Zad. 1. a) (za 5 pkt.) Wiedz ˛ ac, ˙ze

Egzamin z TCiWdTD dn. 09.02.2009

...

Nazwisko i im i ˛e, grupa

1 2 3 4 5 6 Egz Cw ´ X

Zad. 1. a) (za 5 pkt.) Wiedz ˛ ac, ˙ze

J ν (z) =

+ ∞

X

k=0

(−1) ^k z ^ν+2k

Γ (k + 1) Γ (k + ν + 1) 2 ^ν+2k dla z ∈ C, ν ∈ C, wykaza´c, ˙ze

J _−n (z) = (−1) ⁿ J n (z) dla n ∈ N.

b) (za 5 pkt.)

Pokaza´c, ˙ze je´sli f jest bezwzgl ˛ednie całkowalna na R, to F [f (t) sin ω ⁰ t] (ω) = 1

2i [F (ω − ω ⁰ ) − F (ω + ω ⁰ )] , gdzie F oznacza transformat ˛e Fouriera funkcji f .

Zad. 2. a) (za 5 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: y ⁰⁰ + 2y ⁰ + 2y = f (t) z warunkami pocz ˛ atkowymi y (0 ⁺ ) = y ⁰ (0 ⁺ ) = 0, gdzie f oznacza funkcj ˛e dan ˛ a posiadaj ˛ ac ˛ a transformat ˛e Laplace’a.

b) (za 5 pkt.)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania: y (t) = 2t + Z t

0

sin (t − τ) y (τ) dτ.

Zad. 3. a) (za 5 pkt.)

Sformułowa´c i udowodni´c twierdzenie o zachowaniu si ˛e transformaty Laplace’a w niesko´ nczono´sci.

b) (za 5 pkt.)

Niech f 1 (t) = sin t, f 2 (t) = cos 2t. Wyznaczy´c (f 1 ∗ f ² ) (t).

Zad. 4. a) (za 6 pkt.)

Wyznaczy´c pierwsz ˛ a i drug ˛ a pochodn ˛ a w sensie dystrybucyjnym funkcji f (x) = 2 |x − 2| − x · 1 ⁺ (x)

b) (za 4 pkt.)

Czy funkcja F (s) = s ² + 1 nale˙zy do przestrzeni obrazów dystrybucji z D ₀ ⁰ ? Odpowied´z uzasadni´c.

Zad. 5. (za 10 pkt.)

Poda´c definicj ˛e przekształcenia całkowego z j ˛ adrem fourierowskim. Poda´c przykłady takich przekształce´ n wraz z uzasadnieniem. Czy transformata Mellina jest takim przekształceniem?

Zad. 6. a) (za 7 pkt)

Znale´z´c rozwi ˛ azanie równania ró˙znicowego

x n+3 − 2x ⁿ⁺² − 4x ⁿ⁺¹ + 8x n = 3 ⁿ z warunkami: x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2.

b) (za 3 pkt.)

Wyznaczy´c odwrotn ˛ a Z - transformat ˛e funkcji F (z) = _(z ^z

−1)

(z+2) .