Analiza - zestaw 10
Badanie funkcji jednej zmiennej za pomoc¡ rachunku ró»niczkowego - ostatnia cz¦±¢ - asymptoty.
• Asymptota pionowa funkcji ci¡gªej f wyst¦puje wyª¡cznie w punktach x0 ∈ R, które le»¡ na brzegach przedziaªów okre±lono±ci f. Sprawdzamy, czy cho¢ jedna z granic prawo lub lewostronna jest równa +∞ lub −∞. Je±li tak, to asymptota pionowa istnieje i ma równanie x = x0 .
• Asymptota uko±na (w tym równie» pozioma dla m = 0) wyst¦puje wyª¡cznie przy x → ±∞. Ma wzór y = mx + n, gdzie
m = lim
x→±∞
f (x)
x oraz n = lim
x→±∞(f (x) − mx)
Sprawdzenie, czy asymptota uko±na istnieje, polega na sprawdzeniu, czy powy»sze granice istniej¡.
Zadanie 1. Sprawdzi¢, czy istniej¡ asymptoty pionowe i uko±ne (oraz jakie maj¡ rów- nania) dla funkcji:
a) f(x) = 2x2x+3+x+1, ¡) f(x) = x +ln xx , b) f(x) = 3x−6x2 , c) f(x) = 2xx22−4x−4 , ¢) f(x) =
√x2− 4x, d) f(x) = −e−x1, e) f(x) = arctg x − x, ¦) f(x) = ln xx , f) f(x) = x lnx1, g) f(x) = x2−4x+1x−1 , h) f(x) = (π − 2 arctg x) ln x.
Zadanie 2. Zbada¢ przebieg zmienno±ci (czyli wyznaczy¢: przedziaªy monotoniczno±ci i wypukªo±ci, ekstrema, punkty przegi¦cia oraz asymptoty pionowe i uko±ne) i naszkicowa¢
wykres nast¦puj¡cych funkcji:
a) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1, ¡) f(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3), b) f(x) = √x−2x2+1, c) f(x) = x2x−42 , ¢) f(x) = x2−x−2x3 , d) f(x) = x + cos x, e) f(x) = ln(e + x1),
¦) f(x) = x arctg x, f) f(x) = ln xx , g) f(x) = arccos1−x1+x22, h) f(x) = sin x cos 2x, i) f(x) = (x − 3)√
x, j) f(x) = (x − 5)2√
x, k) f(x) = xe−2x, l) f(x) = x3ln x, ª) f(x) = e−x2, m) f(x) = 12x2+ x + ln(3 − 2x) + 1, n) f(x) = arctg(x − 1) − ln x.,
«) f(x) = x2x2−43 , o) f(x) = ex−x−12+x, p) f(x) = exx2+12−4.
Zadanie 3. Zbada¢ przebieg zmienno±ci nast¦puj¡cych funkcji (wa»ne w zastosowaniach ekonomicznych):
a) f(x) = e−12x2+35x+1, b) f(x) = √12πe−12x2, c) f(x) = 1+e−x+11 , d) f(x) = 10x(x−30)x+20 . Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski
1
