AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie
OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2008/9 MATEMATYKA - ETAP I
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Ile jest czw´orek (x, y, z, t) liczb ca lkowitych dodatnich spe lniajaιcych r´ownanie xy + yz + zt + tx = 2008?
2. Rozwiaι˙z r´ownanie sin 4x +√
3 sin 2x = 0.
3. Znajd´z liczbeι c, dla kt´orej granica ciaιgu o wyrazie og´olnym an= 3n+c− 2n
√5n+ 9n−2c jest r´owna 2.
4. Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, kt´ore nie saι podzielne ani przez 9, ani przez 12?
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Punkty A = (2, −2) i B = (8, 4) saι ko´ncami podstawy tr´ojkaιta r´ow- noramiennego ABC. Wierzcho lek C le˙zy na prostej x − 3y + 34 = 0.
Znajd´z r´ownanie okreιgu wpisanego w tr´ojkaιt ABC.
6. Dla jakich warto´sci parametru p ∈ IR jeden z pierwiastk´ow r´ownania (12p + 6)x2+ 16px + 9p = 0
jest sinusem, a drugi kosinusem tego samego kaιta rozwartego?
7. Cztery kule, z kt´orych trzy majaι promie´n r, a czwarta R, u lo˙zono na stole w piramideι w taki spos´ob, ˙ze ka˙zda kula jest styczna do trzech pozosta lych, przy czym kule przystajaιce tworzaι podstaweι piramidy.
Oblicz najwieιkszaιodleg lo´s´c punktu kuli o promieniu R od sto lu. Podaj warunek, jaki muszaι spe lnia´c promienie, aby ustawienie piramidy by lo mo˙zliwe.