• Nie Znaleziono Wyników

Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji (a) f(x, y

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji (a) f(x, y"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Ćwiczenia AM II, 24.10.2017 Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Zadanie 1. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji

(a) f(x, y) = |xy|, (b) f(x, y) = sin xy ,

(c) f(x, y) = exsin y + eysin(2z) + ezsin(3x), (d) f(x, y) = arctgxy,

(e) f(x) = e−kxk, x ∈ Rk.

Zadanie 2. Znajdź kierunek najszybszego wzrostu funkcji f, czyli jej gradient, w punkcie P dla (a) f(x, y) = 1 + x2+ y4− 2xy2, P = (4, 2),

(b) ex−y, P = (1, 1),

(c) f(x, y, z) = x + 2y + 3z, P = (1, 1, 1).

W punkach (a), (b) narysuj wykres poziomicowy funkcji f i zaznacz gradient.

Zadanie 3. Wykazać, że funkcja f(x, y) =√3xynie jest różniczkowalna w (0, 0) chociaż ma obie pochodne cząstkowe w tym punkcie.

Zadanie 4. Niech f(x, y) = x3+y3

x2+y2, jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że f jest różniczkowalna w (0, 0).

Zadanie 5. Niech f(x, y) = xx32+y+y32, jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że f jest ciągła, ale nie jest różniczko- walna w (0, 0).

Zadanie 6. Niech f(x, y) = xy(x+y)x2+y2 , jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że pochodna kierunkowa fv(0, 0) funkcji f w punkcie (0, 0) istnieje w kierunku dowolnego wektora v ∈ R2, v 6= (0, 0), ale f nie jest różniczkowalna w (0, 0).

Zadanie 7. Podać przykłady pokazujące, że w poniższym ciągu (coraz słabszych) warunków żaden warunek nie jest równoważny poprzedniemu:

(a) ∂x∂fi istnieją w otoczeniu x0oraz są ciągłe w x0. (b) f jest różniczkowalna w x0.

(c) pochodna kierunkowa fv(x0) istnieje każdego wektora v ∈ Rn i zależy liniowo od v, a ponadto f jest ciągła w x0.

(d) pochodna kierunkowa fv(x0) istnieje każdego wektora v ∈ Rn i zależy liniowo od v.

(e) pochodna kierunkowa fv(x0) istnieje każdego wektora v ∈ Rn. (f) ∂x∂f

i istnieją w punkcie x0.

Zadanie 8. Pokazać, że funkcja f(x, y) = (x − y2)(3x − y2) po obcięciu do dowolnej prostej przechodzącej przez (0, 0) ma minimum lokalne w (0, 0). Czy f ma minimum lokalne w (0, 0) ?

Zadanie 9. Wykazać, że jeśli pochodne cząstkowe funkcji f : R2 → R istnieją w każdym punkcie i są funkcjami ograniczonymi to f spełnia warunek Lipschitza.

Zadanie 10. Zbadać, w których punktach funkcja f jest różniczkowalna, dla (a) (DOM: 27.10.2017) f(x, y) = 1+|x−y|xy ,

(b) (DOM: 3.11.2017) f(x, y) = |ex− y| ln(1 + x).

Zadanie 11. Zbadać różniczkowalność funkcji f, jeśli (a) f(x, y) =px3+ y3,

(b) f(x, y) = ln(1 + |xy|p).

Zadanie 12. Funkcję f : Rk → R nazywamy jednorodną, jeśli f(t x) = t f(x) dla dowolnego t > 0 i x ∈ Rk. Wykazać, że jeżeli funkcja f jest różniczkowalna i jednorodna, to jest liniowa.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pokazać, że również w wyjściowym prostokącie długość jednego z boków musi być liczbą całkowitą.. Wyrazić współczynniki Fouriera funkcji h za pomocą

Zbiór A składa się z liczb przedziału [0, 1], których rozwinięcie dziesiętne nie zawiera cyfry 9.. Pokazać, że zbiór A ma miarę zero

W kolejnych zadaniach f i g są funkcjami różniczkowalnymi na wspólnej dziedzinie (będącej przedziałem) tyle razy, ile potrzeba.. Gwiazdka oznacza, że trzeba wykreślić jeden

[r]

Przypomnij dowód równoważności definicji ciągłości Cauchy’ego i Heinego i zaadaptuj go do przypadku jednostajnej

Udowodnij, że funkcja pochodna funkcji nieparzystej (parzystej) jest parzysta (nieparzysta), a funkcja pochodna funkcji okresowej jest okresowa z tym samym

Poka», »e ka»da funkcja wypukªa na przedziale (a, b)

Podaj przykªad funkcji okre±lonej na [−1, 1], która jest ró»niczkowalna, ±ci±le rosn¡ca i jej pochodna zeruje si¦ w niesko«czenie