• Nie Znaleziono Wyników

Wykaż, że liczba √n a jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wykaż, że liczba √n a jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Pierwsze zawody indywidualne

grupa młodsza niedziela, 23 września 2001

11. Udowodnij, że dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność

a+ b + c ¬ ab c +bc

a +ca b .

12. Wykaż, że liczby naturalne n, m są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby 2n− 1, 2m − 1 są względnie pierwsze.

13. Niech a będzie liczbą całkowitą, n – liczbą naturalną > 1. Wykaż, że liczba n a jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita.

14. Na bokach trójkąta 4ABC zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne 4ABF , 4BCD i 4CAE.

a) Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów 4ABF , 4BCD i 4CAE są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

b) Udowodnij, że proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie P . c) Wykaż, że |AP | + |BP | + |CP | ¬ |AR| + |BR| + |CR| dla każdego punktu R.

Pierwsze zawody indywidualne

grupa starsza niedziela, 23 września 2001

13. Niech a będzie liczbą całkowitą, n – liczbą naturalną > 1. Wykaż, że liczba na jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita.

14. Na bokach trójkąta 4ABC zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne 4ABF , 4BCD i 4CAE.

a) Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów 4ABF , 4BCD i 4CAE są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

b) Udowodnij, że proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie P . c) Wykaż, że |AP | + |BP | + |CP | ¬ |AR| + |BR| + |CR| dla każdego punktu R.

15. Dana jest funkcja f : N → N, dla której f(n + 1) > f(f(n)) dla każdego n ∈ N.

Udowodnij, że f (n) = n dla każdego n.

16. Rozważamy wszystkie r-elementowe podzbiory zbioru 1, . . . , n (r ∈ N, 1 ¬ r ¬ n). W każdym z nich wybieramy liczbę najmniejszą. Udowodnić, że średnia arytmetyczna tych liczb jest równa n+1r+1.

Cytaty

Powiązane dokumenty

, n} tak, by dla każdych trzech wierzchołków A, B, C, dla których |AB| = |AC|, liczba przy wierzchołku A była albo mniejsza, albo wi e , ksza od jednocześnie obu liczb

Dla dodatniej liczby naturalnej n znaleźć wzór na największą potęgę liczby pierwszej p dzielącą n!4. Rozłożyć na czynniki pierwsze

(Fakt ten nosi nazwę Twierdzenia

(Fakt ten nosi nazwę Twierdzenia

Pokaż też, że powyższe twierdzenie nie działa w drugą stronę, to znaczy znajdź ciąg {a n } który nie jest zbieżny, chociaż {|a n |}

Czy nie przeczy to tezie, że pierwszy wyraz ciągu nie może mieć wpływu na

Znajdź granicę tego

Utrata zwi¸ azk´ ow fazowych (tzw. koherencji) zredukowanego opera- tora stanu w wyniku ewolucji uk ladu rozszerzonego jest nazywana dekoherencj¸