• Nie Znaleziono Wyników

Kolokwium z Topologii I

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Kolokwium z Topologii I"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Kolokwium z Topologii I 07.12.2010 ODPOWIEDZI NALEŻY UZASADNIĆ 25 PUNKTÓW ZA KAŻDE ZADANIE 1. Niech 𝐶[0, 1] będzie przestrzenią funkcji ciągłych określonych na odcinku euklidesowym [0, 1] o wartościach w prostej euklidesowej ℝ z metryką „supre- mum”:

𝑑sup(𝑓, 𝑔) = sup{ ∣𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)∣ : 𝑥 ∈ [0, 1]}.

Znaleźć wnętrze i domknięcie zbioru 𝐴 = {𝑓 ∈ 𝐶[0, 1] : 𝑓 ([0,12]) ⊂ (1, 2]} w przestrzeni (𝐶[0, 1], 𝑑sup).

2. Niech 𝑑𝑘 oznacza metrykę „kolejową”, a 𝑑𝑟 oznacza metrykę „rzeka” na płasz- czyźnie ℝ2. Znaleźć zbiór punktów ciągłości przekształcenia 𝑓 : (ℝ2, 𝑑𝑘) → (ℝ2, 𝑑𝑟) określonego formułą

𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥 + 𝑦).

3. Niech 𝑋 i 𝑌 będą zwartymi przestrzeniami topologicznymi, a 𝑓 : 𝑋 → ℝ2i 𝑔 : 𝑌 → ℝ2 przekształceniami ciągłymi o wartościach w płaszczyźnie euklidesowej.

Symbolem 𝐼(𝑎, 𝑏) oznaczamy odcinek łączący punkty 𝑎, 𝑏 przestrzeni euklidesowej ℝ3, wraz z końcami. Udowodnić, że następujący zbiór

𝐴 = ∪

𝑥∈𝑋,𝑦∈𝑌

𝐼((𝑓 (𝑥), 0), (𝑔(𝑦), 1))

jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej ℝ3.

4. Niech (𝑋, 𝑑) będzie przestrzenią metryczną, a ℝ prostą euklidesową. Dla funkcji 𝑓 : 𝑋 → ℝ, przez 𝑁 (𝑓 ) oznaczamy zbiór punktów iloczynu kartezjań- skiego 𝑋 × ℝ leżących powyżej wykresu 𝑓 , tzn.

𝑁 (𝑓 ) = {(𝑥, 𝑡) ∈ 𝑋 × ℝ : 𝑡 > 𝑓 (𝑥)}.

(A) Podać przykład nieciągłej funkcji 𝑓 : ℝ → ℝ takiej, że 𝑁 (𝑓 ) jest otwartym podzbiorem płaszczyzny euklidesowej ℝ2.

(B) Pokazać, że jeśli przestrzeń (𝑋, 𝑑) jest zwarta, to

(★) każda funkcja 𝑓 : 𝑋 → ℝ taka, ze 𝑁 (𝑓 ) jest otwarte w iloczynie 𝑋 × ℝ jest ograniczona z góry.

(C) Pokazać, że jeśli dla przestrzeni (𝑋, 𝑑) spełniony jest warunek (★), to (𝑋, 𝑑) jest przestrzenią zwartą.

Cytaty

Powiązane dokumenty

W razie potrzeby wynik kolokwium jest zaokr¡glany w gór¦ do najbli»szej liczby nieujemnej.. Czas pisania 

Dlatego A zawiera¢ b¦dzie wszyst- kie ci¡gªe funkcje rosn¡ce w szerszym sensie.. Wn¦trze A jest

Udowodnij, »e je±li podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, d) jest caªkowicie ogra- niczony, to jego domkni¦cie A te» jest caªkowicie ograniczone.. punkt przyznawany jest za

Niech f b¦dzie ustalon¡, ±ci±le dodatni¡, ci¡gª¡ funkcj¡ rzeczywist¡4. Czy f

Udowodnij, »e iloczyn kartezja«ski (z metryk¡ suma (lub jak¡kolwiek jej równo- wa»n¡)) przestrzeni caªkowicie ograniczonych jest caªkowicie

Wzrost sieci wynika z przyłącza- nia nowych węzłów do istniejącej struktury co powo- duje stopniowe zwiększanie rozmiaru sieci, przy czym przyłączanie to odbywa się w

w tabeli powyżej znajduje się ocena semestralna, uwzględnia wynik sobotniego kolokwium oraz Państwa aktywność na zajęciach i ewentualne nieobecności.

Comte w czasie wykonywania manewrów drogowych lekko uderzył w słup znajdujący się przy chodniku, na terenie Polski, w której to był akredytowany.. Po