• Nie Znaleziono Wyników

b jest równoważny układowi D−→x = −C−→x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "b jest równoważny układowi D−→x = −C−→x"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

Metody Numeryczne Wykład 8

Iteracje dla równań liniowych Algorytmy rozwi¸azywania układów równań liniowych postaci

A−→x =−→ b

gdzie A jest nieosobliw¸a macierz¸a rzeczywist¸a n x n , −→

b jest wektorem rzeczywistym w Rn, które rozpatrywaliśmy w wykładzie 3, należ¸a do grupy algorytmów dokładnych albo bezpośrednich. To znaczy, że po wykonaniu skończonej liczby dopuszczalnych operacji elementarnych dostajemy w arytmetyce idealnej dokładne rozwi¸azanie

→x = A−1−→ b

W tym wykładzie zajmiemy si¸e algorytmami iteracyjnymi rozwi¸azywania układów rów- nanń liniowych. Polegaj¸a one na tym, że startuj¸ac z pewnego przybliżenia pocz¸atkowego

→x0 konstruuje si¸e ci¸ag kolejnych przybliżeń

→xk = Φk(A,−→

b ; −→x0), k = 1, 2, . . . , które w granicy osi¸agaj¸a rozwi¸azanie dokładne

k→∞lim

→xk = −→x

Metoda Jacobi Rozkładaj¸ac macierz A = (ai,j)ni,j=1 na sum¸e A = D + C , gdzie D jest macierz¸a diagonaln¸a składaj¸ac¸a si¸e z wyrazów stoj¸acych na głównej przek¸atnej ma- cierzy A, układ A−→x =−→

b jest równoważny układowi D−→x = −C−→x +−→

b

a st¸ad (o ile na przek¸atnej macierzy A nie ma zera ) otrzymujemy metod¸e iteracyjn¸a xk = Bxk−1+ −→c

gdzie B = −D−1C i −→c = D−1−→

b , zwan¸a metod¸a Jacobi.

Z równania tego wynika, że i- te rozwi¸azanie w (k+1) iteracji Jacobi

x(k+1)i = 1 ai,i

"

bi

n

X

j=1,j6=i

ai,jx(k)j

#

W metodzie Jacobi warunek konieczny zbieżności , kBk < 1, jest spełniony wtedy , gdy 1

(2)

macierz A ma dominuj¸ac¸a przek¸atn¸a, tzn. gdy 2|ai,i| >

n

X

j=1,j6=i

|ai,j|, 1 ≤ i ≤ n

Dowód

Wyraz (i,j) macierzy D−1C wynosi 0 dla i = j i ai,j/ai,i dla i 6= j.

St¸ad

kD−1Ck= max1≤i≤n

n

X

j=1,j6=i

|ai,j|/|ai,i| = max1≤i≤n

n

X

j=1

|ai,j|/|ai,i| − 1 < 1

Otrzymujemy wi¸ec ż¸adan¸a nierówność na przek¸atn¸a dominuj¸ac¸a macierzy układu.

Co mieliśmy wykazać.

Metoda Gauss - Seidel

Przedstawiaj¸ac macierz A w postaci A = L + U, gdzie L jest macierz¸a trójk¸atn¸a doln¸a, U - macierz¸a trójk¸atn¸a górn¸a , układ równań A−→x = −→

b jest równoważny układowi

→xk = −L−1U −−→xk−1+ L−1−→

b , z którego wynika, że i-te rozwi¸azanie Gauss - Seidel w (k+1) iteracji jest postaci

x(k+1)i = 1 ai,i

"

bi

i−1

X

j=1

ai,jx(k+1)j

n

X

j=i+1

ai,jx(k)j

#

Podamy teraz warunek konieczny i wystarczaj¸acy na zbieżność procesu iteracyjnego Twierdzenie

Ci¸ag (xn)n=1,2,...) określony procesem iteracyjnym xn+1= Cxn+b jest zbieżny do rozwi¸azania układu równań A−→x = −→

b wtedy i tylko wtedy, gdy, wszytkie wartości własne macierzy C maj¸a moduły mniejsze od 1.

Dowód tego twierdzenia pod wzgl¸edem zaawansowania matematyczego wykracza poza ramy tego wykladu. Zach¸ecam osoby zainteresowane do bardziej zaawansowanych podr¸eczników Analizy Numerycznej.

Na przykład Michelle Schatzman Numerical Analysis Clarendom Press Oxford 2002 lub służ¸e pomoc¸a.

W programie OCTAVE s¸a gotowe trzy kreatory macierzy: diagonalnej D = diag(A), poddiagonalnej E = tril(A,-1) i naddiagonalnej F = triu(A,1), które poznamy na labo-

2

(3)

ratorium. Na laboratorium tym ułożymy również dwa skrypty funkcyjne OCTAVE o nazwach Jacobi.m i Seidel.m, realizuj¸ace powyższe metody.

3

Cytaty

Powiązane dokumenty

sze n a siatkówce obraz przewrócony, zwierzę z uszkodzonym lewym płatem potylicowym przy zasłonięciu lewego oka dostrzeże (p r a ­ wem okiem) tylko przedm ioty

Gąsienica (larwa), z której następnie ma się rozwinąć samiec, daje się rozpoznać po tem , źe je s t drobniejszych rozmiarów i że, uczepiwszy się gałązki

W pierwszej grupie jedne organy mają budowę poczęści ojca, poCzęści matki a obok nich inne organy mają zupełnie pośrednią

chodząc przez liść żywy w ykazuje wszystkie pasy właściwe alkoholowem u rostworowi chlorofilu; są one cokolwiek posunięte ku barw ie czerw onej, co może zależeć

W ogólności w ięc w idzim y, że znaczna liczba miast odw ołać się musi do oczyszczania wód rzecznych, co daje się kilk u metodami przeprow adzić.. Sposób

ność, że niepodobna takiego mnóstwa rur i połączeń tak herm etycznie zamknąć, by choć mała doza p ow ietrza nie dostała się do ich środka, może się

B ełk o cze zaś stojąc w miejscu spokojnie, lub chodzi, opisując nieforem ne łuki; czasem, zaś pod w pływ em n iezw yk łej ekscytacyi drepcze, okręcając się

Ścisłość zaś obserw acyj astronom icznych jest obecnie znacznie większa aniżeli ścisłość, z ja k ą znam y długości gieograficzne.. Podobnież ma się rzecz