować w konkursie na najważniejsze w matematyce.
Twierdzenie (Zasadnicze Twierdzenie Analizy). Załóżmy, że mamy daną funkcję ciągłą f : [a, b] → R i jej całkę nieoznaczoną R f (x) dx = F (x) + C (tzn. F0(x) = f (x)). Wtedy całka oznaczoną z funkcji f na przedziale [a, b] jest równa
Z b a
f (x) dx = F (b) − F (a), (1)
8. Policz poniższe całki oznaczone i powiedz jakie pola zostały w ten sposób policzone.
(a) R3
1 2x + 3 dx, (b) R3
1 −2x + 3 dx, (c) R1
0 x2dx, (d) Rπ
0 sin(x) dx, (e) R
√π
0 x · cos(x2) dx, (f) R8
0 x2/3dx, (g) R1
−1sin(x3)2cos(x3−2x)dx, (h) R−1
−3(x3+ x2− 3x) dx.
Na koniec uzasadnimy sobie dlaczego tak różne operacje jak całka nieoznaczona (odwracanie ope- racji pochodnej) oraz oznaczona (liczenie pól) są tak mocno powiązane.
Twierdzenie (Odwrotne Zasadnicze Twierdzenie Analizy). Załóżmy, że mamy daną funkję ciągłą g : [a, b] → R taką, że jej pochodna istnieje w (a, b) i jest ciągła na [a, b] (ma granice skończone na końcach). Oznaczmy:
G(x) = Z x
a
g(t) dt.
Wtedy:
G0(x) dx = g(x).
Zauważmy, że (w pewnym sensie) ZTA mówi, że całka (oznaczona) z pochodnej funkcji jest wyjściową funkcją. Podczas gdy OZTA mówi, że pochodna całki (oznaczonej) pewnej funkcji jest właśnie tą fukncją.
9. Udowodnij OZTA według następującego schematu:
(a) Mamy policzyć pochodną. Napisz ilorazy różnicowe z definicji pochodnej.
(b) Zastanów się jak geometrycznie wygląda wartość tych ilorazów różnicowych (pamiętaj o ciągłości).
(c) Przejdź do granicy.
10. Udowodnij ZTA według następującego schematu:
(a) Zamień koniec odcinka b na zmienną x ∈ [a, b].
(b) Policz pochodną obu stron (korzystając z OZTA).
(c) Wywnioskuj, że jeśli pochodne są równe, to funkcję różnią się o stałą.
(d) Policz stałą sprawdzając jak jest dla x = a.
Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl
2
