05.IV.2004 r. Kolokwium z Analizy matematycznej I Czas rozwiązywania - 90 min. Zadania 1-4 punktowane są jednakowo - po 10 punktów. Za poprawne rozwiązanie zadania 5

05.IV.2004 r.

Kolokwium z Analizy matematycznej I Czas rozwiązywania - 90 min.

Zadania 1-4 punktowane są jednakowo - po 10 punktów.

Za poprawne rozwiązanie zadania 5

można dostać 15 punktów.

Należy rozwiązać cztery spośród pięciu zadań.

Wszystkie czynności należy dokładnie uzasadniać.

1. Dany jest ciąg funkcyjny:

f

: R → R, f

(x) = n

xe

, α ∈ [0, ∞).

Znajdź obszar zbieżności punktowej, funkcję graniczną w zależności od parametru α.

Dla jakich α zbieżność jest jednostajna?

2. Dana jest funkcja f : R

→ R określona wzorem:

f (x, y) = cos y cos x + y + y

− 1.

Sprawdź, czy w otoczeniu punktu (x, y) = (0, 0) funkcja ta zadaje funkcję uwikłaną x = ψ(y) lub y = ϕ(x). Uzasadnij różniczkowalność odpowiedniej funkcji uwikłanej w tym punkcie. Stwierdź, czy funkcja uwikłana ma w nim ekstremum, jeśli tak to jakie.

3. Dane jest odwzorowanie g : R

→ R

, g(x, y) = (u, v) = ((x

+ 2x)e

, y − 1). Znajdź punkty w których odwzorowanie to jest lokalnie odwracalne. Znajdź ”możliwie duży”

obszar, po obcięciu do którego otrzymane odwzorowanie jest globalnie odwracalne (do odwzorowania klasy C

). Podaj jego dziedzinę i zbiór wartości. Znajdź macierz

pochodnej odwzorowania odwrotnego w punkcie p = (3, −1).

4. Zbadaj różniczkowalność funkcji f : R

→ R danej wzorem:

f (x, y) =







x²³y

x²+y²

dla (x, y) 6= (0, 0) 0 dla x = y = 0

5

Dany jest zbiór wypukły ograniczony B ⊂ R

zawierający otoczenie zera. Udowodnij, że jeśli B jest środkowosymetryczny tzn. jeśli x ∈ B to −x ∈ B, to funkcja || · || : R

→ R

określona wzorem:

||x|| = sup{t ∈ R

: x / ∈ tB}, gdzie zbiór tB definiujemy: tB = {t · x : x ∈ B}

jest normą w R

.

Uwagi: Przyjmij sup ∅ = 0. Zauważ, że można założyć, że B domknięty.

Powodzenia!