} jest bezkontekstowy? Czy należy do klasy P?

(1)

Złozoność obliczeniowa – klasówka 14 stycznia 2020

1. Czy język L = {ww

^R

w | w ∈ {a, b}

^∗

} jest bezkontekstowy? Czy należy do klasy P?

2. Która z następujących inkluzji jest prawdziwa:

Nspace(n log n) ⊆ Dspace(2n

³

) ⊆ Dspace(n

³

) ⊆ Dtime(2

ⁿ⁴

) ⊆ Dtime(2

ⁿ

) ? 3. Udowodnić, że jeśli Dspace(2

ⁿ

) ⊆ Exptime, to Expspace ⊆ Exptime, gdzie Expspace = S{Dspace(2

ⁿ^k

| k ∈ N} oraz Exptime = S{Dtime(2

ⁿ^k

| k ∈ N}.

Przykładowe rozwiązania

1: Ten język należy do klasy P a nawet do klasy Log. Żeby sprawdzić, czy słowo jest postaci ww^Rw można policzyć jego długość (musi to być liczba postaci 3k) a następnie użyć 3 liczników zmieniających się odpowiednio od 1 do k, od 2k do k +1 i od 2k +1 do 3k, żeby sprawdzić czy symbole o odpowiednich numerach są takie same. Całość wymaga czasu O(n²) i pamięci logarytmicznej.

Ale to nie jest język bezkontekstowy. Można to pokazać tak: gdyby L był bezkontekstowy, to także język L₁= L ∩ a^∗b^∗a^∗b^∗= {aⁿb^2ka²ⁿb^k | n, k ∈ N} byłby bezkontekstowy. Do języka L1zastosujemy lemat o pompowaniu: niech N będzie odpowiednią stałą. Rozpatrzmy słowo a^2Nb^4Na^4Nb^2N ∈ L1. Powinniśmy je podzielić na 5 cześci uwvxy, w ten sposób, że wx 6= ε, |wvx| ≤ N oraz (między innymi) słowo uvy należy do L1.

Słowo wvx jest krótkie, więc części w i x muszą zawierać się w sąsiednich segmentach złożonych z liter a i b (lub odwrotnie – z liter b i a). Po usunięciu w i x liczba liter a i b w tych segmentach będzie za mała w stosunku do pozostałych segmentów, słowo uvy nie może więc być elementem języka L1. 2: Pierwsza tak, bo Nspace(n log n) ⊆ Dspace((n log n)²) oraz (n log n)² ≤ n³. Druga oczywiście tak, bo stała nie ma znaczenia. Trzecia też tak, bo Dspace(n³) ⊆ S{Dtime(2^cn³) | c > 0}, oraz 2^cn³ ≤ 2ⁿ⁴ prawie wszędzie. Czwarta nie, bo iloraz wyrażenia 2ⁿlog(2ⁿ) = n2ⁿ przez 2ⁿ⁴ zbiega w nieskończoności do zera.

3: Załóżmy, że Dspace(2ⁿ) ⊆ Exptime i niech L ∈ Expspace. To znaczy, że dla pewnego k ∈ N istnieje deterministyczna maszyna Turinga, rozpoznająca język L w pamięci 2ⁿ^k. Rozpatrzmy język L⁰ = {w$^|w|^k^−|w| | w ∈ L}. Elementami L⁰ są słowa postaci w$...$, długości |w|^k. Ten język należy do klasy Dspace(2ⁿ), bo do rozpoznania czy dane słowo długości n ma postać w$...$, gdzie w ∈ L oraz n = |w|^k, maszyna Turinga użyje pamięci 2^|w^k^| = 2ⁿ. A zatem L⁰ ∈ Exptime, czyli istnieje deterministyczna maszyna M rozpoznająca L⁰ w czasie postaci 2ⁿ^`, gdzie ` ∈ N. Skoro tak, to potrafimy zdefiniować maszynę N , która rozpozna język L w czasie 2ⁿ^k·`. Dla danego w maszyna N naśladuje maszynę M działającą na słowie wejściowym w$...$ w czasie 2^(|w|^k⁾^`⁾ = 2^|w|^k·`. A zatem maszyna N działa w czasie 2ⁿ^k·`.