Ćwiczenia AM II, 24.10.2017 Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Zadanie 1. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji
(a) f(x, y) = |xy|, (b) f(x, y) = sin xy ,
(c) f(x, y) = exsin y + eysin(2z) + ezsin(3x), (d) f(x, y) = arctgxy,
(e) f(x) = e−kxk, x ∈ Rk.
Zadanie 2. Znajdź kierunek najszybszego wzrostu funkcji f, czyli jej gradient, w punkcie P dla (a) f(x, y) = 1 + x2+ y4− 2xy2, P = (4, 2),
(b) ex−y, P = (1, 1),
(c) f(x, y, z) = x + 2y + 3z, P = (1, 1, 1).
W punkach (a), (b) narysuj wykres poziomicowy funkcji f i zaznacz gradient.
Zadanie 3. Wykazać, że funkcja f(x, y) =√3xynie jest różniczkowalna w (0, 0) chociaż ma obie pochodne cząstkowe w tym punkcie.
Zadanie 4. Niech f(x, y) = √x3+y3
x2+y2, jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że f jest różniczkowalna w (0, 0).
Zadanie 5. Niech f(x, y) = xx32+y+y32, jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że f jest ciągła, ale nie jest różniczko- walna w (0, 0).
Zadanie 6. Niech f(x, y) = xy(x+y)x2+y2 , jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że pochodna kierunkowa fv(0, 0) funkcji f w punkcie (0, 0) istnieje w kierunku dowolnego wektora v ∈ R2, v 6= (0, 0), ale f nie jest różniczkowalna w (0, 0).
Zadanie 7. Podać przykłady pokazujące, że w poniższym ciągu (coraz słabszych) warunków żaden warunek nie jest równoważny poprzedniemu:
(a) ∂x∂fi istnieją w otoczeniu x0oraz są ciągłe w x0. (b) f jest różniczkowalna w x0.
(c) pochodna kierunkowa fv′(x0) istnieje każdego wektora v ∈ Rn i zależy liniowo od v, a ponadto f jest ciągła w x0.
(d) pochodna kierunkowa fv′(x0) istnieje każdego wektora v ∈ Rn i zależy liniowo od v.
(e) pochodna kierunkowa fv′(x0) istnieje każdego wektora v ∈ Rn. (f) ∂x∂f
i istnieją w punkcie x0.
Zadanie 8. Pokazać, że funkcja f(x, y) = (x − y2)(3x − y2) po obcięciu do dowolnej prostej przechodzącej przez (0, 0) ma minimum lokalne w (0, 0). Czy f ma minimum lokalne w (0, 0) ?
Zadanie 9. Wykazać, że jeśli pochodne cząstkowe funkcji f : R2 → R istnieją w każdym punkcie i są funkcjami ograniczonymi to f spełnia warunek Lipschitza.
Zadanie 10. Zbadać, w których punktach funkcja f jest różniczkowalna, dla (a) (DOM: 27.10.2017) f(x, y) = 1+|x−y|xy ,
(b) (DOM: 3.11.2017) f(x, y) = |ex− y| ln(1 + x).
Zadanie 11. Zbadać różniczkowalność funkcji f, jeśli (a) f(x, y) =px3+ y3,
(b) f(x, y) = ln(1 + |xy|p).
Zadanie 12. Funkcję f : Rk → R nazywamy jednorodną, jeśli f(t x) = t f(x) dla dowolnego t > 0 i x ∈ Rk. Wykazać, że jeżeli funkcja f jest różniczkowalna i jednorodna, to jest liniowa.