13. ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA UKŁADÓW SLS 13.1. POJĘCIE IMMITANCJI I TRANSMITANCJI

(1)

13. ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA UKŁADÓW SLS 13.1. POJĘCIE IMMITANCJI I TRANSMITANCJI

Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie harmo- niczne o symbolicznej wartości skutecznej F (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest odpowiedź o symbolicznej wartości skutecznej R (prądowa lub napięciowa).

F

_układ

R

SLS

Jeśli wielkości F i R występują na tych samych zaciskach to rozpatry- wany układ staje się dwójnikiem. Jego stan opisany jest parą funkcji: prą- du i napięcia wejściowego

W zależności od wymuszenia odpowiedź wyznaczamy ze wzoru:

I_Z U Z

a) b)

U₀ I

Y

IZ

Z

U = (13.1a) I =Y U₀ (13.1b)

Lub definiujemy jako:

IMpedancja

IZ

Z = U (13.2a) adMITANCJA

U0

Y = I (13.2b)

Dla obu tych wielkości spełniających związek

=1 Z

Y (13.3)

(2)

W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia z czwórnikiem. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a odpo- wiedź z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do wymu- szenia nazywamy TRANSMITANCJĄ.

F R

K

F

K = R (13.4)

czyli ^R ⁼ ^K ^F (13.5)

Ponieważ w przypadku czwórnika wymuszeniem i odpowiedzią może być prąd lub napięcie, należy więc rozróżnić cztery transmitancje:

K_u I₂=0 U₂ U₁

transmitancję napięciową

1 0 2

2=

=

I

u U

K U (13.6a)

K_iu I₂ U₁

transmitancję prądowo-napięciową

1 0 2

2=

=

U u

i U

K I (13.6b)

K_i I₂ I₁

transmitancję prądową

1 0 2

2=

=

U

i I

K I (13.6c)

I =0

transmitancję napięciowo-prądową

(3)

13.2. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależnymi od układu (jego struktury i wartości elementów) oraz od pulsacji (często- tliwości) sygnału wymuszającego.

Dla układu liniowego, będącego w stanie ustalonym, badanego przy przebiegach harmonicznych dla określonej pulsacji słuszna jest zależność:

F R

j j m

m

e F

e R F

K R _ψ

ψ

2

= 2

= e^j⁽ ^R ^F⁾

F

R _ψ ₋_ψ

= (13.7)

Θ

ej

= K

Charakterystykami częstotliwościowymi układu SLS nazywamy zależność transmitancji lub immitancji układu

od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego.

) ( )

( )

(ω K ω e ^Θ⁽^ω⁾ P ω jQ ω

K = ^j = + ω∈(0÷∞) (13.8)

gdzie: K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa

Θ(ω) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa

P(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej transmitancji

Q(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej transmitancji

moduł transmitancji K

określony jest stosunkiem wartości skutecznych odpowiedzi do wymuszenia

argument transmitancji Θ

wyraża kąt przesunięcia fazowego odpowiedzi w odniesieniu do wymuszenia

(4)

WYKRESY WYBRANYCH CHARAKTERYSTYK na przykładzie układu RC (FD)

R C

U

₁

U

₂

Zakładamy, że wymuszeniem jest napięcie u₁(t)=U_m₁sinωt. Stosując się metodę symboliczną - wyznaczamy U₂

1

2 1

1

U C R j

C U j

ω ω +

=

Zatem transmitancja napięciowa dla rozpatrywanego układu wyniesie:

RC j C

R j C j U

U C R j

C j

U K_u U

ω ω ω ω

ω

= + +

= +

=

= 1

1 1

1

1 1

1 2

Czyli:

( )

RC K_u j

ω ω

= + 1

1 (13.9)

(5)

( )

2 2 2 2

2 2

2 2 2

1 1

1

1 1 1

1 1

1

C R j RC

C R

RC j RC

j RC j RC

K_u j

ω ω ω

− +

= +

+

= −

−

⋅ −

= +

Zatem:

( )

₂ ₂ ₂

( )

₂ ₂ ₂

, 1 1

1

C R Q RC

C P R

ω ω ω

ω ω

− + + =

= (13.10)

( )

ω

Ku ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

1 1

1

C R j RC

C

R ω

ω

ω +

+ −

= +

P(ω) Q(ω)

ω ω_g=1/RC

ω_g P( )ω

Q( )ω

0,5

- 0,5 1

0

P(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej transmitancji Q(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej transmitancji

(6)

( )

j RC K_u

ω ω

= + 1

1 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

1 1

1

C R j RC

C

R ω

ω

ω +

+ −

= +

Czyli:

2 2 2

2 2 2 2

2

1

) 1

( ) 1

( )

(

C R

C R C

Q R P

K

ω

ω ω ω ω

ω ω

= +

+ +

= + +

=

zależność modułu transmitancji od pulsacji opisuje równanie:

2 2

1 2

) 1

( R C

K ω ω

= + (13.11)

Natomiast

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⋅ +

+

= −

= 1

1 ) 1

( ) ) (

(

2 2 2 2

2 2

C R C

R arctg RC

P

arctgQ ω

ω ω ω

ω ω Θ

zależność argumentu transmitancji od pulsacji opisuje równanie:

(

RC

)

arctg ω ω

Θ( ) =− (13.12)

(7)

( )

ω

Ku e ^j [ ^arctg( ^RC)]

C R

ω

−

= +

2 2

1 2

1

K(ω) Θ(ω)

K(ω) - częstotliwościowa

charakterystyka amplitudowa Θ(ω) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa

ω K( )ω

1 0,707

ω_g=1/RC

Θ ω ( ) ω

−π/2

−π/4

ω_g=1/RC

K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa-fazowa

Im[ ( )]K ω

Re[ ( )]K ω ω=0 ω= 8

0,5

K Θ

P

Q

(8)

WSPÓŁRZĘDNE WZGLĘDNE I LOGARYTMICZNE CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH

Charakterystyki częstotliwościowe podaje się na ogół, z uwagi na ich:

czytelność, wygodę posługiwania się lub uwypuklenie pewnych cech - we współrzędnych względnych i/lub we współrzędnych logarytmicznych.

Charakterystyki o współrzędnych logarytmicznych nazywamy charakterystykami logarytmicznymi.

Jako współrzędne względne dla modułu transmitancji (immitancji) przyjmuje się na ogół stosunek wartości wymienionych wielkości do pew- nej wartości charakterystycznej, np. maksymalnej. Mówimy wówczas o charakterystyce względnej:

) (

) ) (

( ) lub

) ( (

0

max ω

ω ω ω ω

K K K

K

K = K = (13.13)

Jako współrzędne względne (unormowane) dla pulsacji ω (lub często- tliwości f) przyjmuje się:

• pulsację względną ω/ω0

• odstrojenie bezwzględne Δω=ω-ω0

• odstrojenie względne ξ=(ω-ω₀)/ω₀ gdzie: ω0 – jest charakterystyczną pulsacją dla układu.

Jako współrzędne logarytmiczne pulsacji (częstotliwości) przyjmuje się najczęściej logarytm dziesiętny pulsacji lub pulsacji względnej:

ω

= lg

xd (13.14)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

0

lg ω

d ω

x (13.15)

(9)

mówimy wówczas o dekadowej skali częstotliwości, której cha- rakterystyczną cechą jest stała długość odcinka odpowiadające- go zmianie o jedną dekadę czę- stotliwości.

-1 0 1 2 3

10^-1 1 10¹ 10² 10³

lgf f[Hz]

-1 0 1 2 3

10^-1 1 10¹ 10² 10³

lg(f/f)₀ f/f₀ Skale dekadowe

Przykład:

W skali liniowej

K f( )

0 2000 4000 f 6000 8000 1 104

0 0.5 1

W skali logarytmicznej

K f( )

10 100 1 10f3 1 104 1 105

0 0.5 1

(10)

Jako współrzędne logarytmiczne dla modułu transmitancji (immitancji) przyjmuje się moduł transmitancji wyrażony w decybelach zgodnie ze wzorem

) ( lg 20 )

(ω K ω

K_dB = (13.16a)

lub _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

0 0

lg

20 ω

ω ω

ω K

K_dB (13.16b)

Wybrane wartości wzmocnienia wyrażone w decybelach

) (ω

K 10⁻^N 0,1

2

1 1 2 10 10 ^N

) ( lg

20 K ω [dB] −20 N -20 -3 0 3 20 N20 Przykład:

K f( )

0 2000 4000 f 6000 8000 1 104

0 0.5 1

W skali liniowej

KdB f( )

18 15 12 9 6 3 0

W skali decybelowej

(11)

CHARAKTERYSTYK ASYMPTOTYCZNE

W wielu zagadnieniach praktycznych wygodnie jest posługiwać się przybliżoną postacią ch-styk częstotliwościowych układu. Istota tego przybliżenia polega na zastąpieniu dokładnego wykresu ch-styki często- tliwościowej jej przebiegiem przybliżonym w postaci odpowiednio dobra- nej linii łamanej.

Przybliżone charakterystyki o postaci linii łamanych są nazywane charakterystykami asymptotycznymi lub charakterystykami Bodego.

Załóżmy, że rozpatrujemy układ o charakterystyce amplitudowo- fazowej postaci:

K K

2 1

) (

) ) (

( M M

L L

j j

e M e

M

e L e

L M

K L _Ψ^Ψ ^Ψ_Ψ

ω

ω = ω = (13.17)

gdzie czynniki L_i

( )

ω oraz M _i

( )

ω są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych stopnia pierwszego lub drugiego.

Pamiętając, że: ^K

( )

^ω ⁼ ^K

( )

^ω ^e^j^Θ^{( )}^ω

możemy zapisać:

K K

2 1

2

) 1

( M M

L

K ω = L (13.18)

lub ⁼

∑ ( )

⁻

∑ ( )

i i

i Li M

K( ) lg lg

lg ω (13.19)

Zatem logarytmiczna charakterystyka amplitudowa (wyrażona w mierze decybelowej) opisana jest wyrażeniem:

( ) ( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

∑ ∑

i i

dB K L M

K (ω) 20lg (ω) 20 lg lg _(13.20)

(12)

na przykładzie układu RC (FD)

( )

RC K j

ω ω

= + 1

1

Zal. (13.17)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ + ⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

g g

g

g M j

L K

ω ω ω

ω ω

ω

1

1 gdzie

g = RC1 ω

Zal. (13.18)

2

1 1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ +⎛

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

g g

K

ω ω ω

ω

Zal. (13.20)

2

2 20lg 1

1 lg 1

20 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ +⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ +⎛

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

g

g dB g

K ω

ω ω

ω (13.21)

Uwzględniając przy tym następujące, oczywiste przybliżenia:

,

<<1 ωg

ω 1 1,

2

⎟ ≅

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ +⎛

ωg

ω ⎟⎟ ≅ 0

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

g

KdB

ω

ω (13.22a)

,

>>1 ωg

ω 1 ,

2

g

g ω

ω ω

ω _≅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

+⎛ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

− ⎛

⎟ ≅

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

g g

KdB

ω ω ω

ω 20lg (13.22b)

Dla ω/ω_g<<1 oraz dla ω/ω_g>>1 rzeczywistą ch-stykę amplitudową można dobrze aproksymować, zastępując ją półprostymi określonymi wzorami (13.22a) i (13.22b). Doprowadzając te półproste do punktu ich przecięcia ω/ω =1 otrzymamy ch-stykę aproksymującą tj. charakterystykę

(13)

K(ω/ω_g) ω

ωg

[dB]

-20

-40 0

0,1 1 10 100

-3

PARAMETRY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW

Dla charakterystyk częstotliwościowych układu przyjmuje się na ogół takie parametry jak:

• częstotliwość graniczna - częstotliwość przy której moduł trans- mitancji maleje o 3 dB od wartości nominalnej dla której umownie przyjęto poziom 0dB.

• pasmo przenoszenia - zakres częstotliwości, w którym moduł transmitancji maleje nie więcej niż o 3 dB od wartości nominalnej - jest to zakres częstotliwości zawarty między częstotliwościami granicznymi. Miarą pasma przenoszenia SP jest

d g

P f f

S = −

(14)

• selektywność układu - zdolność rozdziału częstotliwościowe- go przenoszonych sygnałów. Miarą se- lektywności jest współczynnik prosto- kątności

) 20 (

) 3 (

dB S

dB p S

P

= P

• nachylenie charakterystyki - określa się liczbą decybeli wyraża- jącą zmianę modułu transmitancji układu na dekadę w zadanym za- kresie częstotliwości

2 1

2 / 1

lg

) ( )

(

ω

ω ω ω _dB

dek dB

dB K K

N = −

KLASYFIKACJA UKŁADÓW

Ze względu na zdefiniowane pasma przepuszczania (zaporowe), moż- na przedstawić następującą klasyfikację układów:

• wąskopasmowy S_P<< f_s

• szerokopasmowy SP=fs lub SP > f_s

• dolnoprzepustowy fg1=0 fg2 < ∞

• górnoprzepustowy f_g1>0 f_g2= ∞

• środkowoprzepustowy fg1>0 fg2 < ∞

• środkowozaporowy f∉(fg1, fg2) ∧ fg1>0 ∧ fg2< ∞