Algebra liniowa

Algebra liniowa

Macierze i układy równań liniowych

Skalary

•

•

−1, 0, 2, 7

15 , 9 + 3

5

Macierze

Macierzą A wymiaru nazywamy tablicę prostokątną skalarów postaci

i czasami krótko zapisywaną w postaci . Do

elementu -tego odwołujemy się pisząc , to znaczy m × n

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mn

A = (a

)

(i, j)

(A)

a

= (A)

.

Macierze

Aby podkreślić, że macierz A ma wymiar piszemy

lub krótko

m × n

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_{mn m×n}

A = (a

)

Przykłady

A = −1 3

2 2

0 3 A = 0 0 0

2 2 −3

5 12 7 A =

−315 20190

A =

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

A = [17 − 2 0]

A =

0 00 0 0 00 0

A = [−2] A =

6 4 0 0 0

−1 8 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 A = [0 −3 0 7 ]

Równość macierzy

Dwie macierze

są równe gdy m = p i n = q oraz A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_{mn m×n}

a

= b

,

B =

b₁₁ b₁₂ … b_1q b₂₁ b₂₂ … b_2q

⋮ ⋮ ⋮

b_p1 b_p2 … b_pq

p×q

i = 1,…, m, j = 1,…, n

Zastosowanie praktyczne

Dzienna produkcja Wyroby Zasoby


surowców

I II

Surowce A 3 2 12

B 4 5 23

Zyski jednostkowe 11 12

Surowce Wyroby

A B

I

Buble Inc. II

Zastosowanie praktyczne

= 3 ^I

A + 2

B

II

= 4 + 5 [3 2

4 5]

Macierz współczynników

Surowce Wyroby

A B

I

Buble Inc. II

I II

Macierze

A =

a

a

… a

a

a

… a

⋮ ⋮ ⋮

a

a

… a

Wiersz 1 Wiersz 2

Wiersz m

Macierze

A =

a

a

… a

a

a

… a

⋮ ⋮ ⋮

a

a

… a

Kolumna 1 Kolumna 2 Kolumna n

Macierze

a _ij

numer wiersza

Macierze

•

•

to macierz A nazywamy wektorem kolumnowym.

•

to macierz A nazywamy wektorem wierszowym.

A =

a₁ a₂ a⋮_m

,

A = [a1 a₂ … a_n],

Macierze kwadratowe

• Elementy macierzy kwadratowej

nazywamy elementami głównej przekątnej macierzy A.

• Jeżeli wszystkie pozostałe elementy macierzy A są równe 0, to macierz A nazywamy diagonalną i oznaczamy

a₁₁, a₂₂, …, a_nn

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_n1 a_n2 … a_nn

A = diag(a₁₁, a₂₂, …, a_nn) =

a₁₁ 0 … 0 0 a₂₂ … 0

⋮ ⋮ ⋮

0 0 … a_nn

Macierze kwadratowe

•

to macierz A nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy

albo I, jeśli wiadomo jakiego wymiaru jest macierz.

I_n = diag(1,1,…,1) =

1 0 … 0 0 1 … 0

⋮ ⋮ ⋮

0 0 … 1 ,

a_ii = 1 dla i = 1,2,…, n,

Działania na

macierzach

Transpozycja (przestawienie)

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mn

A^T =

a₁₁ a₂₁ … a_m1 a₁₂ a₂₂ … a_m2

⋮ ⋮ ⋮

a_1n a_2n … a_mn A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mn

A^T =

a₁₁ a₂₁ … a_m1 a₁₂ a₂₂ … a_m2

⋮ ⋮ ⋮

a_1n a_2n … a_mn

Dodawanie macierzy

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_{mn m×n}

B =

b₁₁ b₁₂ … b_1n b₂₁ b₂₂ … b_2n

⋮ ⋮ ⋮

b_m1 b_m2 … b_{mn m×n}

A + B =

a₁₁ + b₁₁ a₁₂ + b₁₂ … a_1n + b_1n a₂₁ + b₂₁ a₂₂ + b₂₂ … a_2n + b_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 + b_m1 a_m2 + b_m2 … a_mn + b_{mn m×n}

Mnożenie macierzy przez skalar

λ ⋅ A =

λa₁₁ λa₁₂ … λa_1n λa₂₁ λa₂₂ … λa_2n

⋮ ⋮ ⋮

λa_m1 λa_m2 … λa_{mn m×n} A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_{mn m×n}

λ ∈ ℝ

Macierz przeciwna

−A = (−1) ⋅ A =

−a₁₁ −a₁₂ … −a_1n

−a₂₁ −a₂₂ … −a_2n

⋮ ⋮ ⋮

−a_m1 −a_m2 … −a_{mn m×n} A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_{mn m×n}

Odejmowanie macierzy

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_{mn m×n}

B =

b₁₁ b₁₂ … b_1n b₂₁ b₂₂ … b_2n

⋮ ⋮ ⋮

b_m1 b_m2 … b_{mn m×n}

A − B = A + (−B) =

a₁₁ − b₁₁ a₁₂ − b₁₂ … a_1n − b_1n a₂₁ − b₂₁ a₂₂ − b₂₂ … a_2n − b_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 − b_m1 a_m2 − b_m2 … a_mn − b_{mn m×n}

Mnożenie macierzy

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1p a₂₁ a₂₂ … a_2p

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mp

m×p

B =

b₁₁ b₁₂ … b_1n b₂₁ b₂₂ … b_2n

⋮ ⋮ ⋮

b_p1 b_p2 … b_pn

p×n

A ⋅ B =

c₁₁ c₁₂ … c_1n c₂₁ c₂₂ … c_2n

⋮ ⋮ ⋮

c_m1 c_m2 … c_{mn m×n}

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_ipb_pj

Przykład

A = [

1 23 4

5 6]_3×2 B = [1 2 3 4

5 6 7 8]_2×4

A ⋅ B = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 6 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 7 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 8 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 5 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 6 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 7 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 8

5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 5 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 6 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 7 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 8 _3×4

A ⋅ B = 11 14 17 20 23 30 37 44

35 46 57 68 _3×4

Własności działań na macierzach

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Uwaga

Mnożenie macierzy nie jest działaniem przemiennym, tzn.

A ⋅ B ≠ B ⋅ A . A = [1 0

0 0], B = [0 1

0 0], A ⋅ B = [1 0

0 0] [0 1

0 0] = [0 1 0 0], B ⋅ A = [0 1

0 0] [1 0

0 0] = [0 0 0 0], A ⋅ B ≠ B ⋅ A .

Zastosowanie praktyczne

[3 2 4 5]

Macierz współczynników

Surowce Wyroby

A B

I

Buble Inc. II

= 3 ^I

A + 2

B

II

= 4 ^I + 5 II

Zastosowanie praktyczne

[

] ^{= [ 3 2 4 5]} [ ]

= 3 ^I

A + 2

B

II

= 4 ^I + 5 II

Zastosowanie praktyczne

[ y

y

] = [ 3 2

4 5] [ x

x

] { y

= 3x

+ 2x

y

= 4x

+ 5x

Y = [ y

y

] X = [ x

x

] A = [ 3 2 4 5]

Y = AX

Krótko:

Odwrotność macierzy?


Dzielenie macierzy?


A ⁻¹ ?

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Wyznacznik jest funkcją det określoną na zbiorze wszystkich macierzy kwadratowych o wartościach będących liczbami

rzeczywistymi. Jeśli A jest macierzą kwadratową postaci

to jej wyznacznik, oznaczany przez det(A) lub |A|, jest liczbą którą zdefiniujemy w sposób rekurencyjny:

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1m a₂₁ a₂₂ … a_2m

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_{mm m×m} ,

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Jeśli m = 1, tzn.

to określamy wyznacznik jako wartość jedynego elementu tej macierzy, mianowicie

Jeśli macierz A ma wymiar m×m, przy czym m > 1, to stosujemy tzw. rozwinięcie Laplace’a względem wybranej kolumny lub

wiersza. Dokładniej (np. dla wybranego pierwszego wiersza):

gdzie oznacza minor elementu

A = [a11]_1×1,

|A| = a₁₁ .

|A| = a₁₁ ⋅ (−1)¹⁺¹M₁₁ + a₁₂(−1)¹⁺²M₁₂ + … + a_1m(−1)^1+mM_1m,

M_ij a_ij .

Minory

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1j−1 a_1j a_1j+1 … a_1m a₂₁ a₂₂ … a_2j−1 a_2j a_2j+1 … a_2m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

a_i−11 a_i−12 … a_i−1j−1 a_i−1j a_i−1j+1 … a_i−1m a_i1 a_i2 … a_ij−1 a_ij a_ij+1 … a_im a_i+11 a_i+12 … a_i+1j−1 a_i+1j a_i+1j+1 … a_i+1m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mj−1 a_mj a_mj+1 … a_mm

m×m

M_ij = det

a₁₁ a₁₂ … a_1j−1 a_1j+1 … a_1m a₂₁ a₂₂ … a_2j−1 a_2j+1 … a_2m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

a_i−11 a_i−12 … a_i−1j−1 a_i−1j+1 … a_i−1m a_i+11 a_i+12 … a_i+1j−1 a_i+1j+1 … a_i+1m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mj−1 a_mj+1 … a_mm

(m−1)×(m−1)

Przykład

det A = 5 −31 7 = 5 ⋅ (−1)¹⁺¹ det[7] + (−3)(−1)¹⁺² det[1] = 5 ⋅ 7 + 3 ⋅ 1 = 38 A = [5 −3

1 7 ]

M₁₂ = det [1]

Minor dla elementu -3

Wybieramy pierwszy wiersz macierzy A, względem którego stosować będziemy rozwinięcie Laplace’a

M₁₁ = det [7]

Minor dla elementu 5 A = [5 −3

1 7 ] A = [5 −3

1 7 ]

Przypadki szczególne ułatwiające obliczanie wyznaczników

A = [ a

a

a

a

]

det A = a

a

a

a

= a

a

− a

a

+ -

Przypadki szczególne ułatwiające obliczanie wyznaczników

A = a

a

a

a

a

a

a

a

a

+ -

det A = a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

+ +

- -

det A = a

a

a

+ a

a

a

+ a

a

a

−a

a

a

− a

a

a

− a

a

a