Wykład
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej- wstęp
Przed nami na razie zadanie praktyczne: należy lokalnie przybliżyć pewną
„skomplikowaną” funkcję funkcją „mniej skomplikowaną” czyli liniową. Zatem, technicznie rzecz ujmując, należy wyznaczyć równanie stycznej do wykresu danej funkcji w danym punkcie.
Zaczniemy od zdefiniowania stycznej do wykresu, a w następnej kolejności wyznaczenia współczynnika kierunkowego tej stycznej.
Definicja 1. Styczną do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie M nazywamy położenie graniczne MT siecznej MM1, gdy punkt M1 dąży wzdłuż tego wykresu do punktu M.
Wyprowadźmy wzór na współczynnik kierunkowy stycznej MT.
Punktem wyjścia będzie współczynnik kierunkowy prostej siecznej MM1.
Z własności funkcji liniowej: współczynnik kierunkowy prostej równy jest tangensowi kąta nachylenia tej prostej do dodatniej półosi osi X. W tym przypadku będzie to kąt M1MN.
b=tg β=f ( x +Δx )−f ( x )
Δx gdzie
β=∠ M
1MN
Odcinek MN oznaczyliśmy jako
Δx
, obrazuje on przyrost argumentu na odcinku MN.Zgodnie z definicją stycznej, jej współczynnik kierunkowy będzie wartością graniczną współczynnika b, gdy Δx→0 (czyli gdy punkt M1 zbliża się do M)
M
M1
x x+x
T N f(x+x)
f(x)
a= lim
Δx →0
f ( x + Δx )−f ( x ) Δx
Definicja 18. Otrzymaną granicę, o ile istnieje i jest skończona, nazywa się pochodną funkcji f w punkcie x.
Oznaczenia:
f’(x), y’
,dy dx
Pochodna funkcji w punkcie x jest więc liczbą.
Jeżeli w pewnym przedziale (a,b)D (lub oczywiście w całej dziedzinie D) ustanowimy przyporządkowanie:
x f’(x)
to otrzymamy funkcję pochodną.Interpretacja geometryczna:
Pochodna funkcji f w punkcie x0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji f wystawionej w punkcie o odciętej x0.
Równanie stycznej do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie o odciętej x0
y−f ( x
0)= f ' ( x
0)( x−x
0)
Przykład 1.
Obliczymy z definicji pochodną funkcji:
f (x )=2 x
2+6 x
w punkcie x=–1lim
Δx →0
f ( x + Δx )−f ( x )
Δx = lim
Δx→0
2⋅(−1+ Δx )
2+ 6⋅(−1+ Δx )− ( 2⋅(−1)
2−6 )
Δx =
= lim
Δx→0
2⋅ ( 1−2 Δx + ( Δx )
2) −6−6 Δx + 4
Δx =
= lim
Δx →0
2−4 Δx+2 ( Δx )
2−6+6 Δx+ 4
Δx =
= lim
Δx →0
2 ( Δx )
2+ 2 Δx
Δx = [ 0 0 ] =
Δx →0lim 2 Δx ( Δx+ 1)
Δx = lim
Δx →0
2( Δx +1)=2
Pochodne będą przez nas w najbliższym czasie wykorzystywane setki razy, oczywiście nie będziemy ich za każdym razem liczyć bezpośrednio z definicji. Można posługując się definicją wyprowadzić bardziej ogólne wzory, np. tak jak poniżej:
Przykład 2
Obliczymy pochodną funkcji
f (x )=x
2 w dowolnym punkcie jej dziedziny x=x0lim
Δx →0
f ( x + Δx )−f ( x )
Δx = lim
Δx →0
( x
0+ Δx )
2− x
02Δx = lim
Δx →0
x
02+2 Δ xx
0+ ( Δx )
2− x
02Δx =
= lim
Δx →0
2 Δ xx
0+( Δx )
2Δx = [ 0 0 ] =
Δx →0lim
Δx ( 2 x
0+ Δx )
Δx =2 x
0Postępując podobnie można wyprowadzić następujące wzory na pochodne funkcji elementarnych:
1. f (x )=c f ' (x )=0
2.
f (x )=x
αα∈R f ' (x )=α x
α−1W szczególności warto osobno zapamiętać przypadki szczególne tych wzorów:
f (x )=x−1=1
x f ' (x )=
−1 x2 f (x )=x
1
2=
√
x f ' (x )=1 2
√
x3.
f (x )=a
xf ' (x )=a
xln a
I przypadek szczególny:
f (x )=e
xf ' (x )=e
xln e=e
x4. f (x )=logax f ' (x )= 1
xln a Przypadek szczególny:
f (x )=ln x f ' (x )= 1
x ln e=1 x
5. f (x )=sin x f ' (x )=cos x
6. f (x )=cos x f ' (x )=−sin x
7. f (x )=tg x f ' (x )=
1 cos2x
8. f (x )=ctgx f ' (x )=−
1 sin2x
Wzory te należy opanować PAMIĘCIOWO. Do kompletu brakuje jeszcze czterech
dotyczących tzw. funkcji cyklometrycznych, ale zanim je podam, muszę wprowadzić pewne uzupełnienie, ale to już przy następnym wykładzie.
Proszę zwrócić uwagę, że wyprowadzony w przykładzie 2 wzór jest szczególnym przypadkiem wzoru 2. dla α=2
Zaprezentowane wyżej wzory nie pozwalają nam –póki co –obliczyć pochodnej funkcji liniowej f (x )=ax+b Żeby sobie poradzić z tym i bardziej skomplikowanymi przypadkami, należy wiedzieć, jak policzyć pochodną (czyli inaczej mówiąc: zróżniczkować) sumy ,iloczynu i ilorazu czy też złożenia funkcji.
Odpowiedź na to dają poniższe
I to by było na tyle. Dziękuję za uwagę.
opracowanie dr E. Badach na podstawie: Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowyPWN Warszawa 1985