Zadania domowe do wykładu "Wstęp do fizyki atomu, cząsteczki i ciała stałego"
(prof. M. Kamińska) seria 2, 25.10.2005
ZADANIE 1. Korzystając z jednowymiarowego równania Schrödingera z rzeczywistym, niezależnym od czasu potencjałem V(x) dla funkcji falowej ψ(x,t) oraz dla funkcji falowej sprzężonej ψ*(x,t):
t t i x
t x x x V
t x
m ∂
= ∂
∂ +
− ∂ ( , )
) , ( ) ) (
, (
2
22
2
ψ ψ ψ
h h
t t i x
t x x x V
t x
m ∂
− ∂
=
∂ +
− ∂
∗ ∗ ∗( , )
) , ( ) ) (
, (
2
22
2
ψ ψ ψ
h h
,pokaż, że dla prądu prawdopodobieństwa
⎥ ⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
∂
− ∂
∂
≡
∗∂
∗x t t x
x x t t x
mi x
j ( , )
) , ) (
, ) ( , 2 (
ψ ψ ψ ψ
h
spełnione jest równanie ciągłości:
) 0 , ) (
,
(
2∂ = + ∂
∂
∂
x t x j t
t ψ x
, będące analogiem hydrodynamicznego równania ciągłości.
Wskazówka: Sprawdź, że spełnione jest równanie:
2 2 2
2
( , )
) , ) (
, ) (
, ) (
, ) (
, ) (
, ) ( ,
( x
t t x
x x t t x
x x t t x
x x t t x
x x ∂
− ∂
∂
= ∂
⎥ ⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
∂
− ∂
∂
∂
∂
∂ ψ∗ ψ ψ ψ
∗ ψ ψ
∗ ψ
∗ ψ
ZADANIE 2. Oblicz współczynnik odbicia R oraz transmisji T dla cząstki o masie m i energii E>V0, padającej na próg potencjału pokazany na rysunku.
m, E>V0
V0
x
ZADANIE 3. Oblicz współczynnik odbicia R oraz transmisji T dla cząstki o masie m i energii E>V0, padającej na studnię potencjału o szerokości L i głębokości V0 pokazaną na rysunku.
m, E>V0
V0
0 L x
ZADANIE 4. W jednowymiarowej nieskończonej studni potencjału o szerokości L uwięziona jest cząstka. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia tej cząstki pomiędzy x=0 i x=0.25L, jeśli cząstka ta znajduje się w stanie
podstawowym?
0 L x
V→∞
V→∞
