• Nie Znaleziono Wyników

Wykład Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej- wstęp

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wykład Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej- wstęp"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

Wykład

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej- wstęp

Przed nami na razie zadanie praktyczne: należy lokalnie przybliżyć pewną

„skomplikowaną” funkcję funkcją „mniej skomplikowaną” czyli liniową. Zatem, technicznie rzecz ujmując, należy wyznaczyć równanie stycznej do wykresu danej funkcji w danym punkcie.

Zaczniemy od zdefiniowania stycznej do wykresu, a w następnej kolejności wyznaczenia współczynnika kierunkowego tej stycznej.

Definicja 1. Styczną do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie M nazywamy położenie graniczne MT siecznej MM1, gdy punkt M1 dąży wzdłuż tego wykresu do punktu M.

Wyprowadźmy wzór na współczynnik kierunkowy stycznej MT.

Punktem wyjścia będzie współczynnik kierunkowy prostej siecznej MM1.

Z własności funkcji liniowej: współczynnik kierunkowy prostej równy jest tangensowi kąta nachylenia tej prostej do dodatniej półosi osi X. W tym przypadku będzie to kąt M1MN.

b=tg β=f ( x +Δx )−f ( x )

Δx gdzie

β=∠ M

1

MN

Odcinek MN oznaczyliśmy jako

Δx

, obrazuje on przyrost argumentu na odcinku MN.

Zgodnie z definicją stycznej, jej współczynnik kierunkowy będzie wartością graniczną współczynnika b, gdy Δx→0 (czyli gdy punkt M1 zbliża się do M)

M

M1

x x+x

T N f(x+x)

f(x)

(2)

a= lim

Δx →0

f ( x + Δx )−f ( x ) Δx

Definicja 18. Otrzymaną granicę, o ile istnieje i jest skończona, nazywa się pochodną funkcji f w punkcie x.

Oznaczenia:

f’(x), y’

,

dy dx

Pochodna funkcji w punkcie x jest więc liczbą.

Jeżeli w pewnym przedziale (a,b)D (lub oczywiście w całej dziedzinie D) ustanowimy przyporządkowanie:

x f’(x)

to otrzymamy funkcję pochodną.

Interpretacja geometryczna:

Pochodna funkcji f w punkcie x0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji f wystawionej w punkcie o odciętej x0.

Równanie stycznej do wykresu funkcji y=f(x) w punkcie o odciętej x0

y−f ( x

0

)= f ' ( x

0

)( x−x

0

)

Przykład 1.

Obliczymy z definicji pochodną funkcji:

f (x )=2 x

2

+6 x

w punkcie x=–1

lim

Δx →0

f ( x + Δx )−f ( x )

Δx = lim

Δx→0

2⋅(−1+ Δx )

2

+ 6⋅(−1+ Δx )− ( 2⋅(−1)

2

−6 )

Δx =

= lim

Δx→0

2⋅ ( 1−2 Δx + ( Δx )

2

) −6−6 Δx + 4

Δx =

= lim

Δx →0

2−4 Δx+2 ( Δx )

2

−6+6 Δx+ 4

Δx =

= lim

Δx →0

2 ( Δx )

2

+ 2 Δx

Δx = [ 0 0 ] =

Δx →0

lim 2 Δx ( Δx+ 1)

Δx = lim

Δx →0

2( Δx +1)=2

Pochodne będą przez nas w najbliższym czasie wykorzystywane setki razy, oczywiście nie będziemy ich za każdym razem liczyć bezpośrednio z definicji. Można posługując się definicją wyprowadzić bardziej ogólne wzory, np. tak jak poniżej:

Przykład 2

Obliczymy pochodną funkcji

f (x )=x

2 w dowolnym punkcie jej dziedziny x=x0

lim

Δx →0

f ( x + Δx )−f ( x )

Δx = lim

Δx →0

( x

0

+ Δx )

2

x

02

Δx = lim

Δx →0

x

02

+2 Δ xx

0

+ ( Δx )

2

x

02

Δx =

= lim

Δx →0

2 Δ xx

0

+( Δx )

2

Δx = [ 0 0 ] =

Δx →0

lim

Δx ( 2 x

0

+ Δx )

Δx =2 x

0

(3)

Postępując podobnie można wyprowadzić następujące wzory na pochodne funkcji elementarnych:

1. f (x )=c f ' (x )=0

2.

f (x )=x

α

α∈R f ' (x )=α x

α−1

W szczególności warto osobno zapamiętać przypadki szczególne tych wzorów:

f (x )=x−1=1

x f ' (x )=

−1 x2 f (x )=x

1

2=

x f ' (x )=

1 2

x

3.

f (x )=a

x

f ' (x )=a

x

ln a

I przypadek szczególny:

f (x )=e

x

f ' (x )=e

x

ln e=e

x

4. f (x )=logax f ' (x )= 1

xln a Przypadek szczególny:

f (x )=ln x f ' (x )= 1

x ln e=1 x

5. f (x )=sin x f ' (x )=cos x

6. f (x )=cos x f ' (x )=−sin x

7. f (x )=tg x f ' (x )=

1 cos2x

8. f (x )=ctgx f ' (x )=−

1 sin2x

Wzory te należy opanować PAMIĘCIOWO. Do kompletu brakuje jeszcze czterech

dotyczących tzw. funkcji cyklometrycznych, ale zanim je podam, muszę wprowadzić pewne uzupełnienie, ale to już przy następnym wykładzie.

Proszę zwrócić uwagę, że wyprowadzony w przykładzie 2 wzór jest szczególnym przypadkiem wzoru 2. dla α=2

Zaprezentowane wyżej wzory nie pozwalają nam –póki co –obliczyć pochodnej funkcji liniowej f (x )=ax+b Żeby sobie poradzić z tym i bardziej skomplikowanymi przypadkami, należy wiedzieć, jak policzyć pochodną (czyli inaczej mówiąc: zróżniczkować) sumy ,iloczynu i ilorazu czy też złożenia funkcji.

(4)

Odpowiedź na to dają poniższe

I to by było na tyle. Dziękuję za uwagę.

opracowanie dr E. Badach na podstawie: Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowyPWN Warszawa 1985

(5)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wykazaliśmy, że ciąg liczb naturalnych, który ma skończoną granicę musi być od pewnego miejsca stały, więc granica jest równa pewnym wyrazom ciągu.. Jest to niezgodne z

Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: staªe, pot¦gowe, wykªadnicze, loga- rytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne.. Funkcje elementarne, to takie które

Twierdzenia o dwóch i o trzech funkcjach zachodz¡ równie» dla granic wªa±ciwych jednostronnych jak równie» dla granic wªa±ciwych

Ponadto, niech funkcja g(x) ma staªy znak w przedziale [a, b]. (nieujemna

Niech funkcja f okre±lona na przedziale (a, b] oraz a b¦dzie punktem osobliwym tj. funkcja b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie

Niech funkcja f okre±lona na przedziale (a, b] oraz a b¦dzie punktem osobliwym tj. funkcja b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie punktu a.. Oblicz drog¦ pokonan¡

b) okre±l znak drugiej pochodnej-wyznaczamy przedziaªy wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci funkcji oraz punkty przegi¦cia funkcji,. 6) zbierz otrzymane informacje o funkcji w tabeli 7)

2) zbadaj podstawowe wªasno±ci funkcji tj. parzysto±¢, nieparzysto±¢, okresowo±¢, punkty prze- ci¦cia wykresu funkcji z osiami wspóªrz¦dnych,. 3) wyznacz asymptoty