M ETODY D OWODZENIA T WIERDZE ´ N I A UTOMATYZACJA R OZUMOWA ´ N
K
ONWERSATORIUM3: M
ETODAA
KSJOMATYCZNA V rok kognitywistyki UAM1 Twoje pragnienia
Studenci mog ˛a domaga´c si˛e ´cwicze´n dotycz ˛acych wcze´sniej omawianych tematów.
Wysłuchujemy ich pragnie´n i proponujemy stosowne ´cwiczenia. Dla przykładu:
drzewa syntaktyczne formuł, przekład z jednej notacji na inn ˛a, itp.
2 Metoda aksjomatyczna w KRZ
2.1 Twierdzenie o dedukcji
Wykorzystuj ˛ac twierdzenie o dedukcji, poka˙z, ˙ze:
1. `ph(ϕ → (ψ → χ)) → (ψ → (ϕ → χ)) prawo komutacji 2. `ph(ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ ∧ ψ) → χ) prawo importacji 3. `ph(ϕ → ψ) → ((ψ → χ) → (ϕ → χ)) sylogizm hipotetyczny 2.2 Dowód twierdzenia o dedukcji
Podaj dowód implikacji: je´sli S `ph(ϕ → ψ), to S ∪ {ϕ} `phψ.
2.3 Z ciemnych zakamarków pami˛eci
Poka˙z, ˙ze reguła MP zachowuje własno´s´c bycia tautologi ˛a.
3 Relacje
UWAGA: Podane ni˙zej zadania nie były omawiane 27x2015. Aksjomatycznym ra- chunkiem relacji Tarskiego zajmiemy si˛e troch˛e pó´zniej.
3.1 Operacje na relacjach
Udowodnij nast˛epuj ˛ace fakty dotycz ˛ace operacji na relacjach:
1. Operacja zło˙zenia relacji jest ł ˛aczna, tj.: R1◦ (R2◦ R3) = (R1◦ R2) ◦ R3. 2. Operacja zło˙zenia nie jest przemienna, tj. nie dla wszystkich relacji R1i R2
zachodzi: R1◦ R2= R2◦ R1. 3. R ◦ idX = idX ◦ R = R,.
4. R ◦ ∅ = ∅ ◦ R = ∅.
5. (R−1)−1= R, −(R−1) = (−R)−1. 6. Je´sli R ⊆ S, to:
(a) R−1 ⊆ S−1, Rtr ⊆ Str
(b) T ◦ R ⊆ T ◦ S oraz R ◦ T ⊆ S ◦ T . 7. (R ∪ S)−1 = R−1∪ S−1.
8. (R ∩ S)−1 = R−1∩ S−1.
9. (R ∪ S) ◦ T = (R ◦ T ) ∪ (S ◦ T ).
10. (R ∩ S) ◦ T ⊆ (R ◦ T ) ∩ (S ◦ T ), 11. (R ◦ S)−1 = S−1◦ R−1.
12. † jest ł ˛aczna, czyli (R†S)†T = R†(S†T ) 13. R†S = −((−R) ◦ (−S)), a w konsekwencji:
(a) −(R†S) = (−R) ◦ (−S) (b) −(R ◦ S) = (−R)†(−S) 14. (R†S)−1 = S−1†R−1.
Zło˙zeniem symetrycznymrelacji R i S nazywamy relacj˛e:
R S = (R ◦ S) ∪ (S ◦ R).
Domkni˛eciem sumyrelacji R i S nazywamy relacj˛e R ⊕ S = (R ∪ S)tr.
Cwiczenie. Ile jest relacji dwuargumentowych na zbiorze n-elementowym?´ Cwiczenie. Wybierzmy uniwersum oraz jakie´s relacje na nim okre´slone (np.:´ liczby naturalne wraz z relacjami mniejszo´sci, podzielno´sci, itd.). Obliczmy, czym b˛ed ˛a wyniki omawianych operacji, zastosowanych do tych relacji.
3.2 Własno´sci relacji
Czy potrafisz udowodni´c, ˙ze:
1. Ka˙zda relacja przechodnia i asymetryczna jest przeciwzwrotna.
2. Ka˙zda relacja asymetryczna, przechodnia i serialna ma niesko´nczone pole.
3. Ka˙zda relacja symetryczna i przechodnia jest kołowa.
4. Nie ma relacji jednocze´snie:
(a) symetrycznych i asymetrycznych;
(b) zwrotnych i przeciwzwrotnych.
5. Istniej ˛a relacje, które nie s ˛a:
(a) ani symetryczne, ani asymetryczne;
(b) ani zwrotne, ani przeciwzwrotne.
3.3 Operacje na relacjach a własno´sci relacji
Niech R ⊆ X × X. Czy widoczne jest, ˙ze:
1. R jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy idX ⊆ R
2. R jest przeciwzwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩ idX = ∅ 3. R jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R = R−1 4. R jest asymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩ R−1 = ∅ 5. R jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩ R−1 ⊆ idX 6. R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R ◦ R ⊆ R
7. R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R = Rtr
8. R jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy R ∪ R−1∪ idX = X × X.
Czy potrafisz udowodni´c, ˙ze:
1. Je´sli relacje R i S s ˛a zwrotne, to relacje: R ∪ S, R ∩ S, R ◦ S, R−1, Rtr te˙z s ˛a zwrotne.
2. Je´sli relacje R i S s ˛a przeciwzwrotne, to relacje: R ∪ S, R ∩ S, R−1te˙z s ˛a zwrotne.
3. Zło˙zenie R ◦ S relacji przeciwzwrotnych jest przeciwzwrotne wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩ S−1 = ∅.
4. Je´sli relacje R i S s ˛a symetryczne, to symetryczne s ˛a te˙z relacje: R ∪ S, R ∩ S, R−1, R ◦ R−1, Rtr.
5. Je´sli relacje R i S s ˛a symetryczne, to R ◦ S jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R ◦ S = S ◦ R.
6. Je´sli R jest asymetryczna, to R−1te˙z.
7. Je´sli R jest asymetryczna, to R ∩ S jest asymetryczna, dla dowolnej S.
8. Je´sli R i S s ˛a przechodnie, to R ∩ S, R−1i Rtrte˙z.
9. Je´sli R i S s ˛a antysymetryczne, to R ∩ S i R−1te˙z.
10. Je´sli R i S s ˛a antysymetryczne, to: R ∪ S jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩ S−1 ⊆ idX.
11. Je´sli R i S s ˛a asymetryczne, to: R∪S jest asymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R ∩ S−1= ∅.
12. Je´sli R jest symetryczna i przechodnia, to R jest zwrotna, czyli R = R−1 oraz R ◦ R ⊆ R implikuj ˛a idX ⊆ R.
13. R ⊆ R ⊕ S oraz S ⊆ R ⊕ S.
14. Je´sli R, S, T s ˛a przechodnie, to (R ⊕ S) ⊕ T = R ⊕ (S ⊕ T ).
15. Je´sli R, S, T s ˛a przechodnie, to: je´sli R ⊆ T i S ⊆ T , to (R ⊕ S) ⊆ T .
3.4 Równowa˙zno´sci i porz ˛adki
Relacje równowa˙zno´sci oraz porz ˛adki (cz˛e´sciowe i liniowe) omawiane były na kursie Logika I.
Niech R i S b˛ed ˛a równowa˙zno´sciami na X. Czy potrafisz udowodni´c, ˙ze:
1. R ∪ S jest równowa˙zno´sci ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy R ◦ S = S ◦ R 2. R ◦ S jest równowa˙zno´sci ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy R ◦ S = R ∪ S 3. R S i R ⊕ S s ˛a równowa˙zno´sciami.
4. R ⊕ iX = R.
5. R ⊕ S = (R S)tr.
6. Je´sli R ◦ S = S ◦ R, to R ◦ S = R ⊕ S.
Czy potrafisz udowodni´c, ˙ze:
1. Je´sli R jest porz ˛adkiem cz˛e´sciowym, to R−1jest porz ˛adkiem cz˛e´sciowym.
2. Je´sli R i S s ˛a porz ˛adkami cz˛e´sciowymi, to R ∩ S porz ˛adkiem cz˛e´sciowym.
3. Je´sli R i S s ˛a porz ˛adkami cz˛e´sciowymi (ostrymi porz ˛adkami cz˛e´sciowymi), to R ∪ S jest porz ˛adkiem cz˛e´sciowym (ostrym porz ˛adkiem cz˛e´sciowym) wtedy i tylko wtedy, gdy: (R ◦ S) ∪ (S ◦ R) ⊆ R ∪ S.
4. Je´sli R i S s ˛a porz ˛adkami cz˛e´sciowymi, to R ∪ S jest porz ˛adkiem cz˛e´scio- wym wtedy i tylko wtedy, gdy: (R◦S)∪(S ◦R) ⊆ R∪S oraz R∩S−1 ⊆ iX. 5. Je´sli R i S s ˛a ostrymi porz ˛adkami cz˛e´sciowymi oraz R ◦ S = S ◦ R i
R ∩ S−1 = ∅, to R ◦ S jest ostrym porz ˛adkiem cz˛e´sciowym.
Cwiczenie. Jakimi strukturami s ˛´ a: wszystkie porz ˛adki (cz˛e´sciowe, liniowe), wszystkie równowa˙zno´sci, itd. na danym zbiorze? Czy np. wszystkie relacje rów- nowa˙zno´sci na danym zbiorze tworz ˛a krat˛e?
Dowody w powy˙zszych ´cwiczeniach dotycz ˛acych relacji prowadzone były, rzecz jasna, w metaj˛ezyku. Poka˙zemy pó´zniej, jak dowodzi si˛e niektórych z po- wy˙zszych faktów wybranymi metodami dowodowymi.
Jerzy Pogonowski Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/Dydaktyka pogon@amu.edu.pl
