Niech P beιdzie izometrycznym przekszta lceniem p laszczyzny, w kt´orym obrazem wykresu funkcji f (x

AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie

OLIMPIADA

”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2007/8 MATEMATYKA - ETAP II

ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW

1. Z ustalonego zbioru n liczb rzeczywistych losujemy kolejno k liczb, otrzymuja_ιc cia_ιg r´o˙znowarto´sciowy (a₁, . . . , a_k). Zak ladajaιc, ˙ze 2 ≤ k ≤ n, oblicz prawdopodobie´nstwo,

˙ze ten ciaιg nie jest ciaιgiem rosnaιcym.

2. Sprowad´z do najprostszej postaci (niezawieraja_ιcej ujemnych wyk ladnik´ow, ani u lam- k´ow pieιtrowych) wyra˙zenie

(1 − x⁻¹)⁻²− (1 + x⁻¹)⁻².

3. Cena akcji pewnej firmy spad la o 60%. O ile procent musi teraz wzrosnaι´c cena tych akcji, aby wr´oci la do poprzedniego poziomu?

4. Niech P be_ιdzie izometrycznym przekszta lceniem p laszczyzny, w kt´orym obrazem wykresu funkcji f (x) = x² jest wykres funkcji g(x) = x² + x + 1. Znajd´z to przekszta lcenie i podaj wz´or funkcji, kt´orej wykres jest obrazem wykresu funkcji h(x) = log₂x poprzez przekszta lcenie P .

ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW 5. Oblicz sume_ι wszystkich pierwiastk´ow r´ownania

4 cos²x = 3 nale˙za_ιcych do przedzia lu (−8π; 10π).

6. Znajd´z r´ownanie stycznej l do okreιgu C o r´ownaniu x²+ y²− 4x + 6y − 12 = 0

w punkcie A(6, 0). Napisz r´ownanie okreιgu symetrycznego do okreιgu C wzgleιdem prostej l.

7. Dla jakich warto´sci parametru p r´ownanie

(p − 2) · 9^x+ (p + 1) · 3^x− p = 0 ma dwa r´o˙zne pierwiastki rzeczywiste?