• Nie Znaleziono Wyników

Zbadać ekstrema funkcji x2+ (y − 1)2 xy ln(x2+ y2) x3+ y3+ z3− 3xyz sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z) (0 ¬ x, y, z ¬ π) e2x+2y(8x2− 6xy + 3y2) x1x22

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zbadać ekstrema funkcji x2+ (y − 1)2 xy ln(x2+ y2) x3+ y3+ z3− 3xyz sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z) (0 ¬ x, y, z ¬ π) e2x+2y(8x2− 6xy + 3y2) x1x22"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

2. Zadania do wykładu analiza 3B

1. Zbadać ekstrema funkcji

x2+ (y − 1)2 xy ln(x2+ y2) x3+ y3+ z3− 3xyz

sin x + sin y + sin z − sin(x + y + z) (0 ¬ x, y, z ¬ π) e2x+2y(8x2− 6xy + 3y2)

x1x22. . . xnn(1 − x1− 2x2− · · · − nxn), x1, x2, . . . , xn> 0 x1+ x2

x1

+x3

x2

+ . . . xn

xn−1 + 2 xn

, x1, x2, . . . , xn> 0

2. (Zadanie Huygensa) Pomiędzy dwie dodatnie liczby a i b wstawić n liczb x1, x2, . . . , xntak, aby wartość u = x1x2. . . xn

(a + x1)(x1+ x2) . . . (xn+ b) była jak największa.

3. Znaleźć najmniejszą i największą wartość dla funkcji x2+ 2y2

(x + y)2, x + y > 0

x2y(4 − x − y) w trójkącie x ­ 0, y ­ 0, x + y ¬ 6.

4. Znaleźć ekstrema funkcji z(x, y) zadanej niejawnie równaniem

x2+ y2+ z2 − 2x + 2y − 4z − 10 = 0 (x2+ y2+ z2)2− a2(x2+ y2− z2) = 0 5(x2+ y2+ z2) − 2(xy + yz + zx) = 72

5. Dla jakich x i y prawdziwa jest nierówność

xex(y2+1) ­ −e−1 ?

6. Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji przy podanych ograniczeniach.

(a) f (x, y, z) = x − y + z, x2+ y2+ z2 = 2.

(b) f (x, y) = x − y, x2 − y2 = 2.

(c) f (x, y) = x10+ y10, x + y = 2.

(d) f (x, y, z) = x2 + y2+ z2, x2 a2 +y2

b2 + z2 c2 = 1.

(e) f (x, y, z) = x + y + z, 1 x + 1

y +1 z = 1.

(f) f (x1, . . . , xn) = xp1 + . . . + xpn, x1 + . . . + xn = a > 0.

(g) f (x, y, z) = x + y + z, x2− y2 = 1, 2x + z = 1.

(2)

(h) f (x, y, w, z) = xw + yz, x2+ y2 = 1, w2+ z2 = 1.

7. Na elipsie (x2/4) + (y2/9) = 1 znaleźć punkty najbliższy i najdalszy od prostej 3x + y − 9 = 0.

8. Znaleźć największą i najmniejszą wartość podanych funkcji w kole jednostkowym, tzn. w zbiorze {(x, y) | x2+ y2 ¬ 1}.

(a) f (x, y) = x2+ y2− x − y + 1.

(b) f (x, y) = x2+ xy + y2.

9. Pudełko w kształcie prostopadłościanu otwarte od góry ma powierzchnię 16 m2. Znaleźć wymiary, przy których objętość jest największa.

10. Promień światła przechodzi od punktu A do B przecinając linię między dwoma ośrodkami. Prędkości światła w tych ośrodkach wynoszą odpowiednio v1 i v2. Pokazać, że przejście światła zajmuje najmniej czasu, gdy spełnione jest prawo Snella:

sin θ1

sin θ2 = v1

v2,

gdzie θ1 i θ2 oznaczają kąty, w odpowiednich ośrodkach, pomiędzy promieniem światła a prostą prosto- padłą do linii rozdzielającej ośrodki.

11. Poczta w USA wymaga, aby wymiary paczki były takie, że suma długości, podwojonej szerokości i podwojonej wysokości nie przekraczała 108 cali. Jaka jest objętość największej objętościowo paczki jaką poczta może dostarczyć ?

12. Namiot, bez podłogi, ma kształt cylindra ze stożkowym daszkiem. Jakie muszą być wymiary namiotu o ustalonej objętości V, aby użyć jak najmniej materiału na jego budowę.

13. Udowodnić nierówność H¨oldera

n

X

i=1

aixi ¬

n

X

i=1

api

!1/p n

X

i=1

xqi

!1/q

,

gdzie p > 1, p−1 + q−1 = 1, ai, xi ­ 0. Wskazówka. Znaleźć minimum prawej strony nierówności przy warunku Pni=1aixi = A.

14. Niech P będzie punktem powierzchni S w R określonej równaniem f(x, y, z) = 1, gdzie f jest klasy C1. Załóżmy, że P jest punktem, w którym odległość od początku układu jest największa. Pokazać, że wektor łączący początek układu z punktem P jest prostopadły do S.

15. Załóżmy, że macierz kwadratowa wymiaru n×n nie jest symetryczna. Niech f (x) = Ax·x =

n

X

i,j=1

ai,jxixj, gdzie x ∈ Rn. Obliczyć ∇f. Czy można wyprowadzić istnienie wektorów własnych i wartości własnych tak, jak w przykładzie rozwiązywanym na wykładzie ?

Cytaty

Powiązane dokumenty

Pokazać, że jeśli funkcja o okresie 2π jest parzysta, to szereg Fouriera zawiera tylko cosinusy, natomiast jeśli jest nieparzysta, to tylko sinusy.. Pokazać, że

Intensywność przepływu ciepła V = −k∇T (gdzie k jest stałą zależną od stopnia izolacji ścian) poprzez ściany restauracji (włącznie z sufitem i ścianą dotykającą

[r]

Pokażać,że pole centralne jest

Exercises and problems for Functions of Several

Znale¹¢ parametryzacj¦ krzywej zakre±lanej przez punkt le»¡cy na obwodzie koªa o promieniu 1 tocz¡cego si¦ bez po±lizgu po prostej y = 0 (cyklo- ida)... Korzystaj¡c ze

Rożniczkować, pochodna jest równa wszędzie 0, zatem funkcja jest stała.. Obliczyć tę stałą obliczając wartość dla pewnego x, najlepiej

[r]